Valószínűség

Egy véletlen esemény valószínűsége megmondja, mekkora az esélye, hogy az adott esemény bekövetkezik. Tipikus példa a hagyományos dobókockával való dobás. Kérdezhetjük például: „mekkora a valószínűsége, hogy ötöst dobunk?” A valószínűséget megadhatjuk a [0; 1] intervallumba eső számként vagy százalékban, vagyis 0%-tól 100%-ig terjedő értékkel.

Kapcsolódó definíciók

Minden olyan ismételhető tevékenységet, amelynek kimenetele a véletlentől függ, véletlen kísérletnek nevezünk. Ilyen például a kockadobás vagy az ötöslottó húzása. Szükségünk van még az összes lehetséges kimenetel halmazára – ez mindazon lehetőségek halmaza, amelyek az adott véletlen kísérletnél bekövetkezhetnek. Kockánál például az egytől hatig terjedő számok eshetnek ki, így az összes lehetséges kimenetel halmaza, amelyet ω-val (omega) jelölünk, a kocka esetében így néz ki: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Az ötöslottónál ez az összes kihúzható számötös lenne.

Minden A ⊆ ω részhalmazt (véletlen) eseménynek nevezünk. Például az „a kockán páros szám esik” eseményt A = {2, 4, 6} alakban írnánk fel. Az „a kockán ötnél nagyobb szám esik” eseményt A = {6} alakban, és így tovább. Ha eldobjuk a kockát (= elvégezzük a kísérletet), és a kockán az x szám esik, akkor ha x ∈ A, azt mondjuk, hogy az esemény bekövetkezett, ellenkező esetben azt mondjuk, hogy nem következett be. Ha maradunk az „a kockán páros szám esik” eseménynél, és x = 2-t dobunk, akkor x ∈ A, tehát 2 ∈ {2, 4, 6}, és az esemény bekövetkezett.

Két különleges esemény létezik: a biztos és a lehetetlen esemény. Biztos az az esemény, amely minden kísérletben bekövetkezik, ami azt jelenti, hogy A = ω. Kockánál ez a „hétnél kisebb szám esik” esemény lenne. Az biztosan bekövetkezik. Az ellentéte a lehetetlen esemény, amelyet A = ∅ alakban írnánk, szavakkal például így: „a kockán virágcserép esik”. Hát, a virágcserép dobás közben leeshet az asztalról, de a kockán biztosan nem esik virágcserép, mert ott csak az 1-től 6-ig terjedő számok vannak.

Egy esemény valószínűsége

Egy esemény valószínűsége megmondja, mennyire számíthatunk arra, hogy az adott esemény bekövetkezik. Valószínűleg mindannyian sejtjük, hogy a kockán gyakrabban esik valamilyen páros szám, mint éppen az ötös. A valószínűség ezt a sejtést pontos számokra váltja. Először nézzünk meg néhány feltevést, amelyekre szükségünk lesz.

Legyen a véletlen kísérletre igaz a következő:

• Az összes lehetséges kimenetel száma véges (azaz ω véges halmaz).
• Két kimenetel nem következhet be egyszerre (azaz a kockán nem dobhatunk egyszerre 3-ast és 6-ost).
• Minden kimenetel egyformán lehetséges (azaz ugyanakkora az esélyünk a 4-es dobására, mint a 6-os vagy az 1-es dobására).

Az első két feltétel egészen természetes, az utolsó kissé megszorító, de egyelőre beérjük vele. Ekkor azt mondhatjuk, hogy az A esemény valószínűsége, amelyet P(A)-val jelölünk, egyenlő

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Más szóval: a kedvező kimenetelek száma osztva az összes kimenetel számával. (Az előző képletben a függőleges vonalak a halmaz méretét jelentik.) A páros szám dobásának valószínűsége a kockán tehát:

$$P(\text{páros})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

A valószínűséget gyakran százalékban adjuk meg – elég a kiszámolt valószínűséget megszorozni százzal, és kitenni a százalékjelet: 0,5 · 100% = 50%. Az ötvenszázalékos valószínűség tulajdonképpen azt mondja, hogy ugyanakkora az esélyünk arra, hogy páros szám esik, mint arra, hogy nem. Ez érthető is, hiszen a kockán három páros és három páratlan szám van.

