Αντίστροφος πίνακας

Αντίστροφος πίνακας είναι ο πίνακας που ορίζεται για τετραγωνικούς αντιστρέψιμους πίνακες. Όταν πολλαπλασιάσουμε έναν πίνακα με τον αντίστροφό του, παίρνουμε τον μοναδιαίο πίνακα.

Ορισμός

Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να υπολογιστεί μόνο από τετραγωνικό πίνακα, για ορθογώνιο πίνακα ο αντίστροφος δεν ορίζεται. Ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα A (τον συμβολίζουμε A⁻¹) υπάρχει επιπλέον μόνο όταν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος (δεν έχει γραμμικά εξαρτημένες γραμμές). Ο πίνακας αυτός τότε προσδιορίζεται μονοσήμαντα. Οι δύο βασικές ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα είναι:

$$(A^{-1}{)}^{-1}=A$$

Και κυρίως η πιο σημαντική ιδιότητα του αντίστροφου πίνακα (που είναι ταυτόχρονα και ο ορισμός του αντίστροφου πίνακα):

$$A\cdot A^{-1}=E$$

Με E συμβολίζουμε τον μοναδιαίο πίνακα.

Πώς υπολογίζουμε τον αντίστροφο πίνακα

Και τώρα στη μέθοδο υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα. Ο απλούστερος αλγόριθμος είναι η μέθοδος απαλοιφής του Gauss, που συνίσταται στο ότι μετασχηματίζεις τον πίνακα A σε μοναδιαίο και δίπλα σε αυτόν τον πίνακα γράφεις τον μοναδιαίο πίνακα και σε αυτόν εκτελείς τους ίδιους μετασχηματισμούς όπως στον πίνακα A. Στο τέλος της διαδικασίας έχεις αριστερά τον πίνακα A μετασχηματισμένο σε μοναδιαίο και δεξιά τον αντίστροφο πίνακα. Ας το δοκιμάσουμε σε ένα απλό παράδειγμα:

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

Με μια ματιά βλέπουμε ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, άρα έχει νόημα να υπολογίσουμε τον αντίστροφο πίνακα. Όταν υπολογίζουμε τον αντίστροφο πίνακα, συνήθως το γράφουμε στη μορφή:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 3& 4& 0& 1\end{array}\right)$$

Τώρα μετασχηματίζουμε τον αριστερό πίνακα σε μοναδιαίο και τους ίδιους ακριβώς μετασχηματισμούς θα εκτελούμε στον δεξιό πίνακα. Προσθέτουμε το −3-πλάσιο της πρώτης γραμμής στη δεύτερη. Πρώτα ο αριστερός πίνακας:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& 0& 1\end{array}\right)$$

Τώρα προσθέτουμε το −3-πλάσιο της πρώτης γραμμής του δεξιού πίνακα στη δεύτερη γραμμή του δεξιού πίνακα:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Τώρα πρέπει να πάρουμε μηδέν στη θέση a₁₂. Αρκεί να προσθέσουμε στην πρώτη γραμμή τη δεύτερη γραμμή. Τώρα θα εκτελέσω και τους δύο μετασχηματισμούς σε ένα βήμα:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& -2& -3& 1\end{array}\right)$$

Και τώρα θα απαλλαγούμε από το μείον δύο διαιρώντας ολόκληρη τη γραμμή με το μείον δύο:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Ο αντίστροφος πίνακας που προκύπτει είναι:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

Αν θέλεις να επαληθεύσεις αν ο αντίστροφος πίνακας που υπολόγισες είναι σωστός, πολλαπλασίασέ τον με τον αρχικό πίνακα:

$$\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ \frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Για έλεγχο μπορείς να δεις το WolframAlpha.

