Σχέσεις

Η σχέση είναι το μαθηματικό αντίστοιχο της συνηθισμένης έννοιας «σχέση». Στην καθημερινή ζωή η Μαρία βρίσκεται, για παράδειγμα, σε σχέση με την Ελένη, συγκεκριμένα στη σχέση «μητέρα – κόρη». Μια άλλη τέτοια σχέση μπορεί να είναι «χώρα – πρωτεύουσα αυτής της χώρας». Ως παράδειγμα μπορούμε να πάρουμε το ζεύγος Αίγυπτος – Κάιρο.

Περισσότερα παραδείγματα σχέσεων

Ας πάρουμε βοήθεια από ακόμη μερικά παραδείγματα. Στην εισαγωγή αναφέραμε τις σχέσεις (συσχετίσεις) «είναι μητέρα της κόρης της» και «είναι πρωτεύουσα της χώρας». Ας δούμε και άλλες: «είναι άρτιος αριθμός». Σε αυτή τη σχέση βρίσκονται οι αριθμοί 2, 4, 8, 18, 58, 66 και πολλοί άλλοι. Οι αριθμοί 1, 3, −7, 19 δεν βρίσκονται στη σχέση «είναι άρτιος αριθμός». Μια σχέση από τον καθημερινό κόσμο μπορεί να είναι «είναι άνδρας». Ο Αλέξανδρος, ο Πέτρος, ο Λευτέρης ή ο Μάρκος βρίσκονται στη σχέση «είναι άνδρας».

Ένα άλλο παράδειγμα μπορεί να είναι η σχέση «μικρότερο από». Για παράδειγμα, ο αριθμός τρία είναι «μικρότερος από» τον αριθμό πέντε. Μαθηματικά μπορούμε να το γράψουμε ως 3<5. Ή η σχέση της ισότητας: ο αριθμός τρία «είναι ίσος» με τον αριθμό τρία, μαθηματικά: 3 = 3.

Μπορούμε να έχουμε και πιο σύνθετα παραδείγματα: «ο πατέρας και η μητέρα είναι γονείς του παιδιού». Σε αυτή τη σχέση θα υπάρχει μια τριάδα ανθρώπων: ο πατέρας Δημήτρης, η μητέρα Μαρία και το παιδί Ελένη. Στα μαθηματικά θα μπορούσαμε να επινοήσουμε μια σχέση με τρία στοιχεία ως εξής: το άθροισμα των δύο πρώτων αριθμών ισούται με τον τρίτο αριθμό. Για παράδειγμα, αυτοί οι αριθμοί, με αυτή τη σειρά, βρίσκονται σε αυτή τη σχέση: 3, 4, 7, επειδή 3 + 4 = 7. Αυτοί οι αριθμοί δεν βρίσκονται στη σχέση: 3, 5, 12, επειδή 3 + 5 ≠ 12.

Αριθμός ορισμάτων μιας σχέσης

Ο αριθμός ορισμάτων είναι ένας όρος που ακούγεται παράξενα, αλλά απλώς εκφράζει πόσα στοιχεία έχουμε στη σχέση. Στα προηγούμενα παραδείγματα δουλέψαμε με διαφορετικό πλήθος στοιχείων. Στη σχέση «είναι άνδρας» μας έφτανε ένα στοιχείο, μπορούμε λοιπόν να πούμε: «Ο Νίκος είναι άνδρας». Μας αρκεί ένα όνομα, ένα στοιχείο. Μια τέτοια σχέση τη λέμε μονομελή.

Στο επόμενο παράδειγμα είχαμε τη σχέση «μικρότερο από». Αυτή δούλευε με δύο αριθμούς, με δύο στοιχεία. Είπαμε ότι ο αριθμός τρία είναι μικρότερος από το πέντε. Χρησιμοποιήσαμε δύο στοιχεία, άρα η σχέση είναι διμελής.

Στο τελευταίο παράδειγμα χρησιμοποιήσαμε συνολικά τρία στοιχεία: το άθροισμα δύο αριθμών έπρεπε να ισούται με τον τρίτο. Είχαμε λοιπόν τους αριθμούς a, b, c και έπρεπε να ισχύει a + b = c. Αυτή η σχέση θα ήταν τριμελής.

