Kebenaran formula

Jika kita mempunyai beberapa pernyataan tunggal dan menyusunnya menjadi formula, kita dapat mencoba menentukan apakah seluruh formula benar atau salah.

Kebenaran pernyataan

Pertama, kita perjelas dulu apa yang dimaksud dengan nilai kebenaran pernyataan. Jika kita mempunyai pernyataan p, kita seharusnya dapat menentukan apakah pernyataan itu benar atau salah. Pernyataan yang benar mempunyai nilai kebenaran 1, sedangkan pernyataan yang salah mempunyai nilai kebenaran 0. (Di buku sekolah, nilai kebenaran sering ditulis B dan S.)

Penilaian kebenaran (valuasi) adalah aturan e yang memasangkan setiap pernyataan dengan 0 atau 1. Jika kita menulis e(p), kita ingin mengetahui kebenaran pernyataan p. Jika p adalah pernyataan “dua kali dua sama dengan empat”, maka e(p) = 1, karena pernyataannya benar. Jika q adalah pernyataan “Budi adalah perempuan” (Budi yang kita kenal adalah laki-laki), maka e(q) = 0, karena Budi bukan perempuan. Jadi, e adalah fungsi yang memberi tahu kita apakah suatu pernyataan benar.

Perlu disadari bahwa e bukan fungsi ajaib yang mengetahui segala hal di dunia. Fungsi ini berperilaku sesuai dengan yang kita tetapkan. Fungsi ini tidak tahu apakah Budi laki-laki atau perempuan. Di awal perhitungan, kita harus menyatakan bagaimana fungsi penilaian itu harus berperilaku. Jika kita menetapkan bahwa Budi adalah perempuan, fungsi tersebut akan menghasilkan e(q) = 1.

Kebenaran kata hubung logika

Untuk menentukan kebenaran suatu formula, kita perlu tahu cara menilai kebenaran kata hubung logika. Jadi, jika kita mengetahui penilaian e(p) dan e(q), berapa nilai kebenaran formula p ∧ q, p ⇒ q, dan sebagainya?

Setiap kata hubung logika berperilaku berbeda dan dipakai untuk keperluan yang berbeda pula. Karena itu, kita akan membahas setiap kata hubung secara terpisah.

Kebenaran konjungsi

Konjungsi ditulis p ∧ q dan dibaca “p dan q”. Sebagai contoh, ambil formula “Indonesia terletak di Asia Tenggara dan sekaligus Indonesia adalah negara kepulauan”. Kapan seluruh kalimat ini benar?

Kata hubung “dan sekaligus” sendiri sudah membantu kita menentukan kebenarannya. Kata hubung ini secara tegas menuntut agar kedua pernyataan, di kiri dan di kanan, benar. Jadi, jika kedua pernyataan p dan q benar, yaitu e(p) = 1 dan e(q) = 1, seluruh konjungsi juga benar. Dalam kasus lain, yaitu jika salah satu pernyataan salah atau keduanya salah, seluruh formula salah.

Contoh konjungsi yang salah adalah “Bengawan Solo adalah sungai dan sekaligus Bengawan Solo mengalir melalui Rusia”. Memang benar bahwa Bengawan Solo adalah sungai, tetapi tidak benar bahwa sungai itu mengalir di Rusia. Jadi, seluruh konjungsi salah.

Tabel berikut merangkumnya:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Dua kolom pertama berisi nilai kebenaran pernyataan p dan q, sedangkan kolom ketiga berisi nilai kebenaran formula p ∧ q.

Kebenaran disjungsi

Disjungsi ditulis p ∨ q dan dibaca “p atau q”. Contoh: “Rusia terletak di Eropa atau di Asia.” Kapan seluruh kalimat ini benar?

Pada disjungsi, cukup jika setidaknya satu kemungkinan benar. Kata hubung “atau” memberi kita pilihan: cukup bagian kiri atau bagian kanannya benar. Satu-satunya perbedaan kecil dengan bahasa sehari-hari adalah bahwa “atau” dalam logika juga benar jika kedua pernyataan terpenuhi sekaligus. Hal ini kurang lazim, karena dalam percakapan sehari-hari kita sering memakai “atau” dalam arti eksklusif, yaitu “entah …, entah …”.

Ada lelucon klasik tentang hal ini. Sebuah keluarga sedang memilih mobil baru di sebuah dealer mobil bekas. Sang ayah berkata kepada penjual, “Kami memutuskan untuk membeli mobil biru atau mobil merah.” Penjual pun menjual kedua mobil itu kepada mereka. Lelucon ini menggambarkan perbedaan antara “atau” dalam logika dan “atau” dalam percakapan: sang ayah mungkin bermaksud memilih tepat satu dari kedua mobil tersebut, sedangkan penjual menganggap menjual keduanya juga merupakan pilihan yang sah.

