Binomiális tétel

A binomiális tétel az (a + b)² típusú klasszikus képletek általánosítása a kombinatorikai módszerek segítségével.

Motiváció

Biztosan ismered az (a + b)² vagy az (a + b)³ kiszámításának képleteit:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Természetes kérdés, hogy nem lehet-e ezeket a képleteket tetszőleges természetes számra általánosítani, vagyis ki lehet-e számítani az (a + b)ⁿ kifejezést?

Levezetés

Természetesen lehet, és erre szolgál éppen a binomiális tétel. Nézzük meg, hogyan folytatódna ez a kifejtés n = 4 és n = 5 esetén.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Már látnod kell egy bizonyos mintát. Ha adott az (a + b)ⁿ kifejezés, akkor a jobb oldalon mindig az aⁿ taggal kezdünk. A második tag is tartalmazza az a változót, de a kitevője eggyel kisebb. Például az (a + b)⁴ kifejtésénél a jobb oldalon az első tagban a⁴, a másodikban a³ áll. Minden további tag az a változót az előző tagnál eggyel kisebb kitevővel tartalmazza. A b változó ezzel szemben növekszik. Az elején a b változó nincs ott, vagyis ott van, de nulladik kitevővel: b⁰ = 1. A második tagban a b kitevője egy, aztán kettő és így tovább.

Mindeközben érvényes az az egyszerű szabály, hogy a kitevők összege mindig n. Ha az utolsó, (a + b)⁵ kifejtést nézzük, akkor például a harmadik tag 10a³ · b², és az a és b változók kitevőinek összege éppen 5.

Az utolsó kérdés, hogy milyenek lesznek az egyes tagok együtthatói (a változók előtti számok). Biztosan észreveszed, hogy ezek az együtthatók szimmetrikusak: az (a + b)⁴ esetén az együtthatók 1, 4, 6, 4, 1, az (a + b)⁵ esetén: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Emlékeztetek rá, hogy a⁴ = 1 · a⁴, ezért írom oda az egyest, még ha a képletekben ki is hagyom. A további összefüggést a Pascal-háromszögön mutatjuk meg.

Pascal-háromszög

A Pascal-háromszög ügyes segédeszköz a binomiális tétel szerinti kifejtés kiszámításához. A Pascal-háromszög számokból áll, és az a szám, amely két másik szám alatt található, egyenlő azok összegével. Bonyolultan hangzik, de magából a háromszögből világos lesz:

Nézd meg például a négyes számot. Fölötte az 1 és a 3 található. És az 1 + 3 összeg éppen 4. A többi számra hasonlóan.

És hogyan használjuk fel a Pascal-háromszöget? Ha megnézed az egyes sorokban álló számokat, rájössz, hogy nagyon hasonlítanak a binomiális kifejtés együtthatóira. Például az (a + b)² esetén az együtthatók 1, 2, 1, ami pontosan a második sor. Az (a + b)⁴ esetén az együtthatók 1, 4, 6, 4, 1, ami pontosan a negyedik sor. Ha ki kell számítanunk az (a + b)ⁿ kifejezést, elég megnézni a Pascal-háromszög n-edik sorát.

A binomiális tétel definíciója

Formálisan a binomiális tétel így szól:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in {\mathbb{N}}^{+}$$

Az összeget nullától n-ig számoljuk, azt is beleértve. Az összeadandók száma tehát n + 1. Ami a zárójelben áll, az a binomiális együttható, ami a kombinatorikából ismert, és azt adja meg, hányféle kombinációból kaphatjuk meg a binomiális kifejtés adott tagját. A többi már csak a megfelelő kitevőjű változó. Vedd észre, hogy a kitevők összege valóban n: n − k + k = n.

Példák

Egyszerű példa: számítsuk ki a binomiális tétellel az (a + 2b)⁴ kifejezést. Először megnézzük a Pascal-háromszög negyedik sorát. Ez azt mondja, hogy az együtthatók 1, 4, 6, 4, 1 lesznek. Most már csak sorban ki kell egészítenünk a kitevőkkel. Az első tagban csak a⁴ lesz:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

A második tagban a kitevők 3, 1 szerint oszlanak meg, tehát a³(2b)¹ adódik. Az első hatványra emelés nem változtat a kifejezésen, így felírhatjuk, hogy a³2b. A második tag együtthatója 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

A harmadik tag kitevői 2, 2 lesznek. Itt kell egy kicsit vigyázni, a teljes 2b-t emeljük hatványra, így: (2b)², ami egyenlő: (2b)² = 4b². Beírjuk a kifejtésbe a 6 együtthatóval:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

A negyedik tag alakja a(2b)³ lesz. Hatványozás után a8b³ adódik. Beírjuk a 4 együtthatóval:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

Az utolsó tag pedig már csak (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Most már csak egy kicsit át kell alakítani. A 4a³2b tagban a kettest a tag elejére tehetjük, és összeszorozhatjuk: 2 · 4 = 8. Így 8a³b lesz. Ha a többi taggal is így járunk el, megkapjuk az eredményt:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Kérlek, vedd észre, hogy ebben a pillanatban az együtthatók már nem egyeznek a Pascal-háromszög számaival.