✖

Σώματα

Για να καταλάβεις την παρακάτω ανάλυση, δεν χρειάζεσαι ειδικές μαθηματικές δεξιότητες ή γνώσεις. Αρκεί να κατέχεις τα απολύτως βασικά των μαθηματικών του λυκείου και να έχεις διάθεση να μάθεις κάτι καινούργιο.

Το φάντασμα που λέγεται αλγεβρικό σώμα

Αν και μόνο το όνομα αλγεβρικό σώμα σε τρομάζει, να ξέρεις ότι πραγματικά δεν υπάρχει λόγος να φοβάσαι. Ένα τέτοιο σώμα είναι στην πραγματικότητα πολύ απλό πράγμα, αν το δούμε από τη σωστή οπτική γωνία.

Αλγεβρικό σώμα είναι οποιοδήποτε τυχαίο σύνολο μαζί με δύο διμελείς πράξεις που ικανοποιούν ορισμένες συνθήκες. Αυτό είναι όλο. Ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο. Όπως βλέπεις, δεν υπάρχει τίποτα επικίνδυνο ή τρομακτικό. Και μόλις το ξέρουμε αυτό, μπορούμε να το πλησιάσουμε λίγο περισσότερο χωρίς φόβο.

Το σύνολο των στοιχείων του σώματος

Το τυχαίο μας σύνολο θα το συμβολίσουμε με T και τα στοιχεία του θα τα λέμε στοιχεία του σώματος. Πίστεψέ με, φίλε μου, το σύνολο των στοιχείων του σώματος μπορεί να είναι εντελώς οποιοδήποτε. Μπορεί να είναι το σύνολο όλων των άρτιων αριθμών, το σύνολο όλων των καλτσών που δεν έχουν ταίρι ή ακόμη και η συλλογή σου από λούτρινους ελέφαντες. Ίσως η μόνη προϋπόθεση να είναι ότι το σύνολο T δεν πρέπει να είναι κενό. Αλλιώς δεν θα διασκεδάζαμε και πολύ.

Διμελής πράξη

Αν δεν είναι αμέσως σαφές τι είναι η διμελής πράξη, μπορείς να τη φανταστείς σαν έναν μικρό μύλο. Βάζεις μέσα του δύο στοιχεία (από εκεί και το «διμελής» στο όνομα) ενός συνόλου, γυρνάς ελαφρά τη μανιβέλα και βγαίνει ένα άλλο στοιχείο του συνόλου σου. Μια τέτοια ωραία διμελής πράξη είναι για παράδειγμα η διαίρεση. Σε ενδιαφέρει πόσο κάνει 10 / 5; Πάρε τη διμελή πράξη της διαίρεσης (τον μύλο), όπου το σύνολό σου θα είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Ρίξε στον μύλο πρώτα το δέκα και μετά το πέντε, γύρνα τη μανιβέλα και, ω του θαύματος, βγαίνει το δύο.

Τις δύο δικές μας πράξεις θα τις ονομάσουμε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και θα τις συμβολίζουμε με ⊕ και ⊗. Μην μπερδεύεσαι από το όνομά τους. Με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό που χρησιμοποιούμε συνήθως, αυτές οι πράξεις δεν χρειάζεται να έχουν πολλά κοινά. Και αυτό ακριβώς επειδή τα στοιχεία του σώματος μπορεί να είναι οποιαδήποτε αντικείμενα. Και στους λούτρινους ελέφαντες ή στις κάλτσες η «δική μας» πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δεν μπορούν να εφαρμοστούν.

Πράξεις πάνω στο σώμα

Οι πράξεις ⊕ και ⊗ πρέπει να ικανοποιούν ορισμένες συνθήκες. Δεν μπορούμε να τις ορίσουμε εντελώς ελεύθερα. Ο σκοπός της εισαγωγής αυτών των πράξεων είναι να γενικεύσουμε τη συνηθισμένη πρόσθεση και τον συνηθισμένο πολλαπλασιασμό που χρησιμοποιούμε στους αριθμούς. Θέλουμε οι πράξεις αυτές να ορίζονται έτσι ώστε να μπορούμε να τις εφαρμόσουμε στα στοιχεία του σώματος, τα οποία, όπως ήδη ξέρουμε, μπορεί να είναι εντελώς οποιαδήποτε αντικείμενα και όχι μόνο αριθμοί. Παρ' όλα αυτά θέλουμε οι πράξεις ⊕ και ⊗ να διατηρούν κάποιο βασικό νόημα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Το πετυχαίνουμε εισάγοντας δέκα συνθήκες, που πρέπει να ικανοποιούν αυτές οι πράξεις, για να είναι η δομή μας σώμα. Τις συνθήκες αυτές θα τις λέμε αξιώματα του σώματος. Να τα:

