Sanningsvärde för formler
Om vi har några atomära utsagor som vi har satt ihop till en formel, kan vi försöka avgöra om hela formeln är sann eller falsk.
Sanningsvärde för en utsaga
Först ska vi precisera vad sanningsvärdet för en utsaga är. Har vi en utsaga p, ska vi kunna avgöra om den är sann eller falsk. En sann utsaga har sanningsvärdet 1 och en falsk 0.
En värdering är sedan en regel e som ger en given utsaga antingen 0 eller 1. Skriver vi e(p), vill vi veta om utsagan p är sann. Om p är utsagan ”två gånger två är fyra”, så är e(p) = 1, eftersom utsagan är sann. Om q är utsagan ”Oscar är en flicka”, så är e(q) = 0, eftersom Oscar inte är en flicka. e är alltså en funktion som talar om för oss om en utsaga är sann.
Här måste vi komma ihåg att e inte är någon magisk funktion som vet allt i världen. Den beter sig som vi säger åt den. Den vet inte om Oscar är en pojke eller en flicka. I början av en beräkning ska vi själva bestämma hur värderingsfunktionen ska bete sig. Om vi säger åt den att Oscar är en flicka, får vi tillbaka e(q) = 1.
Sanningsvärde för konnektiv
För att kunna bestämma sanningsvärdet för en formel måste vi veta hur vi värderar konnektiven. Alltså, om vi känner värderingen e(p) och e(q), vilket sanningsvärde får formlerna p ∧ q, p ⇒ q osv.?
Varje konnektiv beter sig på sitt eget sätt och används till olika saker, så vi går igenom ett i taget.
Sanningsvärde för konjunktion
Konjunktionen skrivs p ∧ q och läses ”p och samtidigt q”. Som exempel tar vi formeln ”Sverige ligger i norra Europa och samtidigt är Sveriges huvudstad Stockholm”. När är hela den här meningen sann?
Redan konnektivet ”och samtidigt” hjälper oss att avgöra det. Det säger uttryckligen att båda utsagorna, till vänster och till höger, ska vara sanna. Om både p och q är sanna, alltså e(p) = 1 och e(q) = 1, är också hela konjunktionen sann. I annat fall, när antingen en av utsagorna är falsk eller båda är det, är hela formeln falsk.
Ett exempel på en konjunktion som inte är sann är: ”Dalälven är en älv och samtidigt rinner Dalälven genom Ryssland”. Det är sant att Dalälven är en älv, men det stämmer inte att den rinner i Ryssland, så hela konjunktionen är inte sann.
Tabellen nedan visar det överskådligt:
I de två första kolumnerna står sanningsvärdena för utsagorna p och q, och i den tredje står sanningsvärdet för formeln p ∧ q.
Sanningsvärde för disjunktion
Disjunktionen skrivs p ∨ q och läses ”p eller q”. Exempel: ”Ryssland ligger i Europa eller i Asien.” När är hela meningen sann?
För en disjunktion räcker det att minst ett av alternativen är sant. Konnektivet ”eller” ger oss ett val, det räcker att den vänstra eller den högra delen är sann. Den enda lilla skillnaden mot vardagsspråket är att det logiska eller är sant även när båda utsagorna är uppfyllda samtidigt. Det är inte riktigt det vi är vana vid, i vardagligt tal använder vi ofta ”eller” uteslutande, alltså ”antingen … eller …”.
Det finns ett klassiskt skämt om detta: en familj väljer en ny bil hos en begagnatbilshandlare. Pappan säger till försäljaren: ”Vi har bestämt oss för att ta en blå eller en röd bil.” Försäljaren sålde båda bilarna till dem. Det illustrerar skillnaden mellan det logiska och det talade eller: pappan menade nog att de skulle välja exakt en av bilarna, medan försäljaren ansåg att det var tillåtet att sälja båda.
Meningen om Ryssland ovan är sann, eftersom båda utsagorna är sanna. Meningen ”talet 7 är delbart med 3 eller så är talet 7 ett primtal” är sann, eftersom sju är ett primtal. Det är visserligen inte delbart med tre, men det spelar ingen roll. Tabell över sanningsvärdena:
Sanningsvärde för implikation
Implikationen skrivs p ⇒ q och läses ”om p, så q”. Ett exempel på en implikation är meningen ”om vi dricker mycket vodka, så kräks vi”. När är meningen sann?
Den logiska implikationen är den mest förrädiska av alla konnektiv, och även i vardagligt tal missförstås den ofta och förväxlas med ekvivalens. Vi kan försöka svara på frågan om den omvända implikationen också gäller: q ⇒ p.
Vi vet att om vi dricker mycket vodka, så kräks vi. Gäller det också att om vi kräks, så har vi druckit mycket vodka? Det gäller absolut inte, vi kan ha druckit något helt annat och ändå ha mått illa, eller så kan vi må illa av något helt annat. Den omvända implikationen behöver alltså inte gälla automatiskt. Om både p ⇒ q och q ⇒ p gäller, är det en ekvivalens, se nedan.
Ett annat exempel: ”om det regnar i morgon, så tar Lucas med sig ett paraply”. Och nu säger jag att Lucas tog med sig ett paraply. Frågan lyder: regnade det den dagen? Många har en tendens att säga att det givetvis gjorde det, Lucas tog ju med sig ett paraply när det skulle regna. Men så är den ursprungliga meningen inte uppbyggd!
Lucas kan i själva verket ha tagit med sig paraplyet av något annat skäl som vi inte har en aning om. Kanske tar Lucas alltid med sig ett paraply när han hälsar på sin svärmor, för att kunna sticka ut ögat på henne. Eller så har han bestämt sig för att köpa ett nytt paraply och vill kasta det gamla. Allt detta är fullt legitima skäl till att Lucas kan ha tagit med sig ett paraply fast det inte behövde regna.
