Τιμή αλήθειας τύπων

Αν έχουμε κάποιες απλές προτάσεις που τις συνθέτουμε σε έναν τύπο, μπορούμε να προσπαθήσουμε να αποφασίσουμε αν ολόκληρος ο τύπος είναι αληθής ή ψευδής.

Τιμή αλήθειας μιας πρότασης

Πρώτα θα διευκρινίσουμε τι είναι η τιμή αλήθειας μιας πρότασης. Αν έχουμε μια πρόταση p, πρέπει να μπορούμε να αποφασίσουμε αν είναι αληθής ή ψευδής. Μια αληθής πρόταση θα έχει τιμή αλήθειας 1 και μια ψευδής 0.

Η αποτίμηση είναι τότε ένας κανόνας e που σε μια δοσμένη πρόταση αντιστοιχίζει είτε 0 είτε 1. Όταν γράφουμε e(p), θέλουμε να βρούμε την τιμή αλήθειας της πρότασης p. Αν η p είναι η πρόταση «δύο επί δύο κάνει τέσσερα», τότε e(p) = 1, επειδή πρόκειται για αληθή πρόταση. Αν η q είναι η πρόταση «ο Στέφανος είναι γυναίκα», τότε e(q) = 0, επειδή ο Στέφανος δεν είναι γυναίκα. Η e είναι λοιπόν μια συνάρτηση που μας επιστρέφει αν η πρόταση είναι αληθής.

Εδώ πρέπει να έχεις υπόψη ότι η e δεν είναι κάποια μαγική συνάρτηση που ξέρει τα πάντα στον κόσμο. Συμπεριφέρεται όπως της πούμε. Δεν ξέρει αν ο Στέφανος είναι άνδρας ή γυναίκα. Εμείς πρέπει στην αρχή του υπολογισμού να δηλώσουμε πώς θα συμπεριφέρεται η συνάρτηση αποτίμησης. Αν της πούμε ότι ο Στέφανος είναι γυναίκα, θα μας επιστρέψει e(q) = 1.

Τιμή αλήθειας των λογικών συνδέσμων

Για να μπορέσουμε να καθορίσουμε την τιμή αλήθειας ενός τύπου, πρέπει να ξέρουμε πώς υπολογίζεται η τιμή αλήθειας των λογικών συνδέσμων. Δηλαδή, αν γνωρίζουμε τις αποτιμήσεις e(p) και e(q), ποια θα είναι η τιμή αλήθειας των τύπων p ∧ q, p ⇒ q κ.λπ.

Κάθε λογικός σύνδεσμος συμπεριφέρεται διαφορετικά και χρησιμοποιείται για διαφορετικό σκοπό, γι' αυτό θα εξετάσουμε τον καθένα ξεχωριστά.

Τιμή αλήθειας της σύζευξης

Η σύζευξη συμβολίζεται p ∧ q και διαβάζεται «p και ταυτόχρονα q». Για παράδειγμα, ας πάρουμε τον τύπο «Η Ελλάδα βρίσκεται στη νοτιοανατολική Ευρώπη και ταυτόχρονα η πρωτεύουσά της είναι η Αθήνα». Πότε θα είναι αληθής ολόκληρη αυτή η πρόταση;

Μας βοηθά ήδη ο ίδιος ο σύνδεσμος «και ταυτόχρονα». Μας λέει ρητά ότι θέλει να είναι αληθείς και οι δύο προτάσεις, αριστερά και δεξιά. Αν λοιπόν και οι δύο προτάσεις p και q είναι αληθείς, δηλαδή e(p) = 1 και e(q) = 1, τότε είναι αληθής και ολόκληρη η σύζευξη. Στην αντίθετη περίπτωση, όταν είτε η μία από τις προτάσεις είναι ψευδής είτε είναι και οι δύο ψευδείς, ολόκληρος ο τύπος είναι ψευδής.

Παράδειγμα σύζευξης που δεν είναι αληθής: «Ο Πηνειός είναι ποτάμι και ταυτόχρονα ο Πηνειός ρέει μέσα από τη Ρωσία». Είναι αλήθεια ότι ο Πηνειός είναι ποτάμι, αλλά δεν είναι αλήθεια ότι ρέει στη Ρωσία, οπότε ολόκληρη η σύζευξη δεν είναι αληθής.

Ο παρακάτω πίνακας τα δείχνει συνοπτικά:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Στις δύο πρώτες στήλες βρίσκονται οι τιμές αλήθειας των προτάσεων p και q και στην τρίτη η τιμή αλήθειας του τύπου p ∧ q.