  1. Αντιμεταθετική ιδιότητα της πρόσθεσης – Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία a, b του σώματος T πρέπει να ισχύει a ⊕ b = b ⊕ a.
  • Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης – Για οποιαδήποτε τρία στοιχεία a, b, c του σώματος T πρέπει να ισχύει (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c).
  • Ύπαρξη μηδενικού στοιχείου – Πρέπει να υπάρχει στοιχείο του σώματος T, που θα το συμβολίσουμε 0 (προσοχή, να μην το μπερδεύεις με τον αριθμό 0), το οποίο έχει την ιδιότητα ότι για οποιοδήποτε στοιχείο a του σώματος T ισχύει a ⊕ 0 = a.
  • Ύπαρξη αντίθετου στοιχείου – Για κάθε στοιχείο a του σώματος T πρέπει να υπάρχει στοιχείο του σώματος T, που θα το συμβολίσουμε -a, το οποίο έχει την ιδιότητα ότι ισχύει a ⊕ −a = 0.
  • Αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού – Για οποιαδήποτε δύο στοιχεία a, b του σώματος T πρέπει να ισχύει a ⊗ b = b ⊗ a.
  • Προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού – Για οποιαδήποτε τρία στοιχεία a, b, c του σώματος T πρέπει να ισχύει (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c).
  • Ύπαρξη μοναδιαίου στοιχείου – Πρέπει να υπάρχει στοιχείο του σώματος T, που θα το συμβολίσουμε 1 (προσοχή, να μην το μπερδεύεις με τον αριθμό 1), το οποίο έχει την ιδιότητα ότι για οποιοδήποτε στοιχείο a του σώματος T ισχύει a ⊗ 1 = a.
  • Ύπαρξη αντίστροφου στοιχείου – Για κάθε στοιχείο a του σώματος T που είναι διαφορετικό από το 0 πρέπει να υπάρχει στοιχείο του σώματος T, που θα το συμβολίσουμε a−1, το οποίο έχει την ιδιότητα ότι ισχύει a ⊗ a−1 = 1.
  • Επιμεριστική ιδιότητα – Για οποιαδήποτε τρία στοιχεία a, b, c του σώματος T πρέπει να ισχύει a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c).
  • Μη τετριμμένο – Το μηδενικό και το μοναδιαίο στοιχείο δεν επιτρέπεται να είναι το ίδιο. Δηλαδή 0 ≠ 1

Για όποιον θέλει να εξασκηθεί στον μαθηματικό φορμαλισμό, έγραψα εδώ τα αξιώματα του σώματος όπως γράφονται στη μαθηματική γλώσσα.

  1. ∀a,b ∈ T   a ⊕ b = b ⊕ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
  • ∃0 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊕ 0 = a
  • ∀a ∈ T   ∃−a ∈ T   a ⊕ −a = 0
  • ∀a,b ∈ T   a ⊗ b = b ⊗ a
  • ∀a,b,c ∈ T   (a ⊗ b) ⊗ c = a ⊗ (b ⊗ c)
  • ∃1 ∈ T   ∀a ∈ T   a ⊗ 1 = a
  • ∀a ∈ T   ∃a−1 ∈ T, a ≠ 0   a ⊗ a−1 = 1
  • ∀a,b,c ∈ T   a ⊗ ( b ⊕ c ) = ( a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c)
  • 0 ≠ 1

Ίσως τώρα σκέφτεσαι ότι τα αξιώματα είναι τρομακτικά πολλά. Όλα όμως γίνονται εύκολα κατανοητά, αν συνειδητοποιήσουμε τι σημαίνουν. Τα πρώτα τέσσερα περιγράφουν τις συνηθισμένες ιδιότητες της πρόσθεσης και τα επόμενα τέσσερα τις συνηθισμένες ιδιότητες του πολλαπλασιασμού, που μάλιστα μοιάζουν πολύ με τις πρώτες τέσσερις. Το ένατο αξίωμα λέει σε ποια σχέση βρίσκονται μεταξύ τους η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Μόνο το δέκατο είναι μάλλον τεχνικό και φροντίζει να μην έχει το σώμα κάποιες περίεργες ιδιότητες.

Πρόσεξε πόσο όμορφα αποφύγαμε να εισαγάγουμε την αφαίρεση και τη διαίρεση. Οι πράξεις αυτές ορίζονται μέσω της πρόσθεσης του αντίθετου στοιχείου και του πολλαπλασιασμού με το αντίστροφο στοιχείο. Δηλαδή, για παράδειγμα, το 4 − 2 είναι απλώς συντομογραφία του 4 + (−2) και το 4 / 2 απλώς συντομογραφία του 4 · 2−1.