Kalimat tentang Rusia di atas benar karena kedua pernyataannya benar. Kalimat “bilangan 7 habis dibagi 3 atau bilangan 7 adalah bilangan prima” benar, karena 7 adalah bilangan prima. Memang 7 tidak habis dibagi tiga, tetapi hal itu tidak menjadi masalah. Tabel kebenarannya:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Kebenaran implikasi

Implikasi ditulis p ⇒ q dan dibaca “jika p, maka q”. Contoh implikasi adalah kalimat “jika kita makan sambal terlalu banyak, maka perut kita akan sakit”. Kapan kalimat ini benar?

Implikasi logika adalah kata hubung yang paling menjebak. Dalam bahasa sehari-hari pun implikasi sering disalahpahami dan dikacaukan dengan biimplikasi. Mari kita coba menjawab pertanyaan apakah implikasi kebalikannya (konvers), q ⇒ p, juga berlaku.

Kita tahu bahwa jika kita makan sambal terlalu banyak, perut kita akan sakit. Apakah berlaku juga bahwa jika perut kita sakit, kita pasti telah makan sambal terlalu banyak? Tentu saja tidak. Kita bisa saja makan makanan lain yang membuat perut kita sakit, atau sakit perut itu disebabkan oleh hal yang sama sekali berbeda. Jadi, konvers tidak otomatis berlaku. Jika p ⇒ q berlaku dan sekaligus q ⇒ p juga berlaku, kita mendapatkan biimplikasi (lihat di bawah).

Contoh lain: “jika besok turun hujan, maka Budi akan membawa payung”. Sekarang saya memberi tahu kamu bahwa Budi membawa payung. Pertanyaannya: apakah hari itu turun hujan? Banyak orang cenderung menjawab “tentu saja”, karena Budi membawa payung jika akan turun hujan. Namun, kalimat semula tidak berbunyi seperti itu!

Sebenarnya, Budi bisa saja membawa payung karena alasan lain yang tidak kita ketahui. Misalnya, Budi selalu membawa payung setiap kali mengunjungi neneknya karena ingin melindungi diri dari terik matahari. Atau ia memutuskan untuk membeli payung baru dan ingin membuang payung yang lama. Semua itu alasan yang sah mengapa Budi membawa payung, meskipun belum tentu turun hujan.

Sekarang kita dapat menjawab pertanyaan kapan implikasi bernilai benar. Jika kedua pernyataan benar, implikasi pasti benar: “jika 42 bilangan asli, maka bilangan itu positif”. Kedua pernyataan benar, sehingga seluruh implikasi benar. Contoh lain adalah implikasi “jika 42 bilangan asli, maka bilangan itu negatif”. Implikasi ini salah, karena dari sesuatu yang benar kita mencoba menyimpulkan sesuatu yang salah.

Terakhir, tersisa kasus ketika pernyataan pertama salah. Dalam kasus seperti ini, kebenaran pernyataan kedua tidak lagi penting. Jika kita berangkat dari sesuatu yang salah, kita boleh menyimpulkan apa saja. Contohnya kalimat seperti “jika 1 bilangan negatif, maka saya adalah raja dunia” atau “jika gajah adalah perusahaan konstruksi terkenal, maka matahari berwarna biru.” Dalam kasus seperti ini, implikasi otomatis benar, karena berangkat dari sesuatu yang salah. Tabelnya:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Kebenaran biimplikasi

Biimplikasi ditulis p ⇔ q dan dibaca “p jika dan hanya jika q”. Contoh biimplikasi adalah “bilangan x habis dibagi dua jika dan hanya jika bilangan itu genap”. Kapan seluruh kalimat ini benar?

Pada biimplikasi, kita mengharapkan kedua pernyataan begitu terikat sehingga keduanya benar atau keduanya salah. Jadi, bilangan x genap dan sekaligus habis dibagi dua, atau tidak memenuhi keduanya. Tidak mungkin terjadi x genap, tetapi tidak habis dibagi dua.

Contoh: “Andi membaca buku jika dan hanya jika ia duduk di toilet.” Agar biimplikasi ini terpenuhi, setiap kali Andi duduk di toilet, ia harus membaca buku. Sekaligus, setiap kali ia membaca buku, ia harus duduk di toilet. Tidak boleh terjadi Andi membaca buku, misalnya, di tempat tidur.