Nu kan vi svara på frågan när en implikation är sann. När båda utsagorna är sanna, är implikationen säkert sann: ”om 42 är ett naturligt tal, så är det positivt”. Båda utsagorna är sanna, så hela implikationen är sann. Ett annat exempel är implikationen ”om 42 är ett naturligt tal, så är det negativt”. Den implikationen är inte sann, eftersom vi försöker dra en slutsats som inte är sann av något som är sant.
Slutligen återstår fallen då den första utsagan är falsk. Då spelar sanningen hos den andra utsagan ingen roll längre. Utgår vi från en osanning kan vi sedan säga vilket nonsens som helst. Det är meningar som ”om 1 är ett negativt tal, så äter jag upp min hatt” eller ”om Ikea är ett känt bageri, så är solen blå”. I sådana fall är implikationen automatiskt sann, helt enkelt för att den utgår från en osanning. Tabell:
Sanningsvärde för ekvivalens
Ekvivalensen skrivs p ⇔ q och läses ”p om och endast om q”. Ett exempel på en ekvivalens är ”talet x är delbart med två om och endast om det är jämnt”. När är hela meningen sann?
Vid en ekvivalens förväntar vi oss att de två utsagorna lever i en sådan symbios att antingen gäller båda eller ingen av dem. Antingen är talet x jämnt och samtidigt delbart med två, eller så är det ingetdera. Det kan inte inträffa att x är jämnt men inte delbart med två.
Exempel: ”Elsa läser en bok om och endast om hon sitter på toaletten.” För att ekvivalensen ska vara uppfylld måste Elsa alltid läsa en bok när hon sitter på toaletten. Och samtidigt måste hon alltid sitta på toaletten när hon läser en bok. Det kan inte hända att hon läser en bok till exempel i sängen.
Ekvivalensen kan vi uttrycka med två implikationer. Vi kan alltså skriva om p ⇔ q som p ⇒ q och samtidigt q ⇒ p. Tabell:
Negation
Negationen är en unär operation, vi skriver den med den här symbolen: ¬p. Negationen förnekar den ursprungliga utsagan. Har vi utsagan ”Maja är sångerska”, får vi som negation utsagan ”Det är inte sant att Maja är sångerska”, eller kortare ”Maja är inte sångerska”. Nästan alltid kan vi bilda en negation genom att sätta ”Det är inte sant att …” framför utsagan.
Negationen vänder sanningsvärdet, alltså gör den 1 av 0 och 0 av 1. Vi kan skriva ¬0 = 1 och ¬1 = 0.
Se upp för vissa förrädiska saker. Anta att vi har påståendet ”kalk är vit”. Vad är negationen? Någon skulle kunna komma på ”kalk är svart”, men det stämmer inte! Med regeln ovan blir negationen utsagan ”det är inte sant att kalk är vit”. Betyder det nödvändigtvis att den måste vara svart? Nej, den kan till exempel vara rosa.
Tabell över alla konnektiv
Sanningsvärde för en hel formel
Nu kan vi värdera två utsagor som är sammanbundna med ett konnektiv. En hel formel värderar vi helt analogt. Om vi har formeln (p ⇒ q) ∧ r, och värderar (p ⇒ q) till exempel till 1, får vi den klassiska konjunktionen 1 ∧ r, som vi redan kan lösa.
Genom att steg för steg tillämpa de enklaste konnektiven kommer vi fram till sanningsvärdet för hela formeln. Ofta använder vi då den så kallade sanningstabellen, som beskrivs längre fram.
Sanningstabell
Sanningstabellen används när vi värderar mer sammansatta formler. I de första n kolumnerna skriver vi de n satsvariabler som formeln innehåller, och i de följande kolumnerna placerar vi efter hand de delformler som formeln innehåller. Det blir tydligare med ett exempel:
Låt oss ta formeln (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). I början skriver vi in alla satsvariabler i tabellen, alltså p och q, och alla kombinationer av deras värderingar:
Sedan lägger vi till kolumner för delformlerna p ∨ q och q ⇒ p.
Nu värderar vi de här formlerna och fyller i nollor eller ettor i kolumnerna. I tabellen har vi all information vi behöver. Vi går tillväga så att när vi värderar p ∨ q i den första raden, sätter vi in 1 för p och 1 också för q. Då får vi uttrycket 1 ∨ 1. Värdet av det uttrycket är återigen 1, så vi skriver en etta i tabellen:
På samma sätt fyller vi i hela tabellen efter hand:
Nu återstår att värdera hela formeln. Låt oss kalla den till exempel φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Vi lägger till en kolumn med φ och värderar den, och för det använder vi de två föregående kolumnerna.
Tabellen är nu komplett och ger oss formelns sanningsvärde för alla möjliga värderingar. Om till exempel e(p) = 1 och samtidigt e(q) = 1, är formeln sann. Om e(p) = 0 och e(q) = 1, är formeln inte sann.
Lägg märke till att vi inte kan säga att ”formeln är sann”. Den meningen är meningslös, för att kunna säga att formeln är sann måste vi säga i vilken värdering formeln är sann. Vi kan alltså säga att ”formeln φ är sann i värderingen e1 och inte sann i värderingen e2”.
Det enda fall då vi kan säga att en formel är sann är när den är sann i alla möjliga värderingar. Till exempel är formeln p ∨ ¬p sann i alla värderingar, så vi kan säga att formeln är sann. På motsvarande sätt när en formel är falsk i alla värderingar.
Sådana formler har egna namn. En formel som är sann i alla värderingar kallas en tautologi. En formel som inte är uppfylld i någon värdering kallas en kontradiktion.
Kapitel: Satslogik, Sanningsvärde för formler, Exempel på satslogik
