Διανυσματικοί χώροι

Ο διανυσματικός χώρος, που λέγεται και γραμμικός χώρος, είναι ένα σύνολο στοιχείων που πρέπει να ικανοποιούν ορισμένες ιδιότητες, χάρη στις οποίες τα στοιχεία του συνόλου αυτού, που τα λέμε διανύσματα, συμπεριφέρονται «όμορφα».

Παράδειγμα διανυσματικού χώρου

Πριν ορίσουμε τον διανυσματικό χώρο, θα δούμε ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου που πρέπει να τον ξέρεις ήδη από το λύκειο, απλώς δεν ξέρεις ότι είναι διανυσματικός χώρος. Είναι τα κλασικά διανύσματα στο επίπεδο.

Διάνυσμα στο επίπεδο ονομάζουμε ένα διατεταγμένο ζεύγος (a, b), όπου a, b ∈ ℝ. Είναι οποιεσδήποτε συντεταγμένες στον χώρο ℝ² (εννοούμε το καρτεσιανό γινόμενο ℝ × ℝ). Ένα τέτοιο διάνυσμα μπορούμε να το παραστήσουμε με βέλος από το σημείο (0, 0) στο σημείο (a, b). Το διάνυσμα (2, 3) θα έμοιαζε ως εξής:

Ξέρουμε ότι τα διανύσματα μπορούμε να τα προσθέτουμε με τον κανόνα (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d). Το άθροισμα των διανυσμάτων (2, 3) + (4, 1) θα ήταν ίσο με το διάνυσμα (2 + 4, 3 + 1) = (6, 4). Γραφικά θα το παραστήσουμε έτσι:

Ταυτόχρονα μπορούμε να υπολογίσουμε το k-πολλαπλάσιο ενός διανύσματος, όπου k είναι πραγματικός αριθμός. Το k-πολλαπλάσιο το γράφουμε ως k · (a, b). Αποτέλεσμα είναι ένα νέο διάνυσμα, που ορίζεται ως k · (a, b) = (k · a, k · b). Γραφικά αυτό φαίνεται ως «τέντωμα», «σμίκρυνση» ή αλλαγή κατεύθυνσης του διανύσματος. Αν έχουμε το διάνυσμα u = (2, 3), τότε τα διανύσματα 2 · u, $\frac{1}{2}u$ και −1 · u έχουν την εξής μορφή:

Ότι το σύνολο όλων των διανυσμάτων ℝ² με τις πράξεις που ορίσαμε αποτελεί διανυσματικό χώρο, θα το αποδείξουμε αργότερα. Πρώτα θα ορίσουμε τον διανυσματικό χώρο και στον διανυσματικό χώρο ℝ² θα δείξουμε μία προς μία τις ιδιότητες.

Ορισμός διανυσματικού χώρου

Διανυσματικός χώρος (ή γραμμικός χώρος) είναι ένα μη κενό σύνολο V, τα στοιχεία του οποίου τα λέμε διανύσματα. Επιπλέον, στο σύνολο πρέπει να υπάρχουν δύο πράξεις: πρόσθεση διανυσμάτων, δηλαδή η απεικόνιση V × V ⟶ V, και πολλαπλασιασμός διανύσματος με πραγματικό αριθμό, δηλαδή η απεικόνιση ℝ × V ⟶ V. (Γενικότερα, στη θέση του συνόλου των πραγματικών αριθμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοδήποτε σώμα, αλλά γι' αυτό θα μιλήσουμε σε επόμενα άρθρα.) Την πρόσθεση διανυσμάτων τη συμβολίζουμε με το σύμβολο + και τον πολλαπλασιασμό με ·. Οι δύο αυτές πράξεις πρέπει να ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες. Δηλαδή για όλα τα x, y, z ∈ V και για όλα τα a, b ∈ ℝ πρέπει να ισχύει (πρόσεξε ότι τα διανύσματα x, y, z είναι με έντονα γράμματα, ενώ οι αριθμοί a, b με κανονικά):

1. x + y = y + x: η πρόσθεση διανυσμάτων είναι αντιμεταθετική. Αν γυρίσουμε στο παράδειγμα με τα διανύσματα στον ℝ², δεν έχει σημασία αν θα προσθέσουμε τα διανύσματα ως εξής (2, 3) + (4, 1) ή αντίστροφα: (4, 1) + (2, 3) .

