Statisztika alapjai

A statisztika olyan tudomány, amely valós adatokat igyekszik vizsgálni, és a valószínűségszámítás segítségével leírni őket.

Önálló szakasz a statisztikának

Ez egy régi, elavult cikk, a statisztikának már saját szakasza van, a bevezető cikke: A statisztika alapfogalmai.

Alapfogalmak

A statisztikában néhány alapfogalommal dolgozunk, ezeket itt leírjuk.

Először is a statisztikai sokaság, ami valamilyen vizsgálni kívánt adatok véges halmaza. Az adatok lehetnek általánosak, lényegében bármi lehet. Ha az átlagfizetést szeretnéd vizsgálni Magyarországon, a statisztikai sokaság Magyarország összes lakosának halmaza lesz. A statisztikai sokaság elemeinek számát a sokaság elemszámának nevezzük. Az általunk meghatározott statisztikai sokaság elemszáma tehát Magyarország lakosainak számával egyenlő.

Van továbbá a statisztikai egység fogalma, ami a statisztikai sokaság egy konkrét eleme. Esetünkben a statisztikai egység egy konkrét ember lenne.

Végül van a statisztikai ismérv, vagyis az, amit mérni szeretnénk. Példánkban a statisztikai ismérv éppen a fizetés lenne. A statisztikai ismérv lehet minőségi vagy mennyiségi. A mennyiségi (kvantitatív) ismérv olyan ismérv, amely számokkal kifejezhető (például éppen a fizetés, a magasság, a gyerekek száma, …), a minőségi ismérv pedig szavakkal kifejezhető (szín, igen/nem, foglalkozás, …).

Gyakoriságok

A gyakoriság lehet relatív vagy abszolút, és azt adja meg, hány olyan érték fordul elő a statisztikai sokaságban, amelyet az adott ismérv felvesz – vagy abszolút módon, vagy a sokaság elemeinek teljes számához viszonyítva.

Fontos, hogy a gyakoriság számításakor az ismérvet is alkalmaznunk kell, mert ha a statisztikai egység abszolút gyakoriságát akarnánk kiszámítani, szükségszerűen vagy nullát, vagy egyet kapnánk, hiszen a statisztikai sokaság halmaz, és a halmaz mint olyan nem engedi meg, hogy több egyforma elem legyen benne.

Tehát a z ismérvérték abszolút gyakorisága azt adja meg, hányszor fordul elő a z érték az S statisztikai sokaságban. Példa: vegyünk egy tíz tanulóból álló osztályt. Minden tanuló kapott a bizonyítványában valamilyen matematikajegyet egytől ötig. A jegyeket a következő táblázat tartalmazza:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 4& 1& 3& 4& 5& 5& 4& 2& 5& 3\end{array}$$

Megjegyzés: ebben a példában a statisztikai sokaság az a tíz osztálytárs lenne, valahogy így

$$S=\{\text{Ádám},\text{Veronika},\text{Márton},\dots \}$$

A táblázat első sorában az egyszerűség kedvéért a tanuló számazonosítója áll, az első sorban tehát a statisztikai egységek, vagyis a statisztikai sokaság elemei vannak. A második sorban az ismérv értékei vannak, vagyis a „matematika év végi jegye” érték az adott tanulónál.

A z = 3 ismérvérték (bizonyítványjegy) abszolút gyakorisága tehát kettő lenne, csak két tanuló kapott a bizonyítványában hármast (ezek a 3. és a 10. „tanuló”). A z = 5 ismérvérték abszolút gyakorisága három lenne (az 5., a 6. és a 9. „tanuló”).

