Kaavojen totuusarvo

Kun meillä on joitakin atomilauseita, jotka olemme koonneet kaavaksi, voimme yrittää päättää, onko koko kaava tosi vai epätosi.

Väitteen totuusarvo

Tarkennetaan ensin, mikä väitteen totuusarvo on. Jos meillä on väite p, meidän pitäisi pystyä päättämään, onko se tosi vai epätosi. Toden väitteen totuusarvo on 1 ja epätoden 0.

Totuusarvojen asettaminen eli valuaatio on sääntö e, joka liittää annettuun väitteeseen joko luvun 0 tai 1. Kun kirjoitamme e(p), haluamme selvittää väitteen p totuusarvon. Jos p on väite ”kaksi kertaa kaksi on neljä”, niin e(p) = 1, koska väite on tosi. Jos q on väite ”Pekka on tyttö”, niin e(q) = 0, koska Pekka ei ole tyttö. e on siis funktio, joka palauttaa, onko väite tosi.

Tässä on tärkeää ymmärtää, ettei e ole mikään taikafunktio, joka tietää kaiken maailmassa. Se toimii niin kuin sen käsketään. Se ei tiedä, onko Pekka poika vai tyttö. Laskun alussa meidän pitäisi ilmoittaa, miten valuaation tulee toimia. Jos kerromme sille, että Pekka on tyttö, se palauttaa meille e(q) = 1.

Konnektiivien totuusarvo

Jotta voimme määrittää kaavan totuusarvon, meidän täytyy tietää, miten konnektiivien totuusarvo lasketaan. Jos siis tunnemme arvot e(p) ja e(q), mikä on kaavojen p ∧ q, p ⇒ q ja muiden totuusarvo?

Jokainen konnektiivi toimii eri tavalla ja sitä käytetään eri tarkoitukseen, joten käydään jokainen läpi erikseen.

Konjunktion totuusarvo

Konjunktiota merkitään p ∧ q ja luetaan ”p ja samalla q”. Otetaan esimerkiksi kaava ”Suomi sijaitsee Pohjois-Euroopassa ja samalla sen pääkaupunki on Helsinki”. Milloin koko lause on tosi?

Totuusarvon määrittämisessä auttaa jo itse konnektiivi ”ja samalla”. Se vaatii nimenomaan, että molemmat väitteet, sekä vasen että oikea, ovat tosia. Jos siis molemmat väitteet p ja q ovat tosia, eli e(p) = 1 ja e(q) = 1, myös koko konjunktio on tosi. Muussa tapauksessa, kun jompikumpi väitteistä on epätosi tai molemmat ovat epätosia, koko kaava on epätosi.

Esimerkki konjunktiosta, joka ei ole tosi: ”Kemijoki on joki ja samalla Kemijoki virtaa Norjan halki”. On totta, että Kemijoki on joki, mutta ei ole totta, että se virtaa Norjassa, joten koko konjunktio ei ole tosi.

Selkeästi tämän esittää seuraava taulukko:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Kahdessa ensimmäisessä sarakkeessa ovat väitteiden p ja q totuusarvot ja kolmannessa kaavan p ∧ q totuusarvo.

Disjunktion totuusarvo

Disjunktiota merkitään p ∨ q ja luetaan ”p tai q”. Esimerkki: ”Venäjä sijaitsee Euroopassa tai Aasiassa.” Milloin koko lause on tosi?

Disjunktiossa riittää, että ainakin yksi vaihtoehdoista on tosi. Konnektiivi ”tai” antaa valinnanvaraa, ja riittää, että sen vasen tai oikea osa on tosi. Ainoa pieni ero arkikieleen on, että looginen tai on tosi myös silloin, kun molemmat väitteet ovat tosia yhtä aikaa. Arkikielessä ”tai” tarkoittaa usein joko-tai-valintaa, eli ”joko … tai …”.

Tästä on klassinen vitsi: perhe valitsee käytettyjen autojen liikkeessä uutta autoa. Isä sanoo myyjälle: ”olemme päättäneet ostaa sinisen tai punaisen auton”. Myyjä myi heille molemmat autot. Tämä havainnollistaa loogisen ja puhekielen ”tai”-sanan eroa: isä tarkoitti luultavasti, että he valitsevat näistä autoista täsmälleen yhden, mutta myyjä piti mahdollisena myydä heille molemmat.