Τιμή αλήθειας της διάζευξης

Η διάζευξη συμβολίζεται p ∨ q και διαβάζεται «p ή q». Παράδειγμα: «Η Ρωσία βρίσκεται στην Ευρώπη ή στην Ασία.» Πότε θα είναι αληθής ολόκληρη η πρόταση;

Στη διάζευξη μας αρκεί να είναι αληθής τουλάχιστον η μία από τις δυνατότητες. Ο σύνδεσμος «ή» μας δίνει επιλογή, αρκεί να είναι αληθές το αριστερό ή το δεξί μέρος. Η μόνη μικρή διαφορά σε σχέση με την καθημερινή ομιλία είναι ότι το λογικό «ή» είναι αληθές και όταν ισχύουν και οι δύο προτάσεις ταυτόχρονα. Αυτό δεν είναι και τόσο συνηθισμένο, συχνά στην καθημερινή ομιλία χρησιμοποιούμε το «ή» με αποκλειστική σημασία, δηλαδή «ή … ή …»

Για αυτό υπάρχει ένα κλασικό ανέκδοτο: μια οικογένεια διαλέγει σε μια αντιπροσωπεία καινούργιο αυτοκίνητο. Ο πατέρας λέει στον πωλητή: «αποφασίσαμε να πάρουμε μπλε ή κόκκινο αυτοκίνητο». Ο πωλητής τους πούλησε και τα δύο αυτοκίνητα. Αυτό δείχνει τη διαφορά ανάμεσα στο λογικό και στο καθομιλουμένο «ή»: ο πατέρας εννοούσε μάλλον ότι θα διαλέξουν ακριβώς ένα από αυτά τα αυτοκίνητα, ενώ ο πωλητής θεώρησε ότι ισχύει και η δυνατότητα να τους πουλήσει και τα δύο.

Η προηγούμενη πρόταση με τη Ρωσία είναι αληθής, επειδή είναι αληθείς και οι δύο προτάσεις. Η πρόταση «ο αριθμός 7 διαιρείται με το 3 ή ο αριθμός 7 είναι πρώτος» είναι αληθής, επειδή το επτά είναι πρώτος αριθμός. Μπορεί να μη διαιρείται με το τρία, αλλά αυτό πια δεν μας πειράζει. Πίνακας τιμών αλήθειας:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Τιμή αλήθειας της συνεπαγωγής

Η συνεπαγωγή συμβολίζεται p ⇒ q και διαβάζεται «αν p, τότε q». Παράδειγμα συνεπαγωγής είναι η πρόταση «αν πιούμε πολλή βότκα, τότε θα κάνουμε εμετό». Πότε θα είναι αληθής η πρόταση;

Η λογική συνεπαγωγή είναι ο πιο ύπουλος από όλους τους συνδέσμους και ακόμη και στην καθημερινή ομιλία συχνά δεν γίνεται κατανοητή και συγχέεται με την ισοδυναμία. Ας προσπαθήσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα αν ισχύει ταυτόχρονα και η αντίστροφη συνεπαγωγή: q ⇒ p.

Ξέρουμε ότι όταν πιούμε πολλή βότκα, θα κάνουμε εμετό. Ισχύει ταυτόχρονα ότι όταν κάνουμε εμετό, έχουμε πιει πολλή βότκα; Αυτό σίγουρα δεν ισχύει, μπορεί να πίναμε εντελώς άλλο αλκοολούχο ποτό και παρ' όλα αυτά να νιώθαμε άσχημα, ή να νιώθουμε άσχημα από κάτι εντελώς διαφορετικό. Η αντίστροφη συνεπαγωγή λοιπόν δεν χρειάζεται αυτομάτως να ισχύει. Αν ισχύει η p ⇒ q και ταυτόχρονα ισχύει η q ⇒ p, πρόκειται για ισοδυναμία, βλέπε παρακάτω.

Άλλο παράδειγμα: «αν αύριο βρέξει, τότε ο Γιάννης θα πάρει μαζί του ομπρέλα». Και τώρα σου λέω ότι ο Γιάννης πήρε μαζί του ομπρέλα. Το ερώτημα είναι: έβρεξε εκείνη τη μέρα; Πολλοί άνθρωποι τείνουν να πουν ότι φυσικά ναι, αφού ο Γιάννης πήρε ομπρέλα όταν επρόκειτο να βρέξει. Όμως η αρχική πρόταση δεν είναι διατυπωμένη έτσι!

Στην πραγματικότητα ο Γιάννης μπορεί να πήρε την ομπρέλα για κάποιον άλλον λόγο, για τον οποίο δεν έχουμε ιδέα. Ίσως ο Γιάννης παίρνει πάντα μαζί του ομπρέλα όταν πηγαίνει να επισκεφτεί την πεθερά του, για να της βγάλει το μάτι. Ή αποφάσισε να αγοράσει καινούργια ομπρέλα και θέλει να πετάξει την παλιά. Όλοι αυτοί είναι θεμιτοί λόγοι για τους οποίους ο Γιάννης μπορεί να πήρε ομπρέλα, χωρίς απαραίτητα να βρέχει.

