Πίνακας

Πίνακας πάνω από ένα σώμα P είναι μια απεικόνιση {1, 2, …, n} × {1, 2, …, m} → P. Ο πίνακας συνήθως συμβολίζεται με κεφαλαία γράμματα: A = (…). Και τώρα σε απλά ελληνικά.

Βασικές έννοιες

Ο πίνακας είναι απλώς ένα είδος πλέγματος με n στήλες και m γραμμές, αν και ο συμβολισμός των γραμμών και των στηλών δεν είναι πάντα ο ίδιος, γι' αυτό πρόσεξε. Σε κάθε κελί του πλέγματος υπάρχει ένας αριθμός ή κάποια άλλη παράσταση. Οι πίνακες δεν χρειάζεται να είναι μόνο αριθμητικοί, αν και στην αρχή πιθανότατα δεν θα συναντήσεις άλλους. Πώς λοιπόν μπορεί να μοιάζει ένας πίνακας:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 51 \end{array})$

Αυτός ο πίνακας έχει δύο γραμμές και τρεις στήλες. Τα στοιχεία του πίνακα συμβολίζονται με δείκτες και αντί για κεφαλαίο γράμμα χρησιμοποιείται μικρό: a₁₁ = 0 ή a₂₃ = 51. Ο πρώτος δείκτης δείχνει τη γραμμή και ο δεύτερος τη στήλη.

Ειδικοί τύποι πινάκων

Οι πίνακες μπορεί να έχουν διάφορες ιδιότητες και ορισμένοι ειδικοί πίνακες έχουν ακόμη και δικά τους ονόματα.

Τετραγωνικός πίνακας είναι ο πίνακας που έχει ίσο αριθμό γραμμών και στηλών. Αν ο πίνακας δεν είναι τετραγωνικός, είναι ορθογώνιος. Παράδειγμα τετραγωνικού πίνακα:

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})$

Μηδενικός πίνακας είναι ο πίνακας που έχει μηδενικά σε όλες τις θέσεις. a_ij = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Μοναδιαίος πίνακας είναι ο τετραγωνικός πίνακας που έχει στην κύρια διαγώνιο μονάδες και παντού αλλού μηδενικά. Η κύρια διαγώνιος είναι σαν «διαγώνιος» από τα αριστερά προς τα δεξιά. Δηλαδή είναι οι αριθμοί στις θέσεις όπου i = j.

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$

Κλιμακωτός πίνακας είναι ο πίνακας που έχει τις μηδενικές γραμμές στο τέλος (ή δεν έχει καθόλου μηδενικές γραμμές) και κάθε μη μηδενική γραμμή αρχίζει με περισσότερα μηδενικά από την προηγούμενη. Όλοι οι παρακάτω είναι κλιμακωτοί πίνακες:

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & π \\ 0 & 0 & 1 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}), A_{3} = (\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \end{array})$

Ανάστροφος πίνακας του πίνακα A είναι ο πίνακας A^T, για τον οποίο ισχύει $a_{i j} = a_{j i}^{T}$ , δηλαδή το στοιχείο που ήταν στην i-οστή γραμμή και στη j-οστή στήλη θα βρίσκεται στον ανάστροφο πίνακα στη j-οστή γραμμή και στην i-οστή στήλη. Με λίγα λόγια, αντικαθιστάς τις γραμμές του πίνακα με στήλες.

$\begin{array}{rcl} {(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{ccc} 0 & 8 & 47 \\ 1 & 5 & 154 \\ 5 & 23 & 2 \end{array}) \\ {(\begin{array}{ccc} 3 & 4 & 5 \\ 6 & 7 & 8 \end{array})}^{T} & = & (\begin{array}{cc} 3 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \end{array}) \end{array}$

Συμμετρικός πίνακας είναι ο τετραγωνικός πίνακας A που ικανοποιεί την ισότητα A = A^T. Τα στοιχεία που είναι συμμετρικά ως προς τη διαγώνιο είναι ίσα. Μπορούμε έτσι να γράψουμε a_ij = a_ji.

$A = (\begin{array}{ccc} 9 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 0 \\ 4 & 0 & 2 \end{array})$

Αντισυμμετρικός πίνακας είναι σχεδόν το ίδιο με τον συμμετρικό, μόνο που τα στοιχεία στην άλλη πλευρά έχουν αντίθετο πρόσημο: A = −A^T. Γι' αυτό τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου πρέπει να είναι μηδενικά, επειδή a = −a = 0.

$A = (\begin{array}{ccc} 0 & - 3 & - 4 \\ 3 & 0 & 5 \\ 4 & - 5 & 0 \end{array})$

Διαγώνιος πίνακας είναι ο πίνακας που έχει μηδενικά παντού εκτός από την κύρια διαγώνιο. Ακριβέστερα, παντού αλλού πρέπει να υπάρχουν μηδενικά, ενώ τι υπάρχει στην κύρια διαγώνιο δεν προσδιορίζεται.