• (x + y) + z = x + (y + z): η πρόσθεση διανυσμάτων είναι προσεταιριστική. Και πάλι μπορούμε να αντικαταστήσουμε με κάποια διανύσματα του ℝ² και θα δούμε ότι βγαίνει.
• a · (b · x) = (a · b) · x: προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Για τα διανύσματά μας θα ισχύει ότι το 4 · (5 · (6, 7)) είναι το ίδιο με το (4 · 5) · (6, 7). Και τα δύο παραδείγματα οδηγούν στο διάνυσμα (20 · 6, 20 · 7).
• a · (x + y) = a · x + a · y: επιμεριστική ιδιότητα για διανύσματα του V. Και πάλι βλέπουμε ότι το 2 · ((2, 3) + (4, 5)) είναι το ίδιο με το 2 · (2, 3) + 2 · (4, 5). Και οι δύο παραστάσεις οδηγούν στο διάνυσμα (2 · 6, 2 · 8).
• (a + b) · x = a · x + b · x: επιμεριστική ιδιότητα της πρόσθεσης αριθμών.
• 1 · x = x: αν πολλαπλασιάσουμε οποιοδήποτε διάνυσμα με τον πραγματικό αριθμό 1, η τιμή του διανύσματος δεν αλλάζει. Στην περίπτωσή μας ισχύει ότι 1 · (5, 8) = (5, 8).
• Υπάρχει στοιχείο 0 ∈ V τέτοιο ώστε 0 · x = 0. Το έντονο μηδέν, δηλαδή το 0, είναι το λεγόμενο μηδενικό διάνυσμα, ενώ το κανονικό μηδέν 0 είναι απλώς ο αριθμός μηδέν. Το σημείο αυτό λέει ότι στο V πρέπει να υπάρχει ένα διάνυσμα, που το παίρνουμε αν πολλαπλασιάσουμε οποιοδήποτε διάνυσμα x ∈ V με τον αριθμό μηδέν. Για τον χώρο μας ℝ² είναι το διάνυσμα (0, 0), επειδή για όλα τα διανύσματα (a, b) ∈ ℝ² ισχύει ότι 0 · (a,b) = (0, 0).

Αυτές είναι όλες οι ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιεί ένας διανυσματικός (γραμμικός) χώρος V. Αν πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με κάποιον πραγματικό αριθμό a, τον αριθμό αυτόν a τον λέμε βαθμωτό μέγεθος. Έτσι μιλάμε συχνά για πολλαπλασιασμό με βαθμωτό και εννοούμε παράσταση της μορφής a · x, όπου a είναι πραγματικός αριθμός και x διάνυσμα.

Διπλή σημασία του συμβόλου της πρόσθεσης +

Πρόσεξε ότι σε ορισμένες παραστάσεις το σύμβολο της πρόσθεσης + μπορεί να έχει διπλή σημασία. Για παράδειγμα, στο σημείο για την επιμεριστική ιδιότητα της πρόσθεσης αριθμών έχουμε την ισότητα (a + b) · x = a · x + b · x. Το σύμβολο + στο πρώτο μέλος της ισότητας προσθέτει πραγματικούς αριθμούς, αφού τα a και b είναι πραγματικοί αριθμοί, ενώ στο δεύτερο μέλος προσθέτει διανύσματα, αφού το αποτέλεσμα του γινομένου a · x είναι διάνυσμα.

Αυτή η αυτόματη αναγνώριση χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά – από τα συμφραζόμενα είναι πάντα σαφές ποια πρόσθεση εννοούμε. Αν έχουμε την παράσταση x + y και τα x, y είναι διανύσματα, χρησιμοποιούμε την πρόσθεση διανυσμάτων. Αν τα x, y ήταν αριθμοί, θα χρησιμοποιούσαμε την κλασική πρόσθεση. Αν ήταν πίνακες, θα χρησιμοποιούσαμε την πρόσθεση πινάκων, κ.ο.κ.