Για μεγαλύτερο αριθμό ορισμάτων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον συμβολισμό της n-μελούς σχέσης. Μπορούμε όμως να τον χρησιμοποιήσουμε και για μικρότερο αριθμό, μπορούμε να γράψουμε τη διμελή σχέση ως 2-μελή σχέση. Τα στοιχεία της σχέσης τα γράφουμε τότε με τη μορφή διατεταγμένων n-άδων. Αν έχουμε διμελή σχέση, τα γράφουμε ως ζεύγη, συνήθως είτε με παρενθέσεις είτε με γωνιακές αγκύλες. Άρα, αν θέλουμε να γράψουμε ότι οι αριθμοί τρία και πέντε βρίσκονται στη σχέση «μικρότερο από», πρέπει να γράψουμε τους αριθμούς ως ζεύγος: (3, 5), ή ενδεχομένως [3, 5]. Πρόσεξε τη σειρά, αντίστροφα δεν θα ίσχυε: (3, 5) ≠ (5, 3) – το πέντε δεν είναι μικρότερο από το τρία.

Οικογενειακό παράδειγμα

Πριν περάσουμε στους μαθηματικούς ορισμούς, ας δοκιμάσουμε ακόμη ένα τυπικό παράδειγμα με μια οικογένεια. Ας έχουμε αυτά τα μέλη μιας οικογένειας:

• Μάξιμος: παππούς από τη μεριά του πατέρα·
• Γιώργος: πατέρας·
• Αθηνά: μητέρα·
• Σοφία: κόρη·
• Νίκος: γιος.

Πρώτα θα αναζητήσουμε όλα τα μέλη της οικογένειας που ικανοποιούν τη σχέση: «είναι άνδρας». Πρόκειται για 1-μελή, δηλαδή μονομελή, σχέση. Στη σχέση θα υπάρχει λοιπόν πάντα μόνο ένα στοιχείο, ένα μέλος της οικογένειας. Αυτή τη στιγμή πρέπει να καταγράψουμε όλα τα μέλη της οικογένειας που είναι αρσενικού γένους. Τώρα η σειρά δεν παίζει ρόλο. Η σχέση «είναι άνδρας» περιέχει λοιπόν αυτά τα στοιχεία: {(Μάξιμος), (Γιώργος), (Νίκος)}. Πρόσεξε ότι, παρότι πρόκειται για μονομελή σχέση, χρησιμοποιήσαμε παρενθέσεις. Δεν είναι καθόλου αναγκαίο, και χωρίς αυτές ο συμβολισμός θα ήταν ευανάγνωστος, για λόγους συνέπειας όμως άφησα τις παρενθέσεις. Το σύνολο όλων των στοιχείων της σχέσης είναι τότε ένα συνηθισμένο σύνολο, γι' αυτό τα άγκιστρα.

Τώρα ας αναζητήσουμε όλες τις σχέσεις «πατέρας – γιος». Αυτή είναι ήδη εκ πρώτης όψεως διμελής σχέση, στο αποτέλεσμα θα εμφανίζονται διατεταγμένα ζεύγη στοιχείων. Το σύνολο που προκύπτει έχει την εξής μορφή: {(Γιώργος, Νίκος), (Μάξιμος, Γιώργος)}. Ο πατέρας Γιώργος είναι πατέρας του γιου Νίκου και ο παππούς Μάξιμος είναι πατέρας του πατέρα Γιώργου. Πρόσεξε ότι πραγματικά η σειρά έχει σημασία, ο Γιώργος υπάρχει εκεί δύο φορές, αλλά μία στην πρώτη θέση στον ρόλο του πατέρα και μία στη δεύτερη θέση στον ρόλο του γιου.

Ας δοκιμάσουμε και μια άλλη σχέση: «γονέας – παιδί». Εδώ θα υπάρχουν περισσότερα, γιατί στην πρώτη θέση μπορεί να βρίσκεται οποιοσδήποτε από τους γονείς, τόσο ο πατέρας όσο και η μητέρα, και στη δεύτερη θέση μπορεί να βρίσκεται οποιοδήποτε παιδί, τόσο ο γιος όσο και η κόρη. Πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη ότι ο παππούς Μάξιμος είναι γονέας του Γιώργου, αλλά δεν είναι γονέας της Αθηνάς. Ο Γιώργος και η Αθηνά είναι όμως και οι δύο γονείς της Σοφίας και του Νίκου. Η Σοφία και ο Νίκος δεν είναι γονείς κανενός, επειδή είναι μόλις δεκαεννέα και δεκατριών ετών. Στο αποτέλεσμα θα υπάρχουν αυτά τα διατεταγμένα ζεύγη: {(Μάξιμος, Γιώργος), (Γιώργος, Σοφία), (Γιώργος, Νίκος), (Αθηνά, Σοφία), (Αθηνά, Νίκος)}. Πρόσεξε ότι ο Γιώργος και η Αθηνά υπάρχουν εκεί δύο φορές – μία ως γονείς της κόρης Σοφίας και μία ως γονείς του Νίκου.