$A_{1} = (\begin{array}{ccc} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}), A_{2} = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

Βασικές πράξεις με πίνακες

Τους πίνακες μπορούμε να τους προσθέτουμε, να τους πολλαπλασιάζουμε με κάποιον αριθμό και να πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους πίνακες.

Η πρόσθεση πινάκων είναι αρκετά διαισθητική. Αν οι πίνακες είναι του ίδιου τύπου (= ίδιος αριθμός στηλών και γραμμών), ο πίνακας-αποτέλεσμα θα έχει στις ίδιες θέσεις τα αθροίσματα των αριθμών στις αντίστοιχες θέσεις των προηγούμενων πινάκων. Δηλαδή αν προσθέτουμε πίνακες A + B = C, τότε ισχύει a_ij + b_ij = c_ij.

$(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) + (\begin{array}{ccc} 5 & 4 & 3 \\ 10 & 20 & 30 \\ 7 & - 54 & - 12 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 5 & 5 & 8 \\ 18 & 25 & 53 \\ 54 & 100 & - 10 \end{array})$

Η πρόσθεση πινάκων είναι προφανώς αντιμεταθετική και προσεταιριστική. A + B = B + A και A + (B + C) = (A + B) + C.

Ο πολλαπλασιασμός πίνακα με αριθμό είναι επίσης διαισθητικός. Παίρνεις τον αριθμό και πολλαπλασιάζεις με αυτόν κάθε στοιχείο του πίνακα, τίποτε παραπάνω. k · A = k · a_ij.

$5 \cdot (\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 8 & 5 & 23 \\ 47 & 154 & 2 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 0 & 5 & 25 \\ 40 & 25 & 115 \\ 235 & 770 & 10 \end{array})$

Πολλαπλασιασμός πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι ήδη κάπως πιο δύσκολη υπόθεση, επειδή δεν είναι διαισθητικός, όπως θα περίμενε κανείς. Δεν αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία. Πρώτα απ' όλα, οι πίνακες πρέπει να ικανοποιούν το κριτήριο ότι ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου. Τα υπόλοιπα μπορεί να είναι οποιαδήποτε. Τώρα μπορούμε να ορίσουμε το γινόμενο (n είναι ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα):

$(A \cdot B)_{i j} = \sum_{p = 1}^{n} a_{i p} \cdot b_{p j}$

Τα ξέρεις όλα αυτά, ε; Τώρα θα προσπαθήσω να το εξηγήσω και σε όσους είναι λιγότερο ξύπνιοι :-). Παίρνεις την πρώτη γραμμή του πρώτου πίνακα και την πρώτη στήλη του δεύτερου πίνακα. Τώρα πολλαπλασιάζεις το πρώτο στοιχείο με το πρώτο στοιχείο και προσθέτεις το γινόμενο του δεύτερου στοιχείου με το δεύτερο στοιχείο και προσθέτεις κ.ο.κ. Έτσι παίρνεις στον νέο πίνακα C το στοιχείο c₁₁. Το καλύτερο θα είναι ένα παράδειγμα. Θα πολλαπλασιάσουμε αυτούς τους δύο πίνακες:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Τώρα επιλέγουμε την πρώτη γραμμή του πρώτου πίνακα και την πρώτη στήλη του δεύτερου πίνακα:

$A = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}), B = (\begin{array}{cc} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{array})$

Για να είναι πιο ευανάγνωστη η γραφή, ονομάζουμε C τον νέο πίνακα που προκύπτει. Αν θέλουμε να βρούμε το πρώτο στοιχείο αυτού του πίνακα, πρέπει να υπολογίσουμε το εξής: c₁₁ = a₁₁ · b₁₁ + a₁₂ · b₂₁. Επισημαίνω ότι στην πρώτη θέση του δείκτη βρίσκεται η γραμμή και μετά η στήλη. Μετά την αντικατάσταση παίρνουμε: 1 · 5 + 2 · 7 = 19. Το πρώτο στοιχείο έχει τιμή 19:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & ? \\ ? & ? \end{array})$

Το επόμενο στοιχείο, το c₁₂, το βρίσκουμε με τον ίδιο τρόπο, απλώς παίρνουμε την πρώτη γραμμή και τη δεύτερη στήλη. Με αυτόν τον μακροσκελή υπολογισμό παίρνουμε πάντα το στοιχείο που έχουν κοινό. Η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη έχουν κοινό στοιχείο στη θέση c₁₁, η πρώτη γραμμή και η δεύτερη στήλη πάλι το c₁₂. Το δείχνει όμορφα η παρακάτω εικόνα:

Γινόμενο πινάκων

Τώρα πολλαπλασιάζω γρήγορα τα υπόλοιπα στοιχεία του πίνακα:

$\begin{array}{rcl} c_{12} & = & a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22. \\ c_{21} & = & a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43. \\ c_{22} & = & a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50. \end{array}$

Αυτούς τους αριθμούς τους γράφουμε απλώς στον πίνακα:

$C = (\begin{array}{cc} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{array})$

Την ορθότητα του αποτελέσματος μπορούμε να την ελέγξουμε για παράδειγμα στο Excel ή στο Calc του OpenOffice, που περιέχουν συναρτήσεις για εργασία με πίνακες.

