Область визначення функції

Область визначення функції — це всі допустимі значення, які ми можемо підставити у функцію f(x) замість аргументу x так, щоб функція мала сенс.

Що таке область визначення функції

Простим прикладом може бути функція f(x) = 1/x. Область визначення — це множина всіх допустимих значень, які, підставлені у функцію 1/x, дають коректний вираз.

Щоб знати, що таке «коректний вираз», потрібно знати властивості функцій і операцій. У нашій функції змінну x ми ділимо: вона стоїть у знаменнику дробу. На які числа можна ділити? На будь-які, крім нуля. На нуль ділити не можна, так само нуль не може стояти у знаменнику дробу. Інших обмежень ділення не має.

Тому замість x можна підставити будь-яке дійсне число, крім нуля. Отже, область визначення дорівнює D(f) = ℝ ∖ {0}. Область визначення зазвичай позначають літерою D, а в дужках записують функцію, область визначення якої шукаємо.

Щойно ми знайшли найбільшу область визначення. Але оскільки ми означили область визначення як множину значень, які можна підставити замість x, то й будь-яка підмножина області визначення теж буде областю визначення. Іноді нам зручно обмежити функцію лише на певні x. Наприклад, у послідовностях ми обмежуємося лише натуральними числами, а в тригонометрії часто працюємо лише на проміжку [0; 2π].

Проте якщо в умові задачі треба знайти область визначення функції, зазвичай мають на увазі найбільшу можливу область визначення.

Область визначення можна прочитати й з графіка функції. Для прикладу візьмемо графік попередньої функції f(x) = 1/x.

Якщо спроєктувати графік на вісь Ox, отримаємо область визначення. Якщо точка x не належить області визначення, то вертикальна пряма, проведена через цю точку перпендикулярно до осі Ox, не перетне жодної точки графіка. Бачимо, що цю умову задовольняє лише нуль — «над ним і під ним» немає жодної точки графіка функції. Усі інші числа такі точки мають.

Знаходження області визначення

Щоб знайти область визначення складеної функції, треба знати області визначення всіх функцій, з яких вона складається. Інакше не вийде. Якби я попросив тебе знайти область визначення функції f(x) = raz(x) + dva(x), у тебе б нічого не вийшло, бо ти не знаєш, як визначено функції raz і dva. Наведемо області визначення деяких елементарних функцій:

• Логарифм має D(f) = (0; +∞).
• Квадратний корінь має D(f) = [0; +∞).
• Тангенс має D(f) = ℝ ∖ {π/2 + kπ}, k ∈ ℤ.
• Котангенс має D(f) = ℝ ∖ {kπ}, k ∈ ℤ.
• Показникова функція має D(f) = ℝ.
• Лінійна функція і квадратична функція мають D(f) = ℝ.

Якщо задано лише одну функцію, усе дуже просто. З'ясовуємо, яку область визначення має ця функція, дивимося на аргумент і підставляємо його в потрібну рівність чи нерівність. Отже, приклад: знайдімо область визначення функції $\log (3x + 2)$. Аргумент логарифма має бути додатним, тому має виконуватися 3x + 2 > 0. Це лінійна нерівність, яку легко розв'язати:

$$\begin{eqnarray} 3x + 2 &>& 0\\ 3x&>&-2\\ x&>&-\frac23 \end{eqnarray}$$

Областю визначення є всі x, що задовольняють цю нерівність, тож D(f) = (−2/3; +∞).

Знайди область визначення функції $\sqrt{2x + 8}$.

Під коренем не може стояти від'ємне число, тож розв'яжемо нерівність 2x + 8 ≥ 0 і отримаємо:

$$\begin{eqnarray} 2x+8 &\ge& 0\\ 2x&\ge&-8\\ x&\ge&-4 \end{eqnarray}$$

Отже, D(f) = [−4; +∞).

Знайди область визначення функції 1/x².

У знаменнику не може бути нуля, тож розв'язуємо умову x² ≠ 0. Вона виконується, коли x ≠ 0, тому D(f) = ℝ ∖ {0}.

Розклад складених функцій

У складених функцій ситуація трохи складніша, бо доводиться враховувати кілька функцій, які впливають одна на одну й поступово звужують область визначення. Візьмімо такий приклад:

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Тут мають виконуватися дві умови. Вираз під коренем має бути більшим за нуль або дорівнювати йому, він не може бути від'ємним. Тому x ≥ 0. Але корінь стоїть у знаменнику дробу, тож він не може дорівнювати нулю, інакше дріб знову не мав би сенсу. Тому попереднє твердження посилюємо до x > 0.

Так само діятимемо і в інших прикладах. Важливо лише визначити послідовність вкладених функцій — треба з'ясувати, яка функція внутрішня, а яка зовнішня. У попередньому прикладі це було очевидно: внутрішня функція — корінь, зовнішня — дріб. Якби ми рахували цей вираз вручну, то спочатку добули б корінь з аргументу x, а потім обчислили б дріб. Це дуже зручна підказка: найвнутрішня функція — та, з якої починаємо обчислення, коли рахуємо вручну. Ще один приклад:

$$f(x) = \sqrt[5]{(\ln(\operatorname{tg}(x)))^3}$$

Тепер можна піти протилежним шляхом і шукати зовнішні функції. Зовнішня функція «обгортає» внутрішні. Тут корінь п'ятого степеня очевидно обгортає всі інші функції. Далі, третій степінь обгортає результат логарифма, логарифм обгортає тангенс, і нарешті змінну x обгортає тангенс. Просто. Традиційним способом можна міркувати так: коли ми знаємо значення x, то спочатку застосовуємо до нього тангенс. Отже, це найвнутрішня функція. Результат підставляємо в логарифм — це друга за глибиною функція. Далі результат підносимо до степеня, а наприкінці добуваємо корінь.

Розклади складену функцію:

$$f(x) = \sin \frac{42}{\ln(10^{2x+3})}$$

Починаємо із зовнішньої функції. Це синус. Далі за порядком іде дріб, потім логарифм, потім показникова функція (уяви собі таку заміну: 10^a) і, нарешті, лінійна функція 2x + 3.

Розклади складену функцію:

$$\Large f(x) = 2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Зовнішня функція — показникова функція 2^a. Далі йде дріб, потім у знаменнику дробу корінь і, нарешті, лінійна функція 3x.

Область визначення складених функцій

Якщо ти вмієш розкладати функції на зовнішні та внутрішні, то знайти область визначення для тебе вже не проблема. Покажемо це одразу на прикладі:

$$f(x) = \frac{47}{\sin(x)-1}$$

Починаємо з дробу. Для нього знаменник має бути відмінним від нуля. Запишемо це:

$$\begin{eqnarray} \sin(x)-1 &\ne& 0\\ \sin(x) &\ne&+1 \end{eqnarray}$$

З властивостей функції синус ми знаємо, що значення 1 вона набуває в точці x = π/2. Оскільки це періодична функція, отримуємо множину M = {π/2 + 2kπ}, k ∈ ℤ. Це множина значень, для яких знаменник дорівнює нулю. Ці x ми у функцію підставити не можемо.

Але це ще не все: треба також подивитися на область визначення функції синус. Вона, на щастя, дорівнює ℝ, тож нас ніяк не обмежує. Обмеження дає лише знаменник дробу. Отже, D(f) = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}, k ∈ ℤ.