Επίδειξη σωμάτων

Τώρα έχουμε πλέον εισαγάγει τυπικά την έννοια του αλγεβρικού σώματος. Αν θέλαμε να εκφράσουμε διαισθητικά τι είναι τελικά το σώμα, θα μπορούσαμε να πούμε ότι είναι μια δομή που μας επιτρέπει να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε οποιαδήποτε αντικείμενα για τα οποία μπορούμε να ορίσουμε αυτές τις πράξεις, και μάλιστα με τρόπο παρόμοιο με αυτόν που κάνουμε τις πράξεις αυτές στην στοιχειώδη αριθμητική.

Το πρώτο μας σώμα

Αφού λοιπόν τα σκεφτήκαμε και τα περιγράψαμε τόσο ωραία τα σώματα, ας κατασκευάσουμε ένα πραγματικό σώμα. Πρώτα επιλέγουμε το σύνολο των στοιχείων του σώματος. Προς το παρόν δεν θα πειραματιστούμε πολύ με λούτρινους ελέφαντες ή κάλτσες και ως στοιχεία του σώματος θα διαλέξουμε φυσικούς αριθμούς. Για να είναι όλα πραγματικά απλά, θα πάρουμε μόνο τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4. Δηλαδή το σύνολό μας T θα είναι το εξής:

T={0,1,2,3,4}

Τώρα μένει μόνο να ορίσουμε έξυπνα τις πράξεις ⊕ και ⊗. Εδώ θα βοηθηθούμε από την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό που ήδη γνωρίζουμε από την αριθμητική. Θα τις τροποποιήσουμε όμως λίγο, ώστε να λειτουργούν και στο δικό μας σώμα.

  • Πράξη ⊕ Το άθροισμα δύο στοιχείων a ⊕ b το κάνουμε υπολογίζοντας το υπόλοιπο της διαίρεσης του αθροίσματος a + b με το πέντε. Η πρόσθεση στο σώμα μας θα έχει λοιπόν την εξής μορφή: 1 ⊕ 1 = 2    1 ⊕ 3 = 4    2 ⊕ 3 = 0    4 ⊕ 2 = 1 κ.λπ.
  • Πράξη ⊗ Το γινόμενο δύο στοιχείων a ⊗ b το κάνουμε υπολογίζοντας το υπόλοιπο της διαίρεσης του γινομένου ab με το πέντε. Ο πολλαπλασιασμός στο σώμα μας θα έχει λοιπόν την εξής μορφή: 1 ⊗ 1 = 1    2 ⊗ 2 = 4    2 ⊗ 3 = 1    4 ⊗ 2 = 3    κ.λπ.

Και αυτό ήταν. Τώρα έχουμε φτιάξει ένα πλήρες σώμα. Μένει να επαληθεύσουμε ότι ισχύουν όλα τα αξιώματα, για να είμαστε σίγουροι ότι φτιάξαμε πραγματικά σώμα και όχι κάποιο τέρας.

  • Την αντιμεταθετική και την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μπορείς σίγουρα να τις επαληθεύσεις μόνος σου, όπως και την επιμεριστική ιδιότητα.
  • Από τον τρόπο που ορίσαμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό προκύπτει επίσης ότι υπάρχει μηδενικό στοιχείο (στην περίπτωσή μας τυχαίνει να είναι ο αριθμός 0) και μοναδιαίο στοιχείο (στην περίπτωσή μας το 1), που είναι διαφορετικά μεταξύ τους.
  • Τώρα μας μένει να επαληθεύσουμε μόνο την ύπαρξη αντίθετου και αντίστροφου στοιχείου. Σίγουρα όλοι βλέπουμε ότι για κάθε αριθμό του συνόλου {0, 1, 2, 3, 4} υπάρχει κάποιος αριθμός του ίδιου συνόλου, ώστε το άθροισμά τους να είναι μηδέν ή πέντε (δηλαδή στο σώμα μας 0).
  • Ανάλογα ισχύει και για τον πολλαπλασιασμό: για κάθε μη μηδενικό αριθμό αυτού του συνόλου υπάρχει αριθμός με τον οποίο το γινόμενο, διαιρούμενο με το πέντε, δίνει υπόλοιπο 1 (δηλαδή στο σώμα μας 1). Για παράδειγμα, ο αριθμός 4 έχει αντίστροφο στοιχείο το 4, επειδή 4 · 4 = 16 και η διαίρεση με το 5 δίνει υπόλοιπο 1. Δοκίμασε να βρεις τα υπόλοιπα αντίστροφα στοιχεία!