Τώρα πια μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα πότε η συνεπαγωγή είναι αληθής. Όταν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς, η συνεπαγωγή είναι σίγουρα αληθής: «αν το 42 είναι φυσικός αριθμός, τότε είναι θετικός». Και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς, άρα ολόκληρη η συνεπαγωγή είναι αληθής. Άλλο παράδειγμα είναι η συνεπαγωγή «αν το 42 είναι φυσικός αριθμός, τότε είναι αρνητικός». Αυτή η συνεπαγωγή δεν είναι αληθής, επειδή από κάτι αληθές προσπαθούμε να συμπεράνουμε κάτι που δεν είναι αλήθεια.

Τέλος μένουν οι περιπτώσεις όπου η πρώτη πρόταση είναι ψευδής. Σε αυτή την περίπτωση δεν μας ενδιαφέρει πια η τιμή αλήθειας της δεύτερης πρότασης. Αν ξεκινάμε από κάτι ψευδές, μπορούμε στη συνέχεια να λέμε ό,τι θέλουμε. Είναι προτάσεις του τύπου «αν το 1 είναι αρνητικός αριθμός, τότε είμαι ο κινέζος θεός του γέλιου» ή «αν οι Αργοναύτες είναι γνωστή κατασκευαστική εταιρεία, τότε ο ήλιος είναι μπλε». Σε τέτοιες περιπτώσεις η συνεπαγωγή είναι αυτομάτως αληθής, ακριβώς επειδή ξεκινά από κάτι ψευδές. Πίνακας:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Τιμή αλήθειας της ισοδυναμίας

Η ισοδυναμία γράφεται p ⇔ q και διαβάζεται «p αν και μόνο αν q». Παράδειγμα ισοδυναμίας είναι το «ο αριθμός x διαιρείται με το δύο αν και μόνο αν είναι άρτιος». Πότε θα είναι αληθής ολόκληρη η πρόταση;

Στην ισοδυναμία περιμένουμε οι δύο προτάσεις να βρίσκονται σε τέτοια συμβίωση, ώστε ή να ισχύουν και οι δύο ή να μην ισχύει καμία. Δηλαδή ή ο αριθμός x είναι άρτιος και ταυτόχρονα διαιρείται με το δύο, ή δεν ισχύει ούτε το ένα ούτε το άλλο. Δεν μπορεί να συμβεί να είναι το x άρτιο, αλλά να μη διαιρείται με το δύο.

Παράδειγμα: «Ο Γιώργος διαβάζει βιβλίο αν και μόνο αν κάθεται στην τουαλέτα.» Για να ισχύει η ισοδυναμία, κάθε φορά που ο Γιώργος κάθεται στην τουαλέτα, πρέπει να διαβάζει βιβλίο. Και ταυτόχρονα κάθε φορά που διαβάζει βιβλίο, πρέπει να κάθεται στην τουαλέτα. Δεν μπορεί να συμβεί να διαβάζει βιβλίο, ας πούμε, στο κρεβάτι.

Την ισοδυναμία μπορούμε να την εκφράσουμε με δύο συνεπαγωγές. Έτσι η p ⇔ q θα μπορούσε να ξαναγραφτεί ως p ⇒ q και ταυτόχρονα q ⇒ p. Πίνακας:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Άρνηση

Η άρνηση είναι μονομελής πράξη, τη γράφουμε είτε με τόνο p' είτε με αυτό το σύμβολο: ¬p. Η άρνηση αναιρεί την αρχική πρόταση. Αν έχουμε την πρόταση «Η Ηλέκτρα είναι τραγουδίστρια», τότε με την άρνηση παίρνουμε την πρόταση «Δεν είναι αλήθεια ότι η Ηλέκτρα είναι τραγουδίστρια» ή συντομότερα «Η Ηλέκτρα δεν είναι τραγουδίστρια». Πρακτικά πάντα μπορούμε να σχηματίσουμε την άρνηση βάζοντας μπροστά από την πρόταση το «Δεν είναι αλήθεια ότι…»

Η άρνηση αντιστρέφει την τιμή αλήθειας, δηλαδή από το 0 κάνει 1 και από το 1 κάνει 0. Μπορούμε έτσι να γράψουμε ¬0 = 1 και ¬1 = 0.

Πρόσεχε μερικά ύπουλα σημεία. Έστω ο ισχυρισμός «ο ασβέστης είναι λευκός». Ποια είναι η άρνησή του; Κάποιος θα μπορούσε να σκεφτεί ότι «ο ασβέστης είναι μαύρος», αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια! Αν χρησιμοποιήσουμε τον προηγούμενο κανόνα, η άρνηση θα είναι η πρόταση «δεν είναι αλήθεια ότι ο ασβέστης είναι λευκός». Σημαίνει αυτό αναγκαστικά ότι πρέπει να είναι μαύρος; Όχι, μπορεί να είναι, για παράδειγμα, ροζ.

