Apa itu bukti

Bukti adalah batu fondasi seluruh matematika. Berkat bukti, dari beberapa butir batu kecil saja kita dapat membangun sebuah piramida utuh, bahkan dalam posisi terbalik.

Makna bukti

Bukti penting dalam matematika karena beberapa alasan. Alasan utamanya adalah tanpa bukti kita tidak dapat memastikan gagasan atau hipotesis apa pun yang terlintas di benak kita. Misalnya, kita bisa saja percaya bahwa banyaknya bilangan prima terbatas, tetapi tanpa bukti, keyakinan itu hanyalah pernyataan kosong. Di sisi lain, pernyataan yang belum terbukti pun punya makna dalam matematika (dan di bidang lain). Kita cukup berkata: jika asumsi bahwa bilangan prima ada berhingga banyaknya itu benar, maka berlaku… suatu teori lain.

Namun, kita tidak boleh heran jika suatu saat seseorang membuktikan bahwa bilangan prima ada tak berhingga banyaknya, seperti yang akan kita lihat nanti, lalu seluruh teori kita runtuh seperti rumah kartu. Berkat bukti, kita dapat membangun rumah kartu yang tidak akan pernah runtuh.

Bukti diajarkan di sekolah karena siapa yang memahami bukti juga memahami materinya. Biasanya sulit memahami suatu materi secara mendalam tanpa mengerti buktinya. Kata “mengerti” itu sengaja saya tekankan. Jika kamu menghafal bukti sehari sebelum ujian, lalu keesokan harinya sekadar menuliskannya kembali di kertas, itu tidak berarti kamu lebih dekat untuk memahami masalahnya.

Jadi, saat mempelajari suatu materi, bukti menjawab pertanyaan “mengapa hal ini berlaku seperti itu?” Jika kamu memahami mengapa sesuatu berlaku, kamu akan lebih mudah mengingatnya, dan seiring waktu kamu pasti akan memahami materinya lebih baik daripada orang yang belajar hanya dengan hafalan. Pertanyaannya, apakah itu tujuanmu.

Apa itu bukti

Dalam logika matematika, bukti didefinisikan secara formal, misalnya dengan konsep penurunan sintaktis. Namun, kita cukup memakai definisi yang jauh lebih sederhana.

Di awal setiap bukti, kita harus mempunyai pernyataan yang ingin dibuktikan. Pernyataan ini kita lambangkan dengan simbol ajaib ϕ. Ini adalah huruf Yunani yang dibaca “fi”. Selanjutnya, kita memerlukan himpunan aksioma dan asumsi, yang kita lambangkan Ax, untuk membuktikan pernyataan ϕ. Himpunan aksioma adalah sesuatu yang sudah kita ketahui, yang kita anggap benar. Isinya bisa berupa hal-hal seperti “setiap bilangan genap juga habis dibagi dua”. Selain itu, himpunan ini dapat memuat, misalnya, rumus-rumus untuk mengubah bentuk aljabar yang sudah dibuktikan di tempat lain dan kita anggap benar, misalnya:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2;a,b\in \mathbb{R}$$

Sekarang kita ubah pernyataan-pernyataan dalam himpunan Ax langkah demi langkah sampai kita memperoleh pernyataan ϕ. Semua langkah harus benar secara logis dan sesuai dengan logika proposisional dasar. Misalnya, jika kita ingin membuktikan rumus di atas, bentuk

$$(a+b{)}^2$$

kita ubah dengan operasi ekuivalen sampai kita memperoleh bentuk di ruas kanan. Aku tunjukkan:

$$(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=$$

$$=a\cdot a+2ab+b\cdot b=a^2+2ab+b^2$$

Pada langkah pertama, kita menuliskan pangkat sebagai hasil kali. Pada langkah kedua, kita menjabarkan tanda kurung. Pada langkah ketiga, kita menjumlahkan suku-suku yang sama, dan pada langkah terakhir, kita menuliskan hasil kali sebagai pangkat. Setiap langkah adalah operasi dasar yang boleh kita lakukan, dengan anggapan bahwa setiap operasi dasar itu termuat dalam himpunan Ax.