Θα μπορούσαμε για την πρόσθεση διανυσμάτων να χρησιμοποιήσουμε άλλο σύμβολο, για παράδειγμα ⊕. Τότε την επιμεριστική ιδιότητα της πρόσθεσης αριθμών θα μπορούσαμε να τη γράψουμε έτσι: (a + b) · x = a · x ⊕ b · x. Το κανονικό + εδώ δηλώνει την πρόσθεση των πραγματικών αριθμών a, b, ενώ το σύμβολο ⊕ δηλώνει την πρόσθεση διανυσμάτων. Συνήθως όμως και για τις δύο εκδοχές της πρόσθεσης χρησιμοποιείται ένα σύμβολο + και η σημασία του φαίνεται από τα συμφραζόμενα. Το ίδιο ισχύει και για το σύμβολο ·.

Ο διανυσματικός χώρος R²

Στο πρώτο μέρος ορίσαμε τον διανυσματικό χώρο V = ℝ², τώρα θα αποδείξουμε ότι πράγματι πρόκειται για διανυσματικό χώρο. Πρώτα πρέπει να ελέγξουμε αν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι σωστά ορισμένες. Η πρόσθεση πρέπει να προσθέτει δύο διανύσματα και το αποτέλεσμα να είναι νέο διάνυσμα. Αυτό ισχύει, επειδή (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d). Προσθέτοντας δύο διανύσματα του ℝ² προκύπτει νέο διάνυσμα του ℝ².

Αν, για παράδειγμα, ορίζαμε την πρόσθεση διανυσμάτων ως άθροισμα των μέτρων τους, τότε δεν θα ήταν έγκυρη πράξη πρόσθεσης σε διανυσματικό χώρο. Το μέτρο του διανύσματος (a, b) το υπολογίζουμε ως $\sqrt{a^2+b^2}$. Αποτέλεσμα του αθροίσματος (3, 4) + (5, 12) θα ήταν επομένως ο αριθμός $\sqrt{3^2+4^2}+\sqrt{5^2+{12}^2}=5+13=18$, που δεν είναι διάνυσμα του χώρου ℝ².

Στη συνέχεια πρέπει να ελέγξουμε αν ο πολλαπλασιασμός είναι σωστά ορισμένος. Ο πολλαπλασιασμός πολλαπλασιάζει έναν πραγματικό αριθμό με διάνυσμα του ℝ² και το αποτέλεσμα πρέπει να είναι νέο διάνυσμα του ℝ². Και αυτό ισχύει, επειδή τον πολλαπλασιασμό με βαθμωτό τον έχουμε ορίσει ως k · (a,b) = (k · a, k · b).

Θα ελέγξουμε διαδοχικά και τις 7 ιδιότητες που πρέπει να ικανοποιεί ένας διανυσματικός χώρος. Στη θέση των διανυσμάτων x, y θα βάζουμε τα διανύσματά μας (a, b), (c, d), … ανάλογα με το τι βολεύει, μην τρομάξεις.

1. x + y = y + x, αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης διανυσμάτων. Είναι η πρόσθεση διανυσμάτων που ορίσαμε αντιμεταθετική; Ναι, είναι, επειδή ορίζεται ως (a, b) + (c, d) = (a + c,b + d). Αν στο πρώτο μέλος αντιμεταθέσουμε τα διανύσματα, παίρνουμε: (c, d) + (a, b) = (c + a,d + b). Επειδή το c + a είναι άθροισμα δύο πραγματικών αριθμών και η πρόσθεση πραγματικών αριθμών είναι αντιμεταθετική πράξη, ισχύει ότι c + a = a + c και το ίδιο για το δεύτερο ζεύγος: d + b = b + d. Άρα ισχύει (a + c,b + d) = (c + a,d + b).

