Степені та корені

Піднесення до степеня — це математична операція, яка, простіше кажучи, слугує для скороченого запису повторюваного множення.

Натуральний показник

Піднесення до степеня має вигляд aⁿ, де n називають показником степеня, а a — основою степеня. Далі нас цікавитиме передусім вигляд показника. У цій частині покажемо, які властивості має степінь із натуральним показником, тобто коли показник — число 1, 2, 3, 4, …

Прикладом такого степеня є 6². Шістка — основа, двійка — показник. Показник каже, скільки разів поспіль треба помножити шістку, щоб отримати результат. Отже, 6² = 6 · 6 = 36. Інший приклад: 4³ = 4 · 4 · 4 = 64. У загальному вигляді це можна записати так:

$$a^n = \underbrace{a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\mbox{ разів}}$$

Основою може бути що завгодно — число, а то й складніший вираз. Під час обчислення цей вираз просто множимо стільки разів, скільки вказує показник. Приклади:

$$\begin{eqnarray} (-5)^3&=&(-5)\cdot(-5)\cdot(-5)\\ x^4&=&x\cdot x\cdot x\cdot x\\ (x+3)^2&=&(x+3)\cdot(x+3) \end{eqnarray}$$

Для показника, що дорівнює нулю, уводимо рівність a⁰ = 1.

Від'ємний показник

У цій частині припустимо, що показник від'ємний. Як це можна тлумачити? Виходимо з того, що a⁰ = 1. Якщо хочемо обчислити a¹, можна сказати, що множимо a⁰ на вираз a. Оскільки a⁰ = 1, добуток дає a⁰ · a = a. Отримуємо a. Якщо хочемо обчислити a², можемо записати a² = a⁰ · a · a.

Про значення a⁰ = 1 можна сказати, що це наше вихідне значення, і коли обчислюємо aⁿ, то просто n разів множимо значення a⁰ на вираз a. Як діяти, коли n від'ємне? Якщо n додатне, то множимо. Якщо n від'ємне, то будемо ділити. Отже, a⁻¹ ми отримали б так: взяли б початкове значення a⁰ і поділили б його на вираз a. Так маємо рівність:

$$a^{-1}=\frac{a^0}{a}=\frac1a$$

Якби ми хотіли знайти a⁻², то поділили б a⁰ на вираз a двічі. Що ми отримаємо? Спершу згадаймо, як можна інакше записати ділення. Якщо маємо частку x/y, її можна так само записати як

$$x\cdot\frac1y$$

Це одна з основних властивостей дробів. Тому якщо хочемо якийсь вираз x двічі поділити на вираз y, можемо записати це як

$$x\cdot\frac1y\cdot\frac1y$$

Повернімося до прикладу a⁻². Ми сказали, що отримаємо його, двічі поділивши вираз a⁰ на a. Далі перетворимо так:

$$a^{-2}=a^0\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac1a=a^0\frac{1}{a\cdot a}=1\cdot\frac{1}{a^2}=\frac{1}{a^2}$$

Тепер ми маємо спосіб обчислення степеня з від'ємним показником. Обчислюємо степінь так, ніби показник додатний, а потім просто беремо обернене число, тобто ділимо одиницю на результат піднесення до степеня. Точніше це записується так:

$$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$

(Тут ми припускаємо, що −n — від'ємне число, тобто n додатне.)

Ось кілька прикладів:

$$\begin{eqnarray} 2^{-1}&=&\frac{1}{2^1}=\frac12\\ 5^{-3}&=&\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}\\ (2x+3)^{-8}&=&\frac{1}{(2x+3)^8} \end{eqnarray}$$

Раціональний показник

Показник можна далі розширити на всі раціональні числа. Раціональне число — це число, яке можна записати у вигляді дробу, частки двох цілих чисел. Нехай маємо дріб m/n, де n — додатне число. Тоді можна записати формулу

$$\Large a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$$

Той значок над a^m — це знак кореня.

Властивості степенів

• a⁰ = 1, якщо a ≠ 0.
• a¹ = a.
• 0ⁿ = 0, якщо n > 0.
• 0⁰ — невизначений вираз.
• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ.
• a^m · aⁿ = a^{m + n}.
• $\Large \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, якщо a ≠ 0.
• (a^m)ⁿ = a^{m · n}.