Σύνολα

Το σύνολο μπορεί να εννοηθεί ως μια συλλογή στοιχείων. Κάθε σύνολο έχει λοιπόν ένα συγκεκριμένο πλήθος στοιχείων, που μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Μπορεί επίσης να μην έχει κανένα στοιχείο· τότε μιλάμε για κενό σύνολο. Το σύνολο το συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαίο γράμμα, για παράδειγμα M, και τα στοιχεία του συνόλου με μικρό γράμμα m.

Τι είναι το σύνολο

Το σύνολο είναι μία από τις βασικές έννοιες των μαθηματικών, μέσω της οποίας ορίζονται πολλά άλλα πράγματα, γι' αυτό είναι καλό να ξεκαθαρίσουμε από την αρχή τι είναι το σύνολο, ώστε να μην μπερδεύεσαι στη συνέχεια.

Το σύνολο είναι λοιπόν μια συλλογή οποιωνδήποτε στοιχείων. Στα μαθηματικά δουλεύουμε συχνότερα με αριθμητικά σύνολα, δηλαδή με σύνολα που έχουν για στοιχεία αριθμούς. Ο κλασικός τρόπος γραφής ενός συνόλου στα μαθηματικά είναι ο εξής:

$$M=\{1,2,3\}$$

Έτσι περιγράψαμε ένα σύνολο με όνομα «M», που έχει τρία στοιχεία: το ένα, το δύο και το τρία. Τα σύνολα τα γράφουμε πάντα μέσα σε άγκιστρα· σχεδόν κάθε φορά που βλέπεις άγκιστρα, πρόκειται για κάποιο σύνολο.

Σε τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα σύνολα; Τα σύνολα συχνά καθορίζουν ποια στοιχεία μπορούμε να διαλέξουμε. Για παράδειγμα, στην καθημερινή ζωή θα μπορούσες να πεις κάτι σαν «Μαρία, να παίξουμε ένα παιχνίδι; Σκέψου έναν αριθμό από το ένα ως το πέντε». Έτσι όρισες για τη Μαρία ένα διάστημα αριθμών, από τους οποίους μπορεί να διαλέξει. Στα μαθηματικά θα χρησιμοποιούσες ένα σύνολο:

$$L=\{1,2,3,4,5\}$$

Και μετά θα μπορούσες να πεις «Μαρία, να παίξουμε ένα παιχνίδι; Σκέψου έναν αριθμό που ανήκει στο σύνολο L». Σίγουρα το παιχνίδι θα ήταν αμέσως πιο διασκεδαστικό. Στα μαθηματικά, για να γράψουμε ότι ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε το σύμβολο ∈ και όταν δεν ανήκει, το ∉. Αν λοιπόν θέλουμε να πούμε ότι το ένα ανήκει στο σύνολο L, αλλά το επτά όχι, θα το γράφαμε έτσι: 1 ∈ L και 7 ∉ L.

Ένα σύνολο μπορεί φυσικά να είναι κενό· γι' αυτό χρησιμεύει είτε η γραφή P = {} είτε, πιο απλά, η P = ∅. Πρόσεξε ότι και οι δύο γραφές σημαίνουν «κενό σύνολο»· αν όμως το έγραφες έτσι: P = {∅}, θα έγραφες ένα σύνολο που περιέχει το κενό σύνολο. Αυτό δεν είναι το ίδιο με το κενό σύνολο.

Έλλειψη διάταξης και επαναλήψεις

Για το σύνολο δεν λέμε ότι τα στοιχεία του είναι κάπως διατεταγμένα. Το σύνολο περιέχει μια αδιάταχτη συλλογή στοιχείων. Αν είχαμε δύο σύνολα A = {1, 2, 3} και B = {3, 2, 1}, θα λέγαμε ότι είναι ίσα. Η σειρά των στοιχείων σε ένα σύνολο απλώς δεν έχει σημασία.

Το ίδιο ισχύει και για τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία. Αν ένα σύνολο περιέχει περισσότερα ίδια στοιχεία (περισσότερους ίδιους αριθμούς), λαμβάνουμε υπόψη πάντα μόνο μία εμφάνιση του στοιχείου. Πάλι, αν είχαμε τα δύο σύνολα A = {1, 1, 2, 2, 2} και B = {2, 1}, θα τα θεωρούσαμε ίσα. Δεν πειράζει που το σύνολο A περιέχει «περισσότερα» στοιχεία, επειδή περιέχει διπλά ή τριπλά στοιχεία. Όταν υπολογίζουμε με σύνολα, αυτά τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία απλώς τα φιλτράρουμε.