• (x + y) + z = x + (y + z). Εδώ θα παίξουμε λίγο με παρενθέσεις. Ουσιαστικά πρόκειται για απλές πράξεις, μόνο που θα φαίνονται μπερδεμένες, επειδή θα υπάρχουν απλώς πολλές παρενθέσεις. Θα προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε το εξής άθροισμα διανυσμάτων:

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c,b+d)+(e,f)=((a+c)+e,(b+d)+f)$$

Επειδή τα a, c, e είναι πραγματικοί αριθμοί και η πρόσθεση είναι προσεταιριστική στους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει ότι (a + c) + e = a + c + e. Το ίδιο για τη δεύτερη συντεταγμένη. Μπορούμε επομένως να γράψουμε ότι

$$((a,b)+(c,d))+(e,f)=(a+c+e,b+d+f)$$

Τώρα θα προσθέσουμε τα ίδια διανύσματα με διαφορετικά τοποθετημένες παρενθέσεις:

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a,b)+(c+e,d+f)=(a+(c+e),b+(d+f))$$

Και πάλι ισχύει ότι a + (c + e) = a + c + e, άρα μπορούμε να γράψουμε ότι

$$(a,b)+((c,d)+(e,f))=(a+c+e,b+d+f)$$

Βλέπουμε λοιπόν ότι όπως κι αν βάλουμε παρενθέσεις στο άθροισμα τριών διανυσμάτων, καταλήγουμε πάντα στο ίδιο διάνυσμα (a + c + e, b + d + f). Η πράξη της πρόσθεσης στον ℝ² είναι επομένως προσεταιριστική και ικανοποιεί και τη δεύτερη ιδιότητα των διανυσματικών χώρων.

Μπορείς να δοκιμάσεις να αντικαταστήσεις τις μεταβλητές a, …, f με συγκεκριμένους αριθμούς και θα δεις ότι βγαίνει.

• a · (b · x) = (a · b) · x. Και πάλι θα αναπτύξουμε πρώτα το πρώτο μέλος της ισότητας, βάζοντας στη θέση του x το διάνυσμα (c, d):

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=a\cdot (b\cdot c,b\cdot d)=(a\cdot (b\cdot c),a\cdot (b\cdot d))$$

Επειδή ο πολλαπλασιασμός πραγματικών αριθμών είναι προσεταιριστικός, παίρνουμε την ισότητα a · (b · c) = a · b · c. Μπορούμε έτσι να γράψουμε:

$$a\cdot (b\cdot (c,d))=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Τώρα θα αναπτύξουμε το δεύτερο μέλος της ισότητας, δηλαδή το (a · b) · x:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=((a\cdot b)\cdot c,(a\cdot b)\cdot d)$$

Και πάλι ισχύει ότι (a · b) · c = a · b · c, οπότε:

$$(a\cdot b)\cdot (c,d)=(a\cdot b\cdot c,a\cdot b\cdot d)$$

Βλέπουμε ότι και τα δύο μέλη της ισότητας οδηγούν στο ίδιο διάνυσμα (a · b · c,a · b · d), άρα η ισότητα ισχύει.

• a · (x + y) = a · x + a · y. Η διαδικασία θα είναι η ίδια, αναπτύσσουμε το πρώτο μέλος της ισότητας:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=a\cdot \left((c+e,d+f)\right)=(a\cdot (c+e),a\cdot (d+f))$$

Επειδή τα a, c, e είναι πραγματικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα, παίρνουμε την ισότητα: a · (c + e) = ac + ae. Μπορούμε έτσι να γράψουμε:

$$a\cdot ((c,d)+(e,f))=(ac+ae,ad+af)$$

Το δεύτερο μέλος της ισότητας:

$$a\cdot (c,d)+a\cdot (e,f)=(ac,ad)+(ae,af)=(ac+ae,ad+af)$$

Βλέπουμε ότι το πρώτο και το δεύτερο μέλος της ισότητας μετά τις πράξεις είναι ίσα.

• (a + b) · x = a · x + b · x: Θα ακολουθήσουμε πολύ παρόμοια διαδικασία με το προηγούμενο βήμα. Επεξεργασία του πρώτου μέλους:

$$(a+b)\cdot (c,d)=((a+b)\cdot c,(a+b)\cdot d)=(ac+bc,ad+bd)$$

Δεύτερο μέλος:

$$a\cdot (c,d)+b\cdot (c,d)=(ac,ad)+(bc,bd)=(ac+bc,ad+bd)$$

• 1 · x = x: Δεν πιστεύω βέβαια ότι κάποιος άντεξε να διαβάσει ως εδώ, αλλά εντάξει, συνεχίζουμε :-). Αυτό το σημείο είναι τουλάχιστον απλό. Πρέπει να ελέγξουμε ότι 1 · (a, b) = (a,b). Αυτό σίγουρα ισχύει, επειδή

$$1\cdot (a,b)=(1\cdot a,1\cdot b)=(a,b)$$

• Υπάρχει στοιχείο 0 ∈ ℝ² τέτοιο ώστε 0 · x = 0: είναι το διάνυσμα (0, 0). Για αυτό ισχύει ότι 0 · (a,b) = (0, 0), επειδή

$$0\cdot (a,b)=(0\cdot a,0\cdot b)=(0,0)$$

Το μέγεθος των διανυσματικών χώρων

Ποιος είναι ο μικρότερος διανυσματικός χώρος; Από τον ορισμό ξέρουμε ότι ο διανυσματικός χώρος είναι ένα μη κενό σύνολο V, άρα το μικρότερο δυνατό μέγεθος που μπορούμε να σκεφτούμε είναι ένα σύνολο με ένα διάνυσμα. Από το έβδομο σημείο του ορισμού ξέρουμε ότι ο χώρος πρέπει να περιέχει το μηδενικό διάνυσμα. Το σύνολο V = {0} είναι επομένως υποψήφιο για τον μικρότερο διανυσματικό χώρο.

Την πρόσθεση μπορούμε να την ορίσουμε ως 0 + 0 = 0 και τον πολλαπλασιασμό ως a · 0 = 0. Ό,τι κι αν κάνουμε, παίρνουμε πάντα το μηδενικό διάνυσμα. Προφανώς αυτό το μονοσύνολο θα έχει και τις επτά απαιτούμενες ιδιότητες.

Ξέρουμε ήδη ότι υπάρχει διανυσματικός χώρος με ένα στοιχείο. Υπάρχει διανυσματικός χώρος που θα έχει δύο στοιχεία; Μπορούμε στο σύνολο V = {x, 0} να ορίσουμε πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού ώστε να προκύψει διανυσματικός χώρος;

Η απάντηση είναι όχι, δεν υπάρχει διανυσματικός χώρος με δύο στοιχεία. Και δεν υπάρχει ούτε κανένας άλλος πεπερασμένος διανυσματικός χώρος εκτός από τον προαναφερθέντα με ένα στοιχείο. Όλοι οι υπόλοιποι διανυσματικοί χώροι είναι άπειροι. Αν όμως, όπως είπαμε, χρησιμοποιούσαμε αντί για το σύνολο των πραγματικών αριθμών κάποιο άλλο, πεπερασμένο, σώμα, θα μπορούσαμε να πάρουμε και άλλον πεπερασμένο διανυσματικό χώρο.

Σύνοψη

Ο ορισμός των διανυσματικών χώρων δεν είναι ιδιαίτερα απλός, τα διανύσματα και οι πράξεις πρέπει να ικανοποιούν συνολικά 7 συνθήκες, που δεν είναι λίγες. Από την άλλη, οι συνθήκες αυτές είναι αρκετά τετριμμένες και κατανοητές – στόχος τους είναι να μπορούμε να δουλεύουμε εύκολα με τα διανύσματα. Χάρη στις συνθήκες που ορίστηκαν μπορούμε να προσθέτουμε διανύσματα ενός διανυσματικού χώρου χωρίς να χρειάζεται να ελέγχουμε αν το αποτέλεσμα της πρόσθεσης θα είναι κάποιο διάνυσμα από άλλον διανυσματικό χώρο. Ομοίως μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε ένα διάνυσμα με πραγματικό αριθμό και πάντα θα παίρνουμε διάνυσμα του ίδιου χώρου. Ότι τα διανύσματα και οι πράξεις τους τηρούν την αντιμεταθετική, την προσεταιριστική και την επιμεριστική ιδιότητα είναι επίσης αρκετά φυσικό.

Τον διανυσματικό χώρο θα μπορούσαμε να τον ορίσουμε και γενικότερα. Αντί για το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε σώμα. Γι' αυτό όμως θα μιλήσουμε σε επόμενα άρθρα.