Πίνακας όλων των συνδέσμων

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Τιμή αλήθειας ολόκληρου του τύπου

Τώρα πια ξέρουμε να υπολογίζουμε την τιμή αλήθειας δύο προτάσεων που συνδέονται με έναν λογικό σύνδεσμο. Ολόκληρο τον τύπο τον υπολογίζουμε εντελώς ανάλογα. Αν έχουμε τον τύπο (p ⇒ q) ∧ r, τότε μόλις υπολογίσουμε τον τύπο (p ⇒ q), ας πούμε ως 1, παίρνουμε μια κλασική σύζευξη 1 ∧ r, την οποία ήδη ξέρουμε να λύνουμε.

Εφαρμόζοντας διαδοχικά τους απλούστερους λογικούς συνδέσμους, φτάνουμε στην τελική τιμή αλήθειας ολόκληρου του τύπου. Συχνά χρησιμοποιείται γι' αυτό ο λεγόμενος πίνακας αλήθειας, που περιγράφεται παρακάτω.

Πίνακας αλήθειας

Ο πίνακας αλήθειας χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό πιο σύνθετων τύπων. Στις πρώτες n στήλες γράφουμε τις n προτασιακές μεταβλητές με τις οποίες δουλεύει ο τύπος και στις επόμενες στήλες τοποθετούμε διαδοχικά τους επιμέρους τύπους που περιέχει ο τύπος. Σε ένα παράδειγμα θα γίνει πιο ξεκάθαρο:

Έστω ο τύπος (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Στην αρχή γράφουμε στον πίνακα όλες τις προτασιακές μεταβλητές, δηλαδή τις p και q, και όλους τους συνδυασμούς των αποτιμήσεών τους:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Στη συνέχεια προσθέτουμε στήλες για τους επιμέρους τύπους p ∨ q και q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Τώρα υπολογίζουμε αυτούς τους τύπους και συμπληρώνουμε στις στήλες μηδενικά ή μονάδες. Στον πίνακα έχουμε όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Προχωράμε ως εξής: όταν υπολογίζουμε το p ∨ q στην πρώτη γραμμή, αντικαθιστούμε το p με 1 και το q επίσης με 1. Έτσι παίρνουμε την παράσταση 1 ∨ 1. Ο υπολογισμός αυτής της παράστασης δίνει πάλι 1, οπότε στον πίνακα γράφουμε μονάδα:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Με τον ίδιο τρόπο συμπληρώνουμε σταδιακά ολόκληρο τον πίνακα:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Τώρα μένει να υπολογίσουμε ολόκληρο τον τύπο. Ας τον ονομάσουμε, για παράδειγμα, φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Προσθέτουμε στον πίνακα μια στήλη με το φ και τη συμπληρώνουμε, χρησιμοποιώντας πια τις δύο προηγούμενες στήλες.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

Ο πίνακας είναι πλέον πλήρης και μας δίνει την τιμή αλήθειας του τύπου σε όλες τις δυνατές αποτιμήσεις. Για παράδειγμα, αν e(p) = 1 και ταυτόχρονα e(q) = 1, τότε ο τύπος είναι αληθής. Στην περίπτωση που e(p) = 0 και e(q) = 1, ο τύπος δεν είναι αληθής.

Πρόσεξε ότι δεν μπορούμε να πούμε «ο τύπος είναι αληθής». Αυτή η πρόταση δεν έχει νόημα, επειδή για να πούμε ότι ο τύπος είναι αληθής, θα έπρεπε να πούμε σε ποια αποτίμηση είναι αληθής ο τύπος. Μπορούμε έτσι να πούμε ότι «ο τύπος φ είναι αληθής στην αποτίμηση e₁ και δεν είναι αληθής στην αποτίμηση e₂».

Η μόνη περίπτωση στην οποία θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο τύπος είναι αληθής, είναι όταν είναι αληθής σε όλες τις δυνατές αποτιμήσεις. Για παράδειγμα, ο τύπος p ∨ ¬p είναι αληθής σε όλες τις αποτιμήσεις, οπότε μπορούμε να πούμε ότι ο τύπος είναι αληθής. Ανάλογα και για την περίπτωση που ένας τύπος είναι ψευδής σε όλες τις αποτιμήσεις.

Τέτοιοι τύποι έχουν ειδική ονομασία. Ένας τύπος που είναι αληθής σε όλες τις αποτιμήσεις ονομάζεται ταυτολογία. Ένας τύπος που δεν ικανοποιείται σε καμία αποτίμηση ονομάζεται αντίφαση.