Edellinen lause Venäjästä on tosi, koska molemmat väitteet ovat tosia. Lause ”luku 7 on jaollinen luvulla 3 tai luku 7 on alkuluku” on tosi, koska seitsemän on alkuluku. Se ei kyllä ole jaollinen kolmella, mutta se ei haittaa. Totuusarvotaulukko:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Implikaation totuusarvo

Implikaatiota merkitään p ⇒ q ja luetaan ”jos p, niin q”. Esimerkki implikaatiosta on lause ”jos juomme paljon viinaa, niin oksennamme”. Milloin lause on tosi?

Looginen implikaatio on petollisin kaikista konnektiiveista, ja arkikielessäkin se ymmärretään usein väärin ja sekoitetaan ekvivalenssiin. Kokeillaan vastata kysymykseen, päteekö samalla myös käänteinen implikaatio: q ⇒ p.

Tiedämme, että jos juomme paljon viinaa, niin oksennamme. Päteekö myös, että jos oksennamme, niin olemme juoneet paljon viinaa? Ei varmasti päde: olisimme voineet juoda aivan jotain muuta alkoholia ja voida silti pahoin, tai pahoinvointi voi johtua aivan muusta. Käänteisen implikaation ei siis tarvitse päteä automaattisesti. Jos pätee p ⇒ q ja samalla pätee q ⇒ p, kyseessä on ekvivalenssi, ks. alla.

Toinen esimerkki: ”jos huomenna sataa, niin Leevi ottaa sateenvarjon mukaan”. Sanon nyt, että Leevi otti sateenvarjon mukaan. Kysymys kuuluu: satoiko sinä päivänä? Monella on taipumus sanoa, että tietysti satoi, koska Leevihän otti sateenvarjon mukaansa, kun sateen piti tulla. Alkuperäinen lause ei kuitenkaan ole tuollainen!

Leevi on voinut ottaa sateenvarjon mukaan jonkin muun syyn takia, josta meillä ei ole aavistustakaan. Ehkä Leevi ottaa sateenvarjon aina mukaansa, kun menee vierailemaan anopin luona, jotta voisi tökätä tätä silmään. Tai hän on päättänyt ostaa uuden sateenvarjon ja haluaa heittää vanhan pois. Nämä ovat kaikki sallittuja syitä sille, miksi Leevi saattoi ottaa sateenvarjon mukaan, vaikka ei olisi satanut.

Nyt voimme vastata kysymykseen, milloin implikaatio on tosi. Kun molemmat väitteet ovat tosia, implikaatio on varmasti tosi: ”jos 42 on luonnollinen luku, niin se on positiivinen”. Molemmat väitteet ovat tosia, joten koko implikaatio on tosi. Toinen esimerkki on implikaatio ”jos 42 on luonnollinen luku, niin se on negatiivinen”. Tämä implikaatio ei ole tosi, koska yritämme johtaa totuudesta jotain, mikä ei ole totta.

Lopuksi jäävät tapaukset, joissa ensimmäinen väite on epätosi. Silloin toisen väitteen totuus ei enää kiinnosta meitä. Jos lähdemme epätoden väitteen varaan, voimme jatkaa lätisemistä mitä haluamme. Tällaisia ovat lauseet ”jos 1 on negatiivinen luku, niin minä olen kiinalainen huumorin jumala” tai ”jos Oulu on tunnettu rakennusyhtiö, niin aurinko on sininen”. Tällöin implikaatio on automaattisesti tosi, koska se lähtee epätoden väitteen varaan. Taulukko:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Ekvivalenssin totuusarvo

Ekvivalenssi kirjoitetaan p ⇔ q ja luetaan ”p jos ja vain jos q”. Esimerkki ekvivalenssista on ”luku x on jaollinen kahdella jos ja vain jos se on parillinen”. Milloin koko lause on tosi?

Ekvivalenssissa odotamme, että väitteet ovat niin tiiviissä yhteydessä, että joko molemmat pätevät tai kumpikaan ei päde. Joko luku x on parillinen ja samalla jaollinen kahdella, tai se ei ole kumpaakaan. Ei voi käydä niin, että x olisi parillinen mutta ei jaollinen kahdella.

Esimerkki: ”Eino lukee kirjaa jos ja vain jos hän istuu vessassa.” Jotta ekvivalenssi toteutuu, Einon täytyy aina lukea kirjaa, kun hän istuu vessassa. Ja samalla hänen täytyy aina istua vessassa, kun hän lukee kirjaa. Ei voi käydä niin, että hän lukee kirjaa vaikkapa sängyssä.