A relatív gyakoriság azt adja meg, hogy a statisztikai sokaság ismérvértékeinek hány százaléka egyenlő a z értékkel. A z ismérvérték relatív gyakoriságát így számítjuk ki:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

ahol z_a a z érték abszolút gyakorisága, |S| pedig a statisztikai sokaság elemszáma, vagyis az elemek száma. A hármas jegy relatív gyakorisága tehát:

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

A sokaságunk elemszáma tíz, mert tíz tanuló van az osztályban. A százalékos alakot százzal való szorzással kapjuk, tehát 20% adódna. Az ötös relatív gyakorisága

$$r_5=\frac{3}{10}.$$

Számtani közép

A számtani közép, vagy gyakran csak átlag, a statisztikai sokaság összes értékének átlaga. Az érték szó itt az ismérv alkalmazása utáni értéket jelenti. Az átlagot úgy számítjuk ki, hogy összeadjuk az összes értéket, és elosztjuk a sokaságban lévő értékek számával. Nagyjából így:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

A szumma segítségével is felírtam, hátha olvashatóbbnak találod. De az előző, törtes kifejezés is elég. Az x értékek a sokaságunk összes értékét jelölik.

Példa: vegyük az előző táblázat adatait, és számítsuk ki a tanulónkénti átlagos jegyet.

$$p_a=\frac{4+1+3+4+5+5+4+2+5+3}{10}=\frac{36}{10}=3,6$$

Osztályunkban az átlagos jegy 3,6. Amint látod, a számtani közép olyan értéket is adhat, amely tulajdonképpen egyáltalán nem érvényes – nem adhatsz 3,6-os jegyet.

A számtani közép akkor is rosszul használható, ha az adatok egy részének értéke alapvetően más, mint a többi adaté. Ha tehát van egy sokaságunk az 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75 értékekkel, a számtani közép így jön ki:

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Látjuk, hogy az eredmény távol van a sokaság minden értékétől. Többszöröse az első hat számnak, és többszörösen kisebb az utolsó értéknél. Ezt a problémát megoldhatja például a medián, lásd később. Legalább már tudod, miért nem éri el az emberek kétharmada az átlagfizetést – van egy kis csoport, amelynek jóval átlagon felüli fizetése növeli a számtani közepet.

Mértani közép

A mértani közepet hasonlóan számítjuk ki, mint a számtani közepet, csak az összeadás helyett szorzást, az osztás helyett pedig gyökvonást használunk. A mértani közepet tehát így számítjuk ki:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

A mértani közép használható a növekedés mutatójaként. Tegyük fel például, hogy egy termék ára egy év alatt 10%-kal nőtt, a következő évben 15%-kal, a következő évben pedig 5%-kal. Az eredeti c ár tehát a három év után ennyi lett:

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

Ezeknek az együtthatóknak a mértani közepe:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Mit jelent ez? Azt, hogy ha az ár minden évben éppen az 1,0992419 számmal szorzódna (vagyis nagyjából 9,92%-kal nőne), akkor a végső ár ugyanennyi lenne:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Módusz és medián

Az ismérv módusza az az érték, amelynek a legnagyobb a gyakorisága, jelölése Mod(x). Ha visszatérünk a jegyes példához, a módusz a 4 és az 5, mert ezek fordulnak elő leggyakrabban – mindkettő abszolút gyakorisága 3.

A medián a középső érték, jelölése Med(x). Ha az értékeket sorba tudjuk rendezni egy monoton növekvő sorozatba

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

akkor a medián az az érték, amely ennek a sorozatnak a közepén áll. A középső érték attól függően különbözik, hogy a sorozatnak páratlan vagy páros számú eleme van. Ha páratlan, a medián az ezen a helyen álló elem

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Ha a sorozatnak páros számú eleme van, akkor nincs olyan elem, amely pontosan középen állna (példa: az 1, 2, 3, 4 sorozatnak egyszerűen nincs középső eleme). Ezért a két középső érték átlagát vesszük (a 2 és a 3 átlagát). A képlet páros n esetén tehát:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Térjünk vissza a példához, amely a rosszul használható számtani közepet szemléltette. Az értékek sokasága az s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75 volt. A módusz kettő lenne, ez az egyetlen szám, amely ismétlődik. A medián kiszámításához sorba rendezzük a számokat:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

A sorozatnak hét eleme van, a középső elem tehát a₄, és ez egyenlő hárommal.