Τώρα μερικές γενικές πληροφορίες για τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Πρώτα απ' όλα, ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός. Γενικά δεν ισχύει ότι A · B = B · A, αν και φυσικά μπορεί να συμβεί μια τέτοια περίπτωση. Ο πολλαπλασιασμός πινάκων όμως είναι προσεταιριστικός. Ως προς την πρόσθεση είναι μάλιστα επιμεριστικός: A (B + C) = AB + AC. Αν πολλαπλασιάζουμε δύο πίνακες a_ix · b_xn, τότε ο πίνακας-αποτέλεσμα θα είναι τύπου i × n (θα έχει τόσες γραμμές όσες έχει ο πρώτος πίνακας και τόσες στήλες όσες έχει ο δεύτερος πίνακας).

Παραδείγματα

Έχουμε τους εξής τρεις πίνακες:

$A = (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}), C = (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) .$

Υπολόγισε το γινόμενο των πινάκων A · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 36 & 41 & 43 \\ 90 & 98 & 106 \\ 144 & 155 & 169 \end{array})$

Υπολόγισε το γινόμενο των πινάκων B · A.

Πρόσεξε ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός, επομένως σίγουρα δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι το αποτέλεσμα θα είναι ίδιο με την προηγούμενη περίπτωση. Πρέπει απλώς να τα υπολογίσουμε όλα από την αρχή:

$(\begin{array}{ccc} 4 & 2 & 8 \\ 10 & 12 & 4 \\ 4 & 5 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) = (\begin{array}{ccc} 68 & 82 & 96 \\ 86 & 112 & 138 \\ 87 & 105 & 123 \end{array})$

Υπολόγισε το γινόμενο των πινάκων A · C και C · B.

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 8 & 9 \\ - 5 & 4 \\ 10 & - 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 28 & 14 \\ 67 & 50 \\ 106 & 86 \end{array})$

Το δεύτερο παράδειγμα δεν μπορούμε να το υπολογίσουμε, επειδή ο αριθμός των στηλών του πρώτου πίνακα είναι διαφορετικός από τον αριθμό των γραμμών του δεύτερου.

Βασικοί μετασχηματισμοί πινάκων

Για να δουλεύουμε αποτελεσματικά με πίνακες, πρέπει να ορίσουμε κάποιους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Πρώτα απ' όλα, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε μια γραμμή/στήλη του πίνακα με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν. Ο πολλαπλασιασμός έχει το ίδιο αποτέλεσμα όπως το k-πλάσιο ενός πίνακα, αλλά μόνο στην εν λόγω γραμμή/στήλη.

Ο δεύτερος μετασχηματισμός είναι η πρόσθεση του k-πλάσιου της j-οστής γραμμής στην i-οστή γραμμή. Το ίδιο και για στήλες. Ακούγεται λίγο τρομακτικό, αλλά στην πραγματικότητα είναι απλό. Θα το δείξουμε για k = 1. Θα έχουμε αυτόν τον πίνακα:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Τώρα στην πρώτη γραμμή προσθέτουμε τη δεύτερη γραμμή. Παίρνουμε λοιπόν τη δεύτερη γραμμή και προσθέτουμε τους αριθμούς στις αντίστοιχες θέσεις στους αριθμούς της πρώτης γραμμής. Οι αριθμοί της δεύτερης γραμμής δεν αλλάζουν, αλλάζει μόνο η πρώτη γραμμή:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array})$

Τώρα μπορούμε να συνεχίσουμε τους μετασχηματισμούς. Θα δοκιμάσουμε να προσθέσουμε το διπλάσιο της πρώτης γραμμής στην τρίτη γραμμή. Παίρνουμε την πρώτη γραμμή από τον νέο πίνακα, την πολλαπλασιάζουμε με δύο, οπότε προκύπτει η γραμμή (10, 14, 18), και τους αριθμούς αυτούς τους προσθέτουμε στην τρίτη γραμμή. Και πάλι – η πρώτη γραμμή δεν αλλάζει, αλλάζει μόνο η τρίτη γραμμή:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 17 & 22 & 27 \end{array})$

Τώρα προσθέτουμε πάλι στην τρίτη γραμμή το άθροισμα της πρώτης και της δεύτερης γραμμής. Ουσιαστικά δεν είναι κάτι καινούργιο, επειδή αν στην τρίτη γραμμή προσθέσουμε πρώτα τη δεύτερη γραμμή και μετά την πρώτη, πρέπει να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα. Το άθροισμα της πρώτης και της δεύτερης γραμμής θα είναι ίσο με: (5, 7, 9) + (4, 5, 6) = (9, 12, 15). Το άθροισμα αυτής της γραμμής με την τρίτη γραμμή θα είναι τότε ίσο με: (9, 12, 15) + (17, 22, 27) = (26, 34, 42).