Ekvivalenssin voi ilmaista kahden implikaation avulla. Kaavan p ⇔ q voisi siis kirjoittaa muotoon p ⇒ q ja samalla q ⇒ p. Taulukko:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Negaatio

Negaatio on unaarinen operaatio, ja sitä merkitään symbolilla ¬p (joskus myös pilkulla p'). Negaatio kieltää alkuperäisen väitteen. Jos meillä on väite ”Aino on laulaja”, negaationa saamme väitteen ”Ei ole totta, että Aino on laulaja” tai lyhyesti ”Aino ei ole laulaja”. Käytännössä negaation voi aina muodostaa panemalla väitteen eteen ”Ei ole totta, että…”.

Negaatio kääntää totuusarvon: 0:sta tulee 1 ja 1:stä 0. Voimme siis kirjoittaa ¬0 = 1 ja ¬1 = 0.

Varo joitakin petollisia asioita. Otetaan väite ”kalkki on valkoista”. Mikä on sen negaatio? Joku voisi ajatella, että ”kalkki on mustaa”, mutta se ei ole oikein! Kun käytämme edellistä sääntöä, negaatio on väite ”ei ole totta, että kalkki on valkoista”. Tarkoittaako se välttämättä, että sen täytyy olla mustaa? Ei tarkoita, se voi olla vaikkapa vaaleanpunaista.

Taulukko kaikista konnektiiveista

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Koko kaavan totuusarvo

Nyt osaamme arvioida kahden väitteen totuusarvon, kun ne on yhdistetty konnektiivilla. Koko kaavan arvioimme aivan vastaavasti. Jos meillä on kaava (p ⇒ q) ∧ r, niin kun kaava (p ⇒ q) on arvioitu vaikkapa arvoon 1, saamme tavallisen konjunktion 1 ∧ r, jonka osaamme jo ratkaista.

Soveltamalla yksinkertaisimpia konnektiiveja vaihe vaiheelta pääsemme koko kaavan lopulliseen totuusarvoon. Tähän käytetään usein ns. totuustaulua, jota kuvataan alempana.

Totuustaulu

Totuustaulua käytetään monimutkaisempien kaavojen arvioimiseen. Kirjoitamme ensimmäiseen n sarakkeeseen n propositiosymbolia, joita kaava käyttää, ja seuraaviin sarakkeisiin sijoitamme vähitellen kaavan sisältämät osakaavat. Esimerkistä asia selviää paremmin:

Olkoon kaava (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Aluksi kirjoitamme taulukkoon kaikki propositiosymbolit eli p ja q sekä kaikki niiden totuusarvojen kombinaatiot:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Seuraavaksi lisäämme sarakkeet osakaavoille p ∨ q ja q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Nyt arvioimme nämä kaavat ja täytämme sarakkeisiin nollia tai ykkösiä. Taulukossa on kaikki tarvittava tieto. Etenemme niin, että kun arvioimme kaavan p ∨ q ensimmäisellä rivillä, sijoitamme p:n tilalle 1 ja q:n tilalle myös 1. Saamme lausekkeen 1 ∨ 1. Sen arvo on jälleen 1, joten kirjoitamme taulukkoon ykkösen:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Näin täytämme koko taulukon vähitellen:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Nyt jää arvioitavaksi koko kaava. Nimetään se vaikkapa φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Lisäämme taulukkoon sarakkeen kaavalle φ ja arvioimme sen käyttäen apuna kahta edellistä saraketta.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

Taulukko on nyt valmis, ja se kertoo kaavan totuusarvon kaikilla mahdollisilla totuusarvojen asetuksilla. Jos esimerkiksi e(p) = 1 ja samalla e(q) = 1, kaava on tosi. Jos taas e(p) = 0 ja e(q) = 1, kaava ei ole tosi.

Huomaa, ettemme voi sanoa, että ”kaava on tosi”. Tämä lause ei ole mielekäs, sillä jotta voisimme sanoa kaavan olevan tosi, meidän pitäisi sanoa, millä totuusarvojen asetuksella kaava on tosi. Voimme siis sanoa, että ”kaava φ on tosi asetuksella e₁ eikä ole tosi asetuksella e₂”.

Ainoa tapaus, jossa voisimme sanoa kaavan olevan tosi, on se, että kaava on tosi kaikilla mahdollisilla totuusarvojen asetuksilla. Esimerkiksi kaava p ∨ ¬p on tosi kaikilla asetuksilla, joten voimme sanoa, että kaava on tosi. Samoin toisin päin, kun kaava on epätosi kaikilla asetuksilla.

Tällaisilla kaavoilla on omat erityiset nimensä. Kaavaa, joka on tosi kaikilla asetuksilla, kutsutaan tautologiaksi. Kaavaa, joka ei toteudu millään asetuksella, kutsutaan kontradiktioksi.