Yang penting, setiap langkah harus sah, yaitu harus berangkat dari sesuatu yang sudah kita ketahui. Bukti matematika mirip evolusi: dengan perubahan-perubahan kecil yang bertahap, dari satu bentuk kita memperoleh bentuk lain.

Bukti trivial

Bukti trivial (atau bukti yang jelas) adalah istilah teknis untuk bukti yang tidak muat di papan tulis, sehingga dilewati, lalu siswa mempelajarinya sendiri dari buku sebagai pekerjaan rumah. :-) Serius, bukti trivial adalah bukti yang biasanya langsung mengikuti suatu definisi dalam satu langkah yang sederhana.

Mari kita lihat contohnya. Misalkan diberikan himpunan bilangan asli, yaitu himpunan bilangan ℕ = {1, 2, 3, …}. Sekarang kita dapat mengatakan bahwa setiap pecahan berbentuk

$$\frac{q}{p};q,p\in \mathbb{N}$$

adalah pecahan yang sah. Artinya, kita tidak akan menemukan pasangan bilangan q, p yang membuat pecahan tersebut tidak bermakna. Bagaimana cara membuktikannya? Pertama, kita perlu tahu kapan pecahan tidak bermakna. Pecahan tidak bermakna jika penyebutnya nol (kita tidak boleh membagi dengan nol). Jadi, kita harus membuktikan bahwa p ≠ 0 untuk semua kemungkinan p. Kita tahu bahwa p diambil dari bilangan asli, yang sudah kita definisikan sebagai ℕ = {1, 2, 3, …}. Himpunan bilangan asli tidak memuat nol, sehingga bilangan p selalu tidak sama dengan nol.

$$\mathrm{\forall }p\in \mathbb{N}:p\ne 0$$

Selesailah buktinya. Kita tahu bahwa jika pembilang dan penyebut pecahan merupakan bilangan asli, pecahannya sah.

Bukti trivial biasanya memang trivial, tetapi hanya jika kamu memahami konteksnya. Misalnya, jika kamu tidak memahami konsep himpunan atau tidak tahu arti p anggota himpunan ℕ, bukti ini pun tidak trivial bagimu. Jadi, ciri bukti trivial bukanlah kemudahannya, melainkan kenyataan bahwa buktinya pendek dan mudah disimpulkan dari suatu konteks (yang bisa saja sangat sulit).

Contoh penyangkal

Contoh penyangkal mungkin merupakan cara paling sederhana untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tidak benar. Yang penting di sini adalah kata “tidak”. Contoh penyangkal dapat menunjukkan kasus ketika pernyataan yang diberikan tidak berlaku. Namun, secara umum, sebanyak apa pun contoh tidak akan cukup jika ada tak berhingga banyaknya anggota yang bisa diuji.

Contoh: “setiap bilangan asli lebih besar daripada sepuluh”. Bagaimana kita membuktikan bahwa pernyataan ini tidak benar? Contoh penyangkal untuk pernyataan kita adalah, misalnya, bilangan lima. Lima adalah bilangan asli dan tidak lebih besar daripada sepuluh. Sebaliknya, kita tidak dapat membuktikan pernyataan dengan menyebutkan beberapa bilangan asli yang lebih besar daripada sepuluh. Kamu tidak boleh berkata “bilangan asli 11, 12, 13, 123, dan 5.345 lebih besar daripada 10, jadi pernyataan ini benar”. Itu tidak bisa. Kita hanya memilih beberapa contoh yang memenuhi pernyataan kita, tetapi hal itu tidak memberi tahu apa pun tentang bilangan-bilangan lain yang sama sekali tidak kita sebutkan.

Contoh kedua: setiap pria yang tingginya lebih dari dua meter bermata cokelat atau biru. Aku menduga hanya sedikit orang yang bisa menemukan contoh penyangkalnya. Apa artinya bagi pernyataan ini? Sama sekali tidak ada. Jika kita tidak dapat menemukan contoh penyangkal, belum tentu pernyataannya benar. Contoh penyangkal bisa saja ada di suatu tempat, hanya saja kita belum dapat menemukannya. Ketidakmampuan menemukan contoh penyangkal tidak membuktikan bahwa pernyataannya benar.