$(\begin{array}{ccc} 5 & 7 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 26 & 34 & 42 \end{array})$

Και ακόμη ένας μετασχηματισμός στηλών (αυτοί συνήθως δεν χρησιμοποιούνται τόσο συχνά, επειδή δεν είναι τόσο ευανάγνωστοι). Προσθέτουμε την πρώτη στήλη στη δεύτερη στήλη:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 4 & 9 & 6 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Και τέλος πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη γραμμή με το δύο:

$(\begin{array}{ccc} 5 & 12 & 9 \\ 8 & 18 & 12 \\ 26 & 60 & 42 \end{array})$

Γραμμική εξάρτηση

Τώρα θα εξηγήσουμε ακόμη τι είναι οι εξαρτημένες γραμμές/στήλες. Μια γραμμή είναι γραμμικά εξαρτημένη, αν αυτή η γραμμή μπορεί να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων γραμμών του πίνακα. Με λίγα λόγια, αν μπορείς να προσθέτεις γραμμές με διάφορους τρόπους, ώστε στο τέλος να σου βγει η γραμμή που ψάχνεις, τότε αυτή η γραμμή είναι γραμμικά εξαρτημένη. Παράδειγμα:

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array})$

Αν πάρεις το διπλάσιο της πρώτης γραμμής και τη δεύτερη γραμμή, θα πάρεις την τρίτη γραμμή. Αν από την τρίτη γραμμή αφαιρέσεις αυτόν τον συνδυασμό, θα πάρεις μηδενική γραμμή (γραμμή που περιέχει μόνο μηδενικά). Αυτή η γραμμή είναι εξαρτημένη. Τους μετασχηματισμούς λοιπόν θα τους κάνουμε ως εξής (πολλαπλασιάζουμε την πρώτη γραμμή με το δύο, προσθέτουμε στη δεύτερη γραμμή, αφαιρούμε από την τρίτη γραμμή):

$(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 6 & 9 & 12 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 2 & 4 & 6 \\ 6 & 9 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

Αν έχουμε έναν πίνακα A που έχει n γραμμές και με A_i συμβολίζουμε την i-οστή γραμμή, τότε λέμε ότι ο πίνακας δεν περιέχει γραμμικά εξαρτημένη γραμμή, αν:

$α_{1} A_{1} + α_{2} A_{2} + \dots + α_{n} A_{n} = 0$

αν και μόνο αν α₁, α₂, …, α_n = 0. Το μηδέν στο δεξί μέλος της εξίσωσης παριστάνει τη μηδενική γραμμή. Δηλαδή αν η μοναδική λύση αυτής της εξίσωσης είναι η μηδενική λύση. Αν βρούμε άλλη λύση, τότε ο πίνακας περιέχει γραμμικά εξαρτημένη γραμμή. Αντίστοιχα για στήλη. Για τον προηγούμενο πίνακα θα ίσχυε:

$\begin{array}{rcl} 2 (\begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \end{array}) + 1 (\begin{array}{c} 4 & 5 & 6 \end{array}) - 1 (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = \\ = (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) - (\begin{array}{c} 6 & 9 & 12 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

Οι τιμές των άλφα είναι λοιπόν α₁ = 2, α₂ = 1, α₃ = −1.

Τον αριθμό των ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών τον δίνει η τάξη του πίνακα.

Αντιστρέψιμοι και μη αντιστρέψιμοι πίνακες

Ένας πίνακας λέγεται αντιστρέψιμος, αν έχει μέγιστη τάξη (δηλαδή αν δεν υπάρχει σε αυτόν καμία γραμμικά εξαρτημένη γραμμή) και αν είναι τετραγωνικός πίνακας. Ένας τετραγωνικός πίνακας λέγεται μη αντιστρέψιμος (ιδιάζων), αν δεν είναι αντιστρέψιμος (δηλαδή αν ο πίνακας περιέχει τουλάχιστον μία γραμμικά εξαρτημένη γραμμή). Αυτές οι δύο έννοιες είναι αρκετά σημαντικές, ή μάλλον συχνά στηρίζονται σε αυτές διάφοροι ορισμοί. Πολλά πράγματα ορίζονται μόνο αν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

Σχετικά άρθρα

« Προηγούμενο: Δικτυωτά

Επόμενο: Τάξη πίνακα »