A biztos esemény valószínűsége 1, a lehetetlen eseményé 0. Miért? Azt mondtuk, hogy a J biztos eseményre J = ω, az N lehetetlen eseményre pedig N = ∅ teljesül. Ha ezeket az eseményeket behelyettesítjük a képletbe, azt kapjuk:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\varnothing |}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Megoldott feladatok

1. Mekkora a valószínűsége, hogy a kockán ötöst dobunk? Ez egyszerű, a kedvező kimenetelek halmaza csak A = {5}, az összes kimenetel halmaza továbbra is ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Behelyettesítünk a képletbe:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Mekkora a valószínűsége, hogy a kockán hárommal osztható szám esik? Meg kell néznünk, melyik számok oszthatók hárommal a kockán. Ezek csak a 3 és a 6, tehát a kedvező kimenetelek halmaza B = {3, 6}. Ezután a szokásos módon:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Most próbáljunk meg két kockával egyszerre dobni. Mekkora a valószínűsége, hogy mindkét kockán hatost dobunk? Először ki kell számolnunk ω-t, vagyis az összes kimenetel halmazát. Meg kell számolnunk az összes lehetőséget, amely előfordulhat. Ha tehát az első kockán 1-est dobunk, akkor a másodikon 1-től 6-ig bármi eshet. Ezzel hat lehetőséget találtunk. Ha az első kockán 2-est dobunk, a második kockán megint 1-től 6-ig eshetnek számok; ezzel újabb hat lehetőséget találtunk. És így tovább az első kocka összes lehetséges számára. Az összes lehetőség így néz ki:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\\ & & \dots \\ & & (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)\end{array}$$

   Összesen hat sorunk van, és minden sorban hat lehetőség. Így 6 · 6 = 36 lehetőséget kapunk, amely a kockákon előfordulhat. Ezek közül hány van egyúttal a kedvező kimenetelek halmazában? Csak egy lehetőség, mégpedig a (6; 6), mert azt szeretnénk, hogy két hatost dobjunk. A valószínűség tehát:

   $$P(C)=\frac{|\{(6;6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Mekkora a valószínűsége, hogy két kockával dobva mindkettőn ugyanaz a szám esik? Az összes lehetséges kimenetel száma továbbra is 36, lásd az előző feladatot. De hány a kedvező kimenetel? Csak hat esetben esik mindkét kockán ugyanaz a szám: D = {(1; 1), (2; 2), …, (6; 6)}. Behelyettesítünk a képletbe:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Mekkora a valószínűsége, hogy egy fehér és egy fekete kockával dobva a fehér kockán 3-ast, a feketén pedig 5-öst dobunk? Az ω mérete továbbra is 36. Hogyan néz ki a kedvező kimenetelek E halmaza? Pontosan csak a (3; 5) lehetőséget tartalmazza, tehát a valószínűség

