Faktorial

Faktorial bilangan n sama dengan hasil kali semua bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis dengan tanda seru: n!. Untuk nol berlaku: 0! = 1. Faktorial terutama digunakan dalam kombinatorika, misalnya untuk menghitung permutasi. Sebagai contoh, faktorial lima adalah 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.

Definisi faktorial

Faktorial dapat didefinisikan dengan berbagai cara. Cara yang paling sederhana mungkin seperti ini:

$$n!=\{\begin{array}{ll}1& \text{jika n = 0}\\ n\cdot (n-1)!& \text{untuk n lainnya}\end{array}$$

Faktorial juga dapat didefinisikan dengan hasil kali berulang:

$$n!=\prod _{k=1}^{n}k$$

Atau dengan integral:

$$(z-1)!=\mathrm{\Gamma }(z):={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }(z)>0.$$

Menghitung dengan faktorial

Faktorial sering muncul dalam pecahan. Dalam perhitungan seperti itu, kita memanfaatkan fakta bahwa n! = n · (n − 1)!. Hal ini berlaku menurut definisi. Mari kita lihat contohnya. Kita tahu bahwa faktorial empat, 4!, sama dengan hasil kali bilangan-bilangan asli berikut: 4 · 3 · 2 · 1. Hasil kali 3 · 2 · 1 sama dengan faktorial tiga: 3 · 2 · 1 = 3!. Jadi, faktorial empat dapat kita tulis sebagai 4! = 4 · 3!.

$$4!=4\cdot \underset{=3!}{\underbrace{3\cdot 2\cdot 1}}=4\cdot 3!$$

Berkat sifat ini, banyak faktorial dalam pecahan dapat kita sederhanakan dengan efisien. Contoh soal: sederhanakanlah bentuk berikut.

$$\frac{n!}{(n-2)!}$$

Kita menyederhanakannya dengan rumus yang baru saja disebutkan. Faktorial pada pembilang dapat kita uraikan menjadi n · (n − 1)!, lalu (dengan rumus yang sama) menjadi n · (n − 1) · (n − 2)!. Sekarang pecahannya dapat disederhanakan dengan mudah:

$$\frac{n!}{(n-2)!}=\frac{n(n-1)\boxed{\text{(n-2)!}}}{\boxed{\text{(n-2)!}}}=n(n-1)$$

Contoh lain:

$$\begin{array}{rcl}\frac{n!\cdot (n+1)!}{(n-1)!\cdot (n+2)!}& =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+1)!}{\boxed{\text{(n-1)!}}\cdot (n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot (n+1)!}{(n+2)!}\\ & =& \frac{n\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}{(n+2)\cdot \boxed{\text{(n+1)!}}}\\ & =& \frac{n}{n+2}\end{array}$$

Dan contoh terakhir tentang faktorial:

$$\begin{array}{rcl}\frac{(2(n+1))!}{(2n)!}& =& \frac{(2n+2)!}{(2n)!}\\ & =& \frac{(2n+2)(2n+1)\boxed{\text{(2n)!}}}{\boxed{\text{(2n)!}}}\\ & =& (2n+2)(2n+1)\end{array}$$