Biimplikasi dapat dinyatakan dengan dua implikasi. Jadi, p ⇔ q dapat kita tulis ulang sebagai p ⇒ q dan sekaligus q ⇒ p. Tabelnya:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Negasi

Negasi adalah operasi uner. Negasi ditulis dengan ∼ p (lazim di buku sekolah) atau dengan lambang ¬p. Negasi mengingkari pernyataan semula. Jika kita mempunyai pernyataan “Siti adalah penyanyi”, negasinya adalah pernyataan “Tidak benar bahwa Siti adalah penyanyi” atau singkatnya “Siti bukan penyanyi”. Hampir selalu, negasi dapat dibentuk dengan menambahkan “Tidak benar bahwa …” di depan pernyataan.

Negasi membalik nilai kebenaran, yaitu mengubah 0 menjadi 1 dan 1 menjadi 0. Jadi, kita dapat menulis ¬0 = 1 dan ¬1 = 0.

Hati-hati dengan beberapa jebakan. Misalkan ada pernyataan “kapur berwarna putih”. Apa negasinya? Ada yang mungkin mengira “kapur berwarna hitam”, tetapi itu tidak benar! Jika kita memakai aturan di atas, negasinya adalah pernyataan “tidak benar bahwa kapur berwarna putih”. Apakah itu berarti kapur harus berwarna hitam? Tidak. Kapur bisa saja berwarna merah muda.

Tabel semua kata hubung

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Kebenaran seluruh formula

Sekarang kita sudah bisa menilai kebenaran dua pernyataan yang dihubungkan dengan kata hubung logika. Seluruh formula dinilai dengan cara yang sama persis. Jika kita mempunyai formula (p ⇒ q) ∧ r dan formula (p ⇒ q) bernilai, misalnya, 1, kita memperoleh konjungsi biasa 1 ∧ r, yang sudah bisa kita selesaikan.

Dengan menerapkan kata hubung logika yang paling sederhana satu per satu, kita sampai pada nilai kebenaran seluruh formula. Untuk itu, sering digunakan metode tabel kebenaran, yang dijelaskan di bawah ini.

Metode tabel kebenaran

Metode tabel kebenaran digunakan untuk menilai formula yang lebih rumit. Pada n kolom pertama, kita tuliskan n variabel proposisi yang muncul dalam formula. Pada kolom-kolom berikutnya, kita tempatkan satu per satu subformula yang terkandung dalam formula tersebut. Contoh berikut akan memperjelasnya.

Misalkan diberikan formula (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Pertama, kita tuliskan ke dalam tabel semua variabel proposisi, yaitu p dan q, beserta semua kombinasi penilaiannya:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Selanjutnya, kita tambahkan kolom untuk setiap subformula, yaitu p ∨ q dan q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Sekarang kita nilai formula-formula tersebut dan mengisi kolomnya dengan angka 0 atau 1. Semua informasi yang diperlukan sudah ada di tabel. Ketika menilai p ∨ q pada baris pertama, kita substitusikan 1 untuk p dan juga 1 untuk q. Dengan begitu, kita memperoleh bentuk 1 ∨ 1. Nilai bentuk ini adalah 1, sehingga kita menuliskan angka 1 di tabel:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Dengan cara ini, kita lengkapi seluruh tabel:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Sekarang tinggal menilai seluruh formula. Kita beri nama, misalnya, φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Kita tambahkan kolom φ ke dalam tabel dan menilainya dengan memakai dua kolom sebelumnya.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

Tabelnya sudah lengkap dan menunjukkan nilai kebenaran formula untuk semua kemungkinan penilaian. Misalnya, jika e(p) = 1 dan sekaligus e(q) = 1, formula bernilai benar. Jika e(p) = 0 dan e(q) = 1, formula bernilai salah.

Perhatikan bahwa kita tidak dapat berkata “formula ini benar”. Kalimat seperti itu tidak bermakna, karena untuk menyatakan bahwa formula benar, kita harus menyebutkan dalam penilaian mana formula itu benar. Jadi, kita dapat berkata “formula φ benar dalam penilaian e₁ dan salah dalam penilaian e₂”.

Satu-satunya kasus ketika kita boleh berkata bahwa formula benar adalah ketika formula itu benar dalam semua kemungkinan penilaian. Misalnya, formula p ∨ ¬p benar dalam semua penilaian, sehingga kita boleh berkata bahwa formula itu benar. Hal yang sama berlaku jika formula salah dalam semua penilaian.

Formula seperti itu mempunyai nama khusus. Formula yang benar dalam semua penilaian disebut tautologi. Formula yang tidak terpenuhi dalam penilaian mana pun disebut kontradiksi.