Παραδείγματα άλλων σωμάτων

Πριν από λίγο φτιάξαμε ένα σώμα που έχει πέντε στοιχεία. Αποδεικνύεται ότι με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να φτιάξουμε και άλλα σώματα, όπου το πλήθος των στοιχείων τους είναι πρώτος αριθμός. Τέτοια σώματα λέγονται σώματα κλάσεων υπολοίπων και συμβολίζονται Zp, όπου p είναι το πλήθος των στοιχείων του σώματος, και χρησιμοποιούνται πολύ συχνά τόσο στα μαθηματικά ή στην πληροφορική όσο και, φυσικά, σε διάφορες ασκήσεις των διαγωνισμάτων.

Μπορούν να φτιαχτούν και σώματα με πλήθος στοιχείων που δεν είναι πρώτος αριθμός; Ναι, μπορούν, αλλά όχι πια με τον τρόπο που έδειξα πριν από λίγο. Γιατί; Φαντάσου ένα σώμα που φτιάχτηκε με την παραπάνω διαδικασία και έχει μόνο τέσσερα στοιχεία. Σε ένα τέτοιο σώμα ισχύει 2 ⊗ 2 = 0. Δηλαδή το γινόμενο δύο μη μηδενικών αριθμών είναι μηδέν. Αυτό δεν επιτρέπεται να συμβαίνει σε σώμα. Δεν απαγορεύεται μεν ευθέως από τα αξιώματα του σώματος, αλλά μπορεί να προκύψει από αυτά αρκετά εύκολα. Αποδεικνύεται όμως ότι αν ως στοιχεία του σώματος χρησιμοποιηθούν αντί για αριθμούς πολυώνυμα, μπορούν να φτιαχτούν και σώματα με πλήθος στοιχείων που είναι δύναμη πρώτου αριθμού. Άρα υπάρχει σώμα με τέσσερα στοιχεία, αφού το τέσσερα είναι δύναμη του δύο.

Φυσικά είναι δυνατά και σώματα με άπειρο πλήθος στοιχείων. Για παράδειγμα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με τη συνηθισμένη μας πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό αποτελεί επίσης σώμα. Αυτό φυσικά δεν ισχύει μόνο για τους πραγματικούς αριθμούς, αλλά και για τους ρητούς και τους μιγαδικούς. Οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν σώμα, γιατί λείπουν από αυτούς τα αντίθετα, αντίστοιχα τα αντίστροφα στοιχεία.

Και το καλύτερο στο τέλος. Κανείς φυσικά δεν μας επιβάλλει ότι τα σώματα πρέπει να αποτελούνται από αριθμούς, πολυώνυμα ή γενικά κάποια μαθηματικά αντικείμενα. Όπως είπα ήδη, μπορείς να φτιάξεις σώμα από κάλτσες, λούτρινους ελέφαντες κ.ο.κ. Το μόνο πρόβλημα θα είναι ίσως πώς να ορίσεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό στους ελέφαντες. Εδώ το ενδιαφέρον είναι ότι ποτέ δεν θα καταφέρεις να φτιάξεις σώμα που να περιέχει έξι κάλτσες. Επειδή το έξι δεν είναι ούτε πρώτος αριθμός ούτε δύναμη πρώτου αριθμού. Μπορείς όμως άνετα να φτιάξεις σώμα που μετράει δεκαεπτά κάλτσες, να αριθμήσεις καθεμία από αυτές (η λευκή κάλτσα θα είναι το 0, η μαύρη το 1, η πράσινη το 2 κ.ο.κ.) και να τις προσθέτεις μετά όπως προσθέταμε εμείς στο σώμα κλάσεων υπολοίπων.

Και σε τι χρησιμεύουν όλα αυτά;

Αν διάβασες μέχρι εδώ, ίσως αναρωτιέσαι σε τι διάολο χρειαζόμαστε μια τόσο τρελή δομή όπως το αλγεβρικό σώμα. Λοιπόν, τα σώματα είναι πολύ σημαντικά, τόσο από θεωρητική άποψη, αφού περιγράφουν και κυρίως γενικεύουν αυτό που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε υπολογισμό, δηλαδή την αριθμητική, όσο και από πρακτική άποψη, αφού πολλά μαθηματικά ή πληροφορικά προβλήματα λύνονται ευκολότερα, αν τα φανταστούμε ως υπολογισμούς σε σώματα. Τα πεπερασμένα σώματα έχουν για παράδειγμα μεγάλη σημασία για τους κώδικες στους δίσκους CD ή DVD. Κατά τα άλλα, όσον αφορά την ίδια τη γραμμική άλγεβρα, τα σώματα είναι ο θεμέλιος λίθος για άλλες, πιο σύνθετες και γι' αυτό πολύ πιο χρήσιμες και ενδιαφέρουσες δομές, όπως είναι για παράδειγμα οι διανυσματικοί χώροι. Αυτοί αποτελούν ουσιαστικά τη βάση ολόκληρης της γραμμικής άλγεβρας.

Ο συγγραφέας αυτού του άρθρου είναι ο Lishaak.