A Monty Hall-paradoxon

A háromajtós probléma, más néven Monty Hall-paradoxon, olyan valószínűségi feladat, amely sok embert összezavar.

A feladat

Adott három ajtó. A műsorvezető, Monty Hall az egyik ajtó mögé autót tesz, a többi mögé kecskét. A te feladatod, hogy megtaláld és kiválaszd azt az ajtót, amely mögött az autó van. Ekkor felszólít, hogy válassz ki a három ajtó közül egyet, jelöljük őket A, B és C betűvel. Te kiválasztasz egy ajtót, mondjuk a B-t. Ezután a műsorvezető lép a játékba: a megmaradt ajtók, vagyis az A, C közül kinyitja azt, amelyik mögött kecske van – tehát elárul neked egy ajtót, amely biztosan nem vezet a célhoz. Mondjuk, hogy az A ajtót nyitja ki.

Az egész probléma lényege a következő lépésben van – a műsorvezető felajánlja, hogy megváltoztathatod a választásodat. Először a B ajtót választottad, aztán a műsorvezető elárulta, hogy az A ajtó mögött nincs autó, és felajánlja, hogy a választásodat megváltoztathatod a C ajtóra. De megtarthatod az eredeti B választásodat is.

Hogyan döntesz? Nagyobb az esély arra, hogy az autó a B ajtó mögött van, vagy arra, hogy a C ajtó mögött? Vagy mindegy?

A megoldás

Három ajtód volt. Az egyik ajtó kiesett a játékból, tehát valójában már csak két ajtód van. Ezek egyike mögött biztosan ott az autó. A maradék két ajtóról nem tudsz semmit, további támpontod nincs. Így a valószínűség természetesen mindkét ajtónál 50%.

Nagyjából így gondolkodik az emberek nagy része, ezért ne bánkódj, ha te is így gondoltad. Ez a megoldás viszont természetesen rossz :-).

A helyes megoldás

Megéri megváltoztatni a választásodat arra az ajtóra, amelyet a műsorvezető nem zárt ki. Hogy megértsük, írjuk fel a valószínűségeket az elejétől. Amikor először választasz ajtót, annak a valószínűsége, hogy éppen mögötte van az autó, 1/3. Nincs további támpontunk, ezért a valószínűség egyenletesen oszlik meg, 1/3 minden ajtóra.

Ha tehát a B ajtót választod, 1/3 az esélye, hogy mögötte van az autó. Ugyanakkor 2/3 a valószínűsége, hogy az autó az A vagy a C ajtó mögött van. Ezért valószínűbb, hogy az autó azok mögött az ajtók mögött van, amelyeket nem választottunk. Ez fontos.

A következő lépésben a műsorvezető lép a játékba, és kinyitja az egyik olyan ajtót, amely mögött nincs autó. A műsorvezető kinyitja az A ajtót. Az A ajtó mögött tehát nincs autó. Mi lesz azzal a 2/3 valószínűséggel? Tudjuk, hogy annak a valószínűsége, hogy az autó az A vagy a C ajtó mögött van, 2/3, és ugyanakkor tudjuk, hogy az A mögött nincs. A 2/3 valószínűség tehát átkerül a C ajtóra. Annak az esélye, hogy az autó a C ajtó mögött van, 2/3.

A B ajtóra vonatkozó esélyünk viszont ugyanaz marad, az semmit sem változott. Így 1/3 az esélye, hogy az autó a B ajtó mögött van, amelyet választottunk, és 2/3 az esélye, hogy a C ajtó mögött, amelyre a választásunkat megváltoztathatjuk. Ésszerű tehát megváltoztatni a választásunkat.

Több ajtó

A példát talán jobban megérthetjük, ha megnöveljük az ajtók számát, és a feladatot így módosítjuk: legyen tíz ajtó. Az elején a játékos kiválaszt egy ajtót, a műsorvezető pedig kinyit minden ajtót, kivéve azt, amelyet mi választottunk, és azt, amelyik mögött az autó van. A feladat gyakorlatilag ugyanaz, mint az előző példában, csak ott, amikor a műsorvezető az összes ajtót kinyitotta, csak egyetlen ajtót nyitott ki, mert többet nem nyithatott.

Az elején az 1-es ajtót választod. Annak az esélye, hogy mögötte van az autó, 1/10. 9/10 a valószínűsége, hogy az autó másik ajtó mögött van. Ezután a műsorvezető kizár 8 ajtót, amelyek mögött biztosan nincs autó, és megint csak két ajtó marad. Annak az esélye, hogy az autó amögött az ajtó mögött van, amelyet a műsorvezető meghagyott, 9/10, míg annak az esélye, hogy a te választott ajtód mögött van, továbbra is 1/10.

További források

• Wikipédia