Τάξη πίνακα

Τάξη πίνακα είναι ο αριθμός που παριστάνει το πλήθος των ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του πίνακα.

Ορισμός

Τάξη ενός πίνακα είναι το μέγιστο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών/στηλών του πίνακα. Ο μηδενικός πίνακας έχει τάξη μηδέν, κάθε άλλος πίνακας έχει τάξη τουλάχιστον ένα. Ένας πίνακας τύπου m × n μπορεί να έχει τάξη το πολύ min(m, n). Δηλαδή αν ο πίνακας έχει λιγότερες γραμμές από στήλες, τότε η τάξη του πίνακα θα είναι το πολύ ίση με το πλήθος των γραμμών. Αντίστοιχα για τις στήλες.

Την τάξη του πίνακα τη συμβολίζουμε συνήθως με την αγγλική λέξη «rank». Γράφουμε τότε rank(A) = x.

Πώς υπολογίζουμε την τάξη

Τώρα, πώς υπολογίζεται η τάξη του πίνακα. Είναι αρκετά απλό. Πρέπει να μετασχηματίσεις τον πίνακα σε μορφή από την οποία θα φαίνεται καθαρά ποιες γραμμές είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Αυτό γίνεται συνήθως με μετασχηματισμό του πίνακα σε κλιμακωτή μορφή (κάτω από τη διαγώνιο μόνο μηδενικά) και τότε φαίνεται ήδη πώς έχει ο πίνακας. Πάμε κατευθείαν στο παράδειγμα – έχουμε αυτόν τον πίνακα:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Και πρέπει να βρούμε την τάξη του. Τώρα πρέπει να έχουμε υπόψη μια μικρή λεπτομέρεια. Αν έχουμε δύο γραμμές γεμάτες με αριθμούς διαφορετικούς από το μηδέν, θεωρητικά μπορεί να είναι γραμμικά εξαρτημένες. Θα έπρεπε να το υπολογίσουμε. Αν όμως η μία από αυτές τις γραμμές έχει κάπου μηδέν, ενώ η άλλη γραμμή στην ίδια θέση δεν έχει μηδέν, μπορούμε να ισχυριστούμε με βεβαιότητα ότι δεν είναι εξαρτημένες. Δεν θα βρούμε ποτέ αριθμό με τον οποίο να πολλαπλασιάσουμε εκείνο το μηδέν (και κατ' επέκταση ολόκληρη τη γραμμή), ώστε να πάρουμε εκεί τον ίδιο αριθμό που βρίσκεται στην άλλη γραμμή. Γι' αυτό πάντα θα προσπαθούμε να μετασχηματίζουμε τους πίνακες σε κλιμακωτή μορφή, για να φέρουμε εκεί αυτά τα μηδενικά.

Την προηγούμενη παράγραφο μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής. Αν α₁, α₂ ≠ 0, τότε:

$${\alpha }_1\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)+{\alpha }_2\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 3\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{ccc}0& a& b\end{array}\right)$$

Γι' αυτό προσπαθούμε να φέρουμε τον πίνακα σε παρόμοια μορφή, ώστε να βλέπουμε εύκολα τις εξαρτήσεις. Κοίτα ένα παράδειγμα:

$$\left(\begin{array}{ccc}4& -5& 1\\ 0& 7& 2\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$$

Αυτός είναι πίνακας σε κλιμακωτή μορφή, καμία γραμμή δεν είναι γραμμικά εξαρτημένη. Δεν μπορείς με τις δύο πρώτες γραμμές να εκφράσεις την τρίτη, επειδή αν έχεις μη μηδενικούς συντελεστές άλφα, στις πρώτες θέσεις θα σου μένει πάντα κάποιος μη μηδενικός αριθμός.

Η διαδικασία είναι συνήθως η εξής: πρώτα φέρνουμε μηδενικά στην πρώτη στήλη (εκτός από την πρώτη γραμμή). Μετά μετασχηματίζουμε τον πίνακα περαιτέρω, ώστε να πάρουμε μηδενικά στη δεύτερη στήλη, μετά στην τρίτη κ.ο.κ. κ.ο.κ. κ.ο.κ. μέχρι να έχουμε στο τέλος κλιμακωτή μορφή. Μετράμε τις μη μηδενικές γραμμές και ιδού, έχουμε την τάξη του πίνακα. Μπορούμε να χρησιμοποιούμε αυτούς τους μετασχηματισμούς χωρίς να αλλάξει η τάξη του πίνακα:

• Αντιμετάθεση οποιωνδήποτε δύο γραμμών.
• Πολλαπλασιασμός μιας γραμμής με οποιαδήποτε μη μηδενική παράσταση.
• Πρόσθεση μιας γραμμής σε μια άλλη.
• Όλοι οι προηγούμενοι μετασχηματισμοί μπορούν να εφαρμοστούν και σε στήλες.