Πλήθος και ισότητα

Μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του πλήθους ενός συνόλου, που είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου. Από το προηγούμενο παράδειγμα A = {1, 1, 2, 2, 2} και B = {2, 1} θα ίσχυε ότι το πλήθος του συνόλου A είναι δύο, αλλά και το πλήθος του συνόλου B είναι δύο, επειδή ούτε όταν μετράμε τα στοιχεία ενός συνόλου μάς ενδιαφέρουν τα επαναλαμβανόμενα στοιχεία. Το πλήθος ενός συνόλου το συμβολίζουμε μέσα σε κάθετες γραμμές: |A| = |B| = 2.

Όπως ίσως κατάλαβες ήδη, δύο σύνολα είναι ίσα αν έχουν τα ίδια στοιχεία. Μερικά παραδείγματα:

$$\begin{array}{rcl}\{1,2,3\}& =& \{1,2,3\}\\ \{1,2,3\}& =& \{1,2,3,2,3,1\}\\ \{a,h,o,j\}& =& \{o,o,h,j,a,o\}\\ \{1,3,5,9\}& \ne & \{1,3,9\}\\ \mathrm{\varnothing }& \ne & \left\{x\right\}\end{array}$$

Μια σημαντική ιδιότητα είναι ότι τα σύνολα μπορούν να περιέχουν ως στοιχείο τους ξανά ένα σύνολο. Παράδειγμα: C = {1, 2, {3, 4, 5, 6}}. Είναι σημαντικό να καταλάβεις ότι το σύνολο C έχει τρία στοιχεία, όχι έξι. Το σύνολο C περιέχει τρία στοιχεία: το ένα, το δύο και ένα σύνολο. Τα στοιχεία 3, 4, 5 και 6 τα περιέχει το εσωτερικό σύνολο, όχι το σύνολο C. Άρα ισχύει |C| = 3. Ένα πιο σύνθετο παράδειγμα:

$$D=\{0,\{1,\{2,3\}\},\left\{4\right\}\}$$

Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο D; Έχει τρία στοιχεία, αυτά είναι:

$$D_1=0,D_2=\{1,\{2,3\}\},D_3=\left\{4\right\}$$

Ένα σύνολο μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Πεπερασμένα είναι όλα τα σύνολα που αναφέραμε μέχρι τώρα. Άπειρο είναι για παράδειγμα το σύνολο όλων των αριθμών.

Υποσύνολο

Έστω δύο σύνολα A = {1, 2} και B = {1, 2, 3}. Αυτά τα σύνολα είναι διαφορετικά, επειδή δεν έχουν τα ίδια στοιχεία· το σύνολο B είναι μεγαλύτερο. Ωστόσο σίγουρα πρόσεξες ότι το σύνολο B περιέχει ακριβώς τα ίδια στοιχεία με το σύνολο A, απλώς έχει επιπλέον το στοιχείο 3. Τώρα μπορούμε να πούμε ότι το A είναι υποσύνολο του B.

Αν το A είναι υποσύνολο του B, πρέπει να ισχύει ότι όλα τα στοιχεία που περιέχει το σύνολο A τα περιέχει και το σύνολο B. Το να είναι κάτι υποσύνολο είναι σχέση και τη γράφουμε με το σύμβολο ⊆. Τυπικός ορισμός:

$$A\subseteq B\iff \mathrm{\forall }x\in A:x\in B$$

Συνήθως θεωρούμε ότι τα σύνολα A και B μπορεί να είναι ίσα και πάλι θα ισχύει A ⊆ B. Αν θέλουμε να εκφράσουμε τη γνήσια παραλλαγή του υποσυνόλου, χρησιμοποιούμε άλλο σύμβολο: ⊂. Τότε, αν A ⊂ B, το σύνολο B πρέπει να είναι μεγαλύτερο (αν είναι πεπερασμένο), πρέπει να περιέχει ένα στοιχείο που το σύνολο A δεν περιέχει. Ένα τέτοιο σύνολο το λέμε «γνήσιο υποσύνολο». Δηλαδή αν A ⊂ B, τότε το A είναι γνήσιο υποσύνολο του B. Ορισμός του γνήσιου υποσυνόλου:

$$A\subset B\iff (A\subseteq B\wedge A\ne B)$$

Ο ορισμός είναι ίδιος με την περίπτωση του κλασικού υποσυνόλου, μόνο που τα δύο σύνολα δεν επιτρέπεται να είναι ίσα. Μερικά παραδείγματα:

$$\begin{array}{rcl}\{a,h,o\}& \subseteq & \{a,h,o,j\}\\ \{a,h,o\}& \subset & \{a,h,o,j\}\\ \{2,4,6\}& \subseteq & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{2,4,6\}& \subset & \{2,4,6,8,\dots \}\\ \{1,2,3\}& ⊈& \{1,3\}\\ \{1,2,3\}& \not\subset & \{1,3\}\\ \{0,1\}& \subseteq & \{0,1\}\\ \{0,1\}& \not\subset & \{0,1\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\pi \right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subseteq & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \mathrm{\varnothing }& \subset & \left\{\mathrm{\varnothing }\right\}\\ \left\{0\right\}& ⊈& \mathrm{\varnothing }\\ \left\{0\right\}& \not\subset & \mathrm{\varnothing }\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subseteq & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\\ \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr \}& \subset & \{\diamond ,△,\odot ,‡,\wr ,\star ,\bullet ,\mp \}\end{array}$$

Ιδιότητες του υποσυνόλου:

• A ⊆ A: ένα σύνολο είναι πάντα υποσύνολο του εαυτού του.
• A ⊄ A: ένα σύνολο δεν είναι ποτέ γνήσιο υποσύνολο του εαυτού του.
• ∅ ⊆ A: το κενό σύνολο είναι υποσύνολο οποιουδήποτε συνόλου.
• A ⊄ ∅: το κενό σύνολο δεν έχει κανένα γνήσιο υποσύνολο.

Με τη βοήθεια των υποσυνόλων μπορούμε να γράψουμε την ισότητα συνόλων:

$$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$$

Αν τα δύο σύνολα είναι ίσα, τότε το ένα είναι υποσύνολο του άλλου.

Το υποσύνολο μπορούμε επίσης να το ονομάσουμε «εγκλεισμός».

Δυναμοσύνολο

Το δυναμοσύνολο είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων ενός δοσμένου συνόλου. Συμβολίζεται συνήθως είτε P(M) είτε 2^M.

Παράδειγμα: M = {1, 2, 3}. Ποια είναι όλα τα υποσύνολα; Σίγουρα το κενό υποσύνολο και το ίδιο το σύνολο M. Επιπλέον: {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Όλα αυτά τα σύνολα αποτελούν το δυναμοσύνολο του συνόλου M. Γράφουμε: P(M) = {∅, M, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}.

Επειδή το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και το M είναι πάντα υποσύνολο του M, θα ισχύει πάντα ∅ ∈ P(M) και M ∈ P(M).

Πώς γράφεται ένα σύνολο

Έναν τρόπο τον αναφέραμε ήδη: την απλή απαρίθμηση των στοιχείων. Χρησιμοποιούμε γι' αυτό άγκιστρα. M = {1, 2, 3} ή N = {a, b, c, d} κ.λπ. Αν γράφουμε ένα άπειρο σύνολο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τρεις τελείες, αν είναι φανερό πώς συνεχίζεται η ακολουθία των στοιχείων: M = {1, 2, 3, …}

Ο κύριος τρόπος γραφής ενός συνόλου είναι η χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου. Γενικά η γραφή θα έμοιαζε έτσι: {x ∈ X | P(x)}, όπου X είναι το σύνολο από το οποίο διαλέγουμε στοιχεία και P(x) είναι κάποιος τύπος που προσδιορίζει τα στοιχεία του συνόλου. Ο τύπος μπορεί να γραφτεί είτε καθαρά μαθηματικά είτε με λόγια. Αντί για το «|» χρησιμοποιείται επίσης το «;».