Υπολογισμός με ορίζουσα

Τον αντίστροφο πίνακα μπορούμε να τον υπολογίσουμε και με τη βοήθεια της ορίζουσας. Ισχύει ότι αν έχουμε αντιστρέψιμο πίνακα A, τότε ο αντίστροφος πίνακας A⁻¹ έχει στοιχεία $a_{ij}^{-1}$, που είναι ίσα με:

$$a_{ij}^{-1}=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{j,i}\right|}{\left|A\right|}$$

Στο αριστερό μέλος έχουμε i,j, αλλά στον αριθμητή έχουμε j,i, πρόσεξε, δεν είναι λάθος ότι είναι έτσι αντεστραμμένα. Στον αριθμητή έχουμε τον πίνακα A_j,i, που είναι υποπίνακας του πίνακα A, τον οποίο παίρνουμε όταν από τον πίνακα A αφαιρέσουμε τη j-οστή γραμμή και την i-οστή στήλη. Έτσι αν

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right),$$

τότε ισχύει:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{ccc}\text{⧸}1& \text{⧸}2& \text{⧸}3\\ \text{⧸}4& 5& 6\\ \text{⧸}7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right),A_{1,3}=\left(\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right),A_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right)$$

Αν δεν σου αρέσει που οι δείκτες είναι ανάποδα, μπορούμε να το γράψουμε και ως εξής:

$$(a_{ij}^{-1}{)}^T=\frac{(-1{)}^{i+j}\cdot \left|A_{i,j}\right|}{\left|A\right|}$$

Δηλαδή αν δεν αντιμεταθέσεις τους δείκτες, υπολογίζεις τον ανάστροφο του αντίστροφου πίνακα. Αν αυτόν τον ανάστροφο πίνακα τον αναστρέψεις πάλι, παίρνεις τον αντίστροφο πίνακα.

Ο υπολογισμός με αυτή τη μέθοδο είναι συνήθως μακροσκελής, ταιριάζει κυρίως για αυτόματο υπολογισμό από υπολογιστή, επειδή είναι πολύ άμεσος. Στο παράδειγμα θα δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε μόνο δύο αριθμούς. Έστω λοιπόν αυτός ο πίνακας:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right)$$

Πρώτα υπολογίζουμε την ορίζουσα ολόκληρου αυτού του πίνακα, που χρησιμοποιείται στον παρονομαστή του κλάσματος:

$$det(A)=-1$$

Τώρα υπολογίζουμε το πρώτο στοιχείο του αντίστροφου πίνακα. Θα το συμβολίσουμε $a_{11}^{-1}$. Αυτό θα είναι ίσο με:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+1}\cdot \left|A_{1,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Θα χρειαστούμε τον υποπίνακα A_1,1. Παραλείποντας την πρώτη γραμμή και την πρώτη στήλη παίρνουμε:

$$A_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ -5& -1\end{array}\right)$$

Τώρα πρέπει να υπολογίσουμε την ορίζουσα αυτού του πίνακα:

$$det(A_{1,1})=8$$

Και τώρα μπορούμε πια να αντικαταστήσουμε στον τύπο:

$$a_{11}^{-1}=\frac{(-1{)}^2\cdot 8}{-1}=\frac{1\cdot 8}{-1}=-8$$

Και έχουμε το πρώτο στοιχείο του αντίστροφου πίνακα.

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& ?& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Τον δεύτερο αριθμό τον παίρνουμε ως εξής:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^{1+2}\cdot \left|A_{2,1}\right|}{\left|A\right|}$$

Η ορίζουσα του υποπίνακα θα είναι ίση με

$$det(A_{2,1})=\left|\begin{array}{cc}-4& 5\\ -5& -1\end{array}\right|=29$$

Και με την τελική αντικατάσταση παίρνουμε:

$$a_{12}^{-1}=\frac{(-1{)}^3\cdot 29}{-1}=\frac{-1\cdot 29}{-1}=\frac{-29}{-1}=29$$

Ένα ακόμη κομμάτι του παζλ:

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-8& 29& ?\\ ?& ?& ?\\ ?& ?& ?\end{array}\right)$$

Και ούτω καθεξής.