Παράδειγμα

Στον προηγούμενο πίνακά μας θα κάνουμε τους μετασχηματισμούς ως εξής: Κοιτάμε ποια είναι η σχέση ανάμεσα στα στοιχεία a₁₁ και a₂₁. Βλέπουμε ότι είναι ίσα, επομένως για να πάρουμε στη θέση a₂₁ μηδέν, πρέπει να προσθέσουμε το −1-πλάσιο της πρώτης γραμμής. Προσθέτουμε το −1-πλάσιο της πρώτης γραμμής στη δεύτερη γραμμή (δηλαδή αφαιρούμε την πρώτη γραμμή από τη δεύτερη):

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 1& 3& 3\end{array}\right)$$

Τώρα έχουμε μηδέν εκεί που το θέλαμε. Μένει ακόμη να πάρουμε μηδέν στη θέση a₃₁. Εκεί υπάρχει πάλι μονάδα, οπότε απλώς αφαιρούμε την πρώτη γραμμή:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$$

Τώρα έχουμε ήδη μηδενικά στην πρώτη στήλη, οπότε με όρεξη καταπιανόμαστε με τη δεύτερη στήλη. Βλέπουμε ότι οι αριθμοί a₂₂ και a₃₂ είναι αντίθετοι, άρα αρκεί να προσθέσουμε τις γραμμές:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

Και προέκυψε μία μηδενική γραμμή. Οι μετασχηματισμοί τελείωσαν, φτάσαμε σε κλιμακωτή μορφή. Τώρα απλώς μετράμε τις μη μηδενικές γραμμές και έχουμε την τάξη. Αυτή είναι ίση με rank A = 2. Αυτός ο πίνακας είχε τάξη δύο.

Δεύτερο παράδειγμα

Τώρα θα δοκιμάσουμε να υπολογίσουμε την τάξη ενός λίγο μεγαλύτερου πίνακα:

$$\left(\begin{array}{cccc}7& 2& 5& 1\\ 1& 3& 5& -7\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Τάξη πίνακα είναι το μέγιστο πλήθος γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών, επομένως μπορούμε να επιτρέψουμε στον εαυτό μας να ανακατέψουμε τις γραμμές του πίνακα όπως θέλουμε. Εδώ θα βόλευε να έχουμε στην κορυφή μια γραμμή με μονάδα στην αρχή, για να μας διευκολύνει στους υπολογισμούς. Μπορούμε λοιπόν ανέμελα να αντιμεταθέσουμε την πρώτη με τη δεύτερη γραμμή:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 7& 2& 5& 1\\ 4& -5& 1& 0\\ 2& 8& 10& -9\end{array}\right)$$

Τώρα θα προχωρήσουμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Πρέπει να έχουμε στην πρώτη στήλη μόνο μηδενικά (εκτός φυσικά από την πρώτη γραμμή), οπότε στη δεύτερη γραμμή προσθέτουμε το −7-πλάσιο της πρώτης γραμμής, στην τρίτη το −4-πλάσιο και στην τελευταία το −2-πλάσιο. Η πρώτη γραμμή μένει αμετάβλητη:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& -19& -30& 50\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& 2& 0& 5\end{array}\right)$$

Πάλι αντιμεταθέτουμε γραμμές, αυτή τη φορά θα έπρεπε να βάλουμε την τελευταία γραμμή στη θέση της δεύτερης, λόγω του δύο στη δεύτερη θέση. Αντιμεταθέτουμε τη δεύτερη και την τέταρτη γραμμή:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -17& -19& 28\\ 0& -19& -30& 50\end{array}\right)$$

Βλέπουμε όμως ότι κάτω από το δύο έχουμε τους αριθμούς −17 και −19. Κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν διαιρείται με το δύο, που είναι άβολο, ακόμη και κάπως ενοχλητικό. Γι' αυτό τώρα πολλαπλασιάζουμε την τρίτη και την τέταρτη γραμμή με το δύο:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& -34& -38& 56\\ 0& -38& -60& 100\end{array}\right)$$