Ένα τελευταίο πείραμα με τις διμελείς σχέσεις. Ας έχουμε αυτή τη σχέση: «αδέλφι – αδέλφι». Εδώ πρέπει να συνειδητοποιήσουμε ότι στις σχέσεις η σειρά έχει σημασία, άρα αν στο αποτέλεσμα αυτής της σχέσης γράφαμε μόνο «Σοφία – Νίκος», θα ήταν λάθος, επειδή πρόκειται για εντελώς διαφορετικό διατεταγμένο ζεύγος από το «Νίκος – Σοφία». Γι' αυτό το σωστό αποτέλεσμα είναι: {(Σοφία, Νίκος), (Νίκος, Σοφία)}.

Και ένα ακόμη πολύ σύντομο παράδειγμα για την τριμελή σχέση: Γράψε όλες τις διατεταγμένες τριάδες αυτής της σχέσης: «παππούς – πατέρας – παιδί». Στην εκφώνηση έχουμε μόνο έναν παππού και έναν πατέρα, αλλά δύο απογόνους. Δεν αρκεί να γράψουμε μόνο την εκδοχή με τη Σοφία ή με τον Νίκο, πρέπει να τους καταγράψουμε και τους δύο. Άλλο θα ήταν, αν στο τέλος αντί για «παιδί» αναφερόταν «γιος». Το σωστό αποτέλεσμα είναι: {(Μάξιμος, Γιώργος, Σοφία), (Μάξιμος, Γιώργος, Νίκος)}.

Ορισμός μονομελούς σχέσης

Ας δοκιμάσουμε να εξερευνήσουμε τις πιο απλές σχέσεις, τις μονομελείς. Με μονομελή σχέση εννοούμε ένα σύνολο στοιχείων. Το σύνολο {2, 3} μπορεί να αντιπροσωπεύει κάποια σχέση. Για παράδειγμα τη σχέση «είναι πρώτος αριθμός μικρότερος του πέντε» ή «είναι μη τετριμμένος διαιρέτης του αριθμού έξι», ανάλογα με την ερμηνεία μας.

Οι πιο προσεκτικοί αναγνώστες θα πρόσεξαν ότι η δεύτερη σχέση είναι ορισμένη κάπως περίεργα. Λέει ότι η σχέση πρέπει να περιέχει τους μη τετριμμένους διαιρέτες του αριθμού έξι και στο σύνολο που προκύπτει έχουμε τους αριθμούς 2 και 3. Δεν μας λείπουν κάποιοι; Οι αριθμοί 1 και 6 είναι τετριμμένοι διαιρέτες, αυτοί δεν μας ενδιαφέρουν. Θα έπρεπε όμως να υπάρχουν και οι αρνητικοί αριθμοί, δηλαδή −2 και −3. Το σύνολο όλων των μη τετριμμένων διαιρετών του αριθμού 6 έχει την εξής μορφή: {−3, −2, 2, 3}.

Όπως στις συναρτήσεις καθορίζουμε το πεδίο ορισμού, έτσι και στη σχέση καθορίζουμε το σύνολο ορισμού της σχέσης – το σύνολο από το οποίο επιλέγουμε τα στοιχεία της σχέσης. Στα προηγούμενα παραδείγματα καθορίσαμε για παράδειγμα την οικογένεια, όπου υπήρχε ο παππούς Μάξιμος κ.λπ. Δεν επιλέγαμε τον πατέρα και τα παιδιά από όλες τις οικογένειες του κόσμου. Αν ως σύνολο ορισμού καθορίσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, τότε η σχέση μας θα είναι σωστά ορισμένη.

Τώρα μπορούμε πια να περάσουμε στον ορισμό της σχέσης. Αν το σύνολο ορισμού είναι οι φυσικοί αριθμοί, ποια στοιχεία μπορεί να περιέχει η μονομελής σχέση μας; Πάλι μόνο φυσικούς αριθμούς. Είτε όλους είτε μόνο κάποιο μέρος τους. Μπορούμε λοιπόν να πούμε ότι η σχέση αυτή θα είναι υποσύνολο του συνόλου των φυσικών αριθμών. Γενικότερα, αν έχουμε μονομελή σχέση R και σύνολο ορισμού M, τότε ισχύει R ⊆ M, η σχέση R είναι υποσύνολο του συνόλου M.