Για παράδειγμα «έστω ότι το σύνολο M περιέχει όλους τους αριθμούς που δηλώνουν κάποια ημέρα του μήνα». Ο μήνας έχει το πολύ 31 ημέρες, άρα ένα τέτοιο σύνολο θα είχε 31 στοιχεία, από το 1 ως το 31. Θα μπορούσαμε να το γράψουμε με τρεις τελείες έτσι: M = {1, 2, 3, …, 30, 31}. Μια άλλη γραφή του ίδιου συνόλου θα μπορούσε να είναι η εξής: {x ∈ ℤ | το x είναι ημέρα του μήνα}, όπου το ℤ δηλώνει το σύνολο των ακέραιων αριθμών.

Ένα πιο μαθηματικό παράδειγμα θα μπορούσε να είναι «έστω ότι το σύνολο P περιέχει όλους τους θετικούς αριθμούς που διαιρούνται με το πέντε». Τότε το σύνολο θα έμοιαζε έτσι: P = {5, 10, 15, 20, 25,…}

Ας γράψουμε μαθηματικά το σύνολο T των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι από το δέκα: T = {x ∈ ℕ^∗ | x<10}. Αυτή η γραφή μάς λέει: το σύνολο T αποτελείται από τα στοιχεία x, που τα παίρνουμε από το σύνολο των φυσικών αριθμών και που ικανοποιούν τη συνθήκη ότι είναι μικρότερα από 10. Κοιτάμε λοιπόν τους φυσικούς αριθμούς και κρατάμε μόνο όσους είναι μικρότεροι από το δέκα: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Αυτό είναι όλο.

Ένα ακόμα παράδειγμα: Y = {x ∈ ℤ | x ≠ 0}. Ορίσαμε το σύνολο Y, που περιέχει τα στοιχεία x που τα παίρνουμε από τους ακέραιους και η μόνη συνθήκη που πρέπει να ικανοποιεί το x είναι ότι δεν επιτρέπεται να είναι μηδέν. Το σύνολο Y περιέχει έτσι όλους τους ακέραιους αριθμούς εκτός από το μηδέν.

Ένα ακόμα παράδειγμα: G = {x ∈ ℝ | x · x = x}. Το σύνολο G περιέχει τα στοιχεία x που τα παίρνουμε από τους πραγματικούς αριθμούς και για όλα τα στοιχεία x πρέπει να ισχύει ότι όταν τα πολλαπλασιάσουμε με τον εαυτό τους, παίρνουμε πάλι τον αριθμό x. Για παράδειγμα μπορούμε να δοκιμάσουμε τον αριθμό 5. Σύμφωνα με τον ορισμό πρέπει να ισχύει αυτή η ισότητα: 5 · 5 = 5. Αυτό προφανώς δεν ισχύει, άρα ο αριθμός 5 δεν θα είναι στοιχείο του συνόλου G. Δοκιμάζουμε το ένα: 1 · 1 = 1. Για αυτόν ισχύει προφανώς, άρα το ένα θα είναι στοιχείο του συνόλου G. Δεύτερο και συγχρόνως τελευταίο στοιχείο θα είναι ο αριθμός μηδέν. Για κανέναν άλλον δεν θα ισχύει. Μπορούμε λοιπόν να γράψουμε: G = {0, 1}.

Και ένα τελευταίο παράδειγμα. Θα γράψω κάτι πιο σύνθετο, για να δεις ότι η χαρακτηριστική ιδιότητα μπορεί να είναι και πολύπλοκη:

$$X=\{x\in \mathbb{R}|(x^2=2x)\vee (\mathrm{\eta }\mathrm{\mu }(x)=\pi \wedge \mathrm{\sigma }\mathrm{\upsilon }\mathrm{\nu }(x)=\pi )\}$$

Στην πράξη το σύνολο ορίζεται συχνότερα με χαρακτηριστική ιδιότητα και μπορεί να πει κανείς ότι ένα αρκετά μεγάλο μέρος των εννοιών στα μαθηματικά ορίζεται με τη βοήθεια συνόλων. Αν πάρουμε για παράδειγμα ένα διάστημα, μπορούμε να πούμε ότι το διάστημα (a, b) είναι το σύνολο I, για το οποίο ισχύει:

$$I=\{x\in \mathbb{R}|(x>a)\wedge (x<b)\}$$

Είναι όλα τα στοιχεία του συνόλου των πραγματικών αριθμών που είναι μεγαλύτερα από το a και μικρότερα από το b, που είναι ακριβώς αυτό που εκφράζει το διάστημα.

Περισσότερες πηγές

• Βικιπαίδεια