Τώρα μπορούμε να συνεχίσουμε τους μετασχηματισμούς προσπαθώντας να μηδενίσουμε τη δεύτερη στήλη. Στην τρίτη γραμμή προσθέτουμε το 17-πλάσιο της δεύτερης γραμμής και στην τέταρτη το 19-πλάσιο:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& -38& 141\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Λοιπόν, τώρα πήραμε αρκετά άβολους αριθμούς για τον επόμενο μετασχηματισμό, αλλά κάπως θα τα καταφέρουμε. Διαιρούμε την τρίτη γραμμή με το −38:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& -60& 195\end{array}\right)$$

Και τώρα πολλαπλασιάζουμε την τρίτη γραμμή με το 60 και την προσθέτουμε στην τέταρτη γραμμή:

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& 195-\frac{60\cdot 141}{38}\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 5& -7\\ 0& 2& 0& 5\\ 0& 0& 1& -141/38\\ 0& 0& 0& -\frac{525}{19}\end{array}\right)$$

Μας βγήκε μεν άσχημος, αλλά μη μηδενικός αριθμός. Ο πίνακας έχει επομένως τάξη τέσσερα, δεν περιέχει καμία γραμμικά εξαρτημένη γραμμή.

Παράδειγμα με παράμετρο

Ποια είναι η τάξη του πίνακα A ανάλογα με την παράμετρο q;

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$$

Αυτή είναι μια κάπως πιο σύνθετη άσκηση, επειδή έχουμε παράμετρο q. Πρέπει να βρούμε για ποιες τιμές του q ο πίνακας έχει μέγιστη τάξη, αν συμβαίνει καθόλου, και για ποιες μικρότερη. Θα προχωρήσουμε κλασικά, μόνο που κατά τόπους αντί για συγκεκριμένες τιμές θα υπολογίζουμε με το αφηρημένο q. Στο πρώτο βήμα μεταφέρουμε την παράμετρο q σε κάποιο καλύτερο σημείο, συγκεκριμένα εντελώς κάτω δεξιά. Αντιμεταθέτουμε έτσι τη δεύτερη γραμμή με την τρίτη και στη συνέχεια την πρώτη στήλη με την τελευταία:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ q& 5& 8\\ 4& 1& 3\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 8& 17\\ 4& 1& 3\\ q& 5& 8\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)$$

Τώρα φέραμε την παράμετρο σε κατάλληλο σημείο, όπου δεν θα ενοχλεί πολύ. Στην πρώτη στήλη όμως έχουμε αρκετά άβολους αριθμούς, ωστόσο ακριβώς στη μέση έχουμε μια μονάδα: τη μεταφέρουμε πάνω αριστερά, δηλαδή αντιμεταθέτουμε την πρώτη και τη δεύτερη γραμμή και την πρώτη και τη δεύτερη στήλη:

$$\left(\begin{array}{ccc}17& 8& 1\\ 3& 1& 4\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 17& 8& 1\\ 8& 5& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Τώρα έγινε ωραίος πίνακας. Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με το −8 και την προσθέτουμε στη δεύτερη γραμμή:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 8& 17& 1\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)$$

Πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με το −5 και την προσθέτουμε στην τρίτη γραμμή:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 5& 8& q\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)$$

Ωραία, την πρώτη στήλη την έχουμε όπως τη χρειαζόμαστε. Τώρα προσθέτουμε το −1-πλάσιο της δεύτερης γραμμής στην τρίτη:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& -7& q-20\end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 3& 4\\ 0& -7& -31\\ 0& 0& q+11\end{array}\right)$$

Και φτάσαμε στο τέλος των μετασχηματισμών του πίνακα. Βλέπουμε ότι η πρώτη και η δεύτερη γραμμή είναι σίγουρα γραμμικά ανεξάρτητες. Γραμμικά εξαρτημένη όμως μπορεί να είναι η τρίτη γραμμή. Η γραμμή θα είναι γραμμικά εξαρτημένη, αν είναι ολόκληρη μηδενική, δηλαδή αν επιλέξουμε την παράμετρο q έτσι ώστε η παράσταση q + 11 να είναι ίση με μηδέν. Προφανώς ισχύει ότι αν q = −11, τότε η γραμμή είναι μηδενική και επομένως γραμμικά εξαρτημένη.

Το τελικό συμπέρασμα λοιπόν: για q = −11 ο πίνακας έχει τάξη δύο, ειδάλλως έχει τάξη τρία.