Bukti langsung

Jenis bukti yang paling dasar adalah bukti langsung. Kita hanya bekerja sesuai definisi dan mengubah pernyataan awal sampai memperoleh pernyataan yang kita inginkan. Biasanya, kita ingin membuktikan pernyataan berbentuk implikasi A ⇒ B, dengan A titik awal atau asumsi dan B pernyataan yang ingin kita simpulkan atau buktikan: jika pernyataan A benar, maka pernyataan B benar. Sering kali yang diberikan hanya pernyataan B, yaitu hal yang ingin kita buktikan, sedangkan pernyataan A harus kita pilih sendiri dengan tepat.

Selanjutnya, dengan implikasi kita menurunkan pernyataan-pernyataan baru, dan pernyataan terakhirnya adalah B. Secara skematis, langkah-langkahnya dapat ditulis seperti ini:

$$A\Rightarrow A_1\Rightarrow A_2\Rightarrow A_3\Rightarrow \dots \Rightarrow A_n\Rightarrow B$$

Sebagai contoh, kita akan membuktikan bahwa pernyataan berikut benar:

$$a>1\Rightarrow a^2>1$$

Sekarang langkah demi langkah:

1. Karena a>1, pasti berlaku juga a>0 dan a ≠ 0 (sebenarnya kita hanya memperlemah syaratnya).
2. Karena a tidak sama dengan nol dan positif, kedua ruas pertidaksamaan dapat kita kalikan dengan variabel a tanpa khawatir. Jika a nol, pertidaksamaan tegasnya tidak akan tetap berlaku (kita akan memperoleh 0>0). Jika negatif, tanda pertidaksamaannya harus kita balik. Setelah dikalikan dengan variabel a, kita memperoleh a²>a.
3. Sekarang kita tahu bahwa a>1 dan sekaligus a²>a. Jika kedua pertidaksamaan ini kita gabungkan, kita memperoleh a²>a>1.
4. Dari sini, kita tinggal menghilangkan bagian tengahnya dan memperoleh a²>1. Hal ini boleh kita lakukan karena a lebih besar daripada satu dan a² lebih besar daripada a. Jika a² lebih besar daripada a dan a lebih besar daripada satu, maka a² pasti lebih besar daripada satu.

Secara simbolis, kita dapat menuliskannya seperti ini:

$$a>1\Rightarrow a>0\Rightarrow a^2>a\Rightarrow a^2>a>1\Rightarrow a^2>1.$$

Bukti tidak langsung

Bukti tidak langsung lebih banyak memanfaatkan sifat-sifat implikasi. Jika kita harus membuktikan pernyataan berbentuk A ⇒ B, kita dapat memakai kontraposisinya dan membuktikan

$$\mathrm{\neg }B\Rightarrow \mathrm{\neg }A.$$

Cara ini kadang lebih menguntungkan daripada, misalnya, bukti langsung. Cara yang mirip dipakai dalam bukti dengan kontradiksi; setiap bukti tidak langsung dapat diubah menjadi bukti dengan kontradiksi. Mari kita coba membuktikan secara tidak langsung pernyataan

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Sekarang kita bentuk kontraposisinya:

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{\neg }(a=b)& \Rightarrow & \mathrm{\neg }(a-b=0)\\ a\ne b& \Rightarrow & a-b\ne 0\end{array}$$

Jika a ≠ b, kita dapat menuliskan b sebagai jumlah b = a + x, dengan x menyatakan selisih bilangan b terhadap bilangan a. Bentuknya berubah menjadi:

$$a\ne (a+x)\Rightarrow a-(a+x)\ne 0;x\ne 0$$

Kita hilangkan variabel a yang dapat dihilangkan:

$$0\ne x\Rightarrow -x\ne 0;x\ne 0$$

Karena x ≠ 0, maka −x ≠ 0 juga, sehingga implikasinya benar. Pernyataan ini terbukti, sehingga pernyataan semula juga benar:

$$a-b=0\Rightarrow a=b.$$

Teknik pembuktian lainnya adalah, misalnya, bukti dengan kontradiksi yang sudah disebutkan dan bukti dengan induksi.

Sumber lain

• Pembuktian matematika di Wikipedia