Ορισμός διμελούς σχέσης

Πώς θα είναι τα πράγματα για τη διμελή σχέση; Στη διμελή σχέση τα στοιχεία της σχέσης R είναι διατεταγμένα ζεύγη. Κάθε στοιχείο του ζεύγους μπορεί να προέρχεται από άλλο σύνολο. Μπορούμε να έχουμε τη σχέση «γονέας – αριθμός παιδιών». Ο γονέας θα επιλέγεται από το σύνολο των ανθρώπων, ας πούμε στην Ευρώπη, και ο αριθμός των παιδιών θα επιλέγεται από το σύνολο των φυσικών αριθμών μαζί με το μηδέν.

Με ποιον τρόπο παίρνουμε από δύο σύνολα το σύνολο όλων των δυνατών ζευγών; Με το καρτεσιανό γινόμενο. Αν έχουμε τα σύνολα A = {a, b, c}, B = {1, 2}, τότε με το καρτεσιανό γινόμενο παίρνουμε:

$$A\times B=\{(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)\}$$

Αυτό είναι το σύνολο όλων των δυνατών ζευγών που μπορούμε να πάρουμε, αν στην πρώτη θέση βρίσκεται στοιχείο του συνόλου A και στη δεύτερη θέση στοιχείο του συνόλου B. Αν λοιπόν έχουμε διμελή σχέση R μεταξύ των συνόλων A και B, τότε τη σχέση αυτή μπορούμε να την ορίσουμε ως R ⊆ A × B.

Αν κρατήσουμε τα προηγούμενα σύνολα A και B και ορίσουμε μια σχέση R μεταξύ αυτών των συνόλων ως εξής: «γράμμα – σειρά του γράμματος στο αλφάβητο», τότε η σχέση αυτή θα έχει τη μορφή: R = {(a, 1), (b, 2)}. Το γράμμα c δεν θα υπάρχει εκεί, επειδή στο καρτεσιανό γινόμενο A × B δεν εμφανίζεται το ζεύγος (c, 3).

Ορισμός n-μελούς σχέσης

Τέλος ορίζουμε τη γενική n-μελή σχέση R μεταξύ των συνόλων M₁, M₂, …, M_n:

$$R\subseteq M_1\times M_2\times \dots \times M_n$$

Η σχέση είναι λοιπόν υποσύνολο διατεταγμένων n-άδων. Παράδειγμα διμελούς σχέσης μπορεί να είναι η σχέση «μικρότερο από», δηλαδή <. Αυτήν μπορούμε να την ορίσουμε μεταξύ κάποιων αριθμητικών συνόλων, για παράδειγμα μεταξύ των φυσικών αριθμών. Τότε η σχέση θα έχει την εξής μορφή:

$$<\subseteq \mathbb{N}\times \mathbb{N}$$

(Μην τρομάξεις που το σύμβολο < βρίσκεται τόσο παράξενα στα αριστερά. Είναι απλώς το όνομα της σχέσης. Θα μπορούσε να είναι πάλι R, όπου το R θα αντιπροσώπευε τη σχέση μικρότερο από.)

Συγκεκριμένα, η σχέση αυτή θα είχε την εξής μορφή:

$$\begin{array}{rcl}<=& & (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),\dots \\ & & (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\dots \\ & & (3,4),(3,5),(3,6),(3,7),\dots \\ & & (4,5),(4,6),(4,7),(4,8),\dots \\ & & \dots \\ & & \end{array}$$

Είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών τέτοιων ώστε ο φυσικός αριθμός στην πρώτη θέση να είναι μικρότερος από τον φυσικό αριθμό στη δεύτερη θέση.

Συμβολισμός σχέσεων

Τις σχέσεις τις ονομάζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα R, S κ.λπ. ή με καθιερωμένα σύμβολα: <, ⊆, = κ.λπ. Από τους προηγούμενους ορισμούς φαίνεται ότι η σχέση είναι στην πραγματικότητα σύνολο. Άλλωστε σχεδόν τα πάντα στα μαθηματικά είναι στην ουσία σύνολο :-). Γι' αυτό, αν θέλουμε να πούμε ότι το στοιχείο r ανήκει στη σχέση R, μπορούμε να το γράψουμε ως r ∈ R.

Για παράδειγμα, μπορούμε να γράψουμε (1, 3) ∈ < και αυτό σημαίνει ότι το ζεύγος των αριθμών ένα και τρία ανήκει στη σχέση μικρότερο από. Στις διμελείς σχέσεις συναντάμε συχνά έναν πιο ευχάριστο συμβολισμό, που ξέρεις ήδη από το δημοτικό. Αντί να χρησιμοποιούμε τον τελεστή του ανήκειν ∈, απλώς γράφουμε 1 < 3. Ανάλογα συνήθως δεν γράφουμε (5, 5) ∈ =, αλλά γράφουμε 5 = 5.