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Mekkora a valószínűsége, hogy egy fehér és egy fekete kockával dobva a 3-as és az 5-ös számot dobjuk? Ez a feladat hasonló az előzőhöz, csak nem követeljük meg, hogy a 3-as a fehér, az 5-ös pedig a fekete kockán essen. Egyszerűen az egyik kockán 3-asnak, a másikon 5-ösnek kell esnie. Így több lehetőséget kapunk: a (3; 5) mellett ott van a (5; 3) is. Ennek az F eseménynek a valószínűsége tehát:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Mekkora a valószínűsége, hogy két kockával dobva legalább egy hatost dobunk? Haladjunk lépésről lépésre: ha az első kockán hatos esik, akkor a második kockán 1-től 5-ig eshetnek számok. Ez öt lehetőség. Ha a második kockán esik hatos, az első kockán 1-től 5-ig eshetnek számok. Ez újabb öt lehetőség. Végül a hatos eshet mindkét kockán is – ez még egy lehetőség. Összesen tehát 5 + 5 + 1 = 11 lehetőségünk van. A kedvező kimenetelek G halmaza így néz ki: G = {(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}. A valószínűség:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Egy osztályban 30 tanuló van. Mekkora a valószínűsége, hogy Bencét felelteti a tanárnő történelemórán, ha mindig két tanulót szólít fel egy órán, és eddig még senkit sem szólított fel? A valószínűség kiszámításához meg kell határoznunk, hány különböző tanulópár létezik, és hány olyan különböző tanulópár létezik, amelyben az egyik Bence. Mivel nem számít, milyen sorrendben szólítja fel a tanárnő a tanulókat, kombinációt használunk.

   Innen már egyszerű. Összesen 30 tanulónk van, és azt kérdezzük, hány különböző párt tudunk belőlük összeállítani. Ez a

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   binomiális együtthatóhoz vezet. És hány párban szerepel Bence? Ha a két tanuló egyike Bence, akkor összesen 29 tanuló marad, akikkel Bence párt alkothat (saját magával nem alkothat párt, ezért 30-1=29). Most már ismerjük az összes lehetőség és a kedvező lehetőségek számát, ezért behelyettesítünk a képletbe:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Megjegyzés: az összes pár számát kombináció nélkül is kiszámíthatjuk. Hogyan hozhatnánk létre az összes párt, ha egy 30 tanulós osztályunk van? Úgy, hogy mindig kiválasztunk egy tanulót, és sorban hozzávesszük az összes többit. Ez azt jelenti, hogy például Mártont kiválasztjuk, és párba állítjuk az összes többi tanulóval, vagyis létrehozunk 29 párt. Ezt megcsináljuk minden tanulóval, azaz mind a 30-cal. Összesen 30 · 29 = 870 párt kapunk. Csakhogy minden pár kétszer szerepel: egyszer a (Márton; Anna) pár, másodszor pedig az (Anna; Márton) (attól függően, hogy éppen Márton volt-e az, akihez a többieket párosítottuk, vagy az, akit éppen Annához párosítottunk). Ezt az eredményt tehát még elosztjuk kettővel, és megvan a végeredmény: 870 / 2 = 435.

9. Mekkora a valószínűsége, hogy egy cipősszekrényből, amelyben tizenkét pár cipő van, pontosan három bal lábas cipőt húzunk ki? Ez igazán életszerű példa, ezt biztosan neked is tudnod kellett már valamikor. Először is kiszámoljuk, hányféle hármast húzhatunk ki egyáltalán a szekrényből. Ehhez kombinációra lesz szükségünk, mert nem számít, milyen sorrendben húzzuk ki a cipőket. Összesen 24 cipőnk van, és 3-at húzunk ki. Ezt a binomiális együtthatót kapjuk:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Így kiszámoltuk, hogy összesen 2024 különböző háromcipős kombinációt húzhatunk ki a szekrényből. Most meg kell számolnunk, mely kombinációk kedvezők, vagyis mely háromcipős kombinációk tartalmaznak csak bal lábas cipőt. Tudjuk, hogy a szekrényben összesen 12 bal lábas cipő van. Csak azt kell kiszámolnunk, hány kombinációt tudunk készíteni ebből a 12 cipőből. Ez megint egy binomiális együtthatóhoz vezet:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Tehát 220 olyan kombináció van, amely csak bal lábas cipőt tartalmaz. Ez minden, amit tudnunk kell, most már csak behelyettesítünk a képletbe:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Így nagyjából tízszázalékos az esélyünk, hogy három cipőt kihúzva mind bal lábas lesz.