Valoarea de adevăr a formulelor

Dacă avem câteva propoziții simple pe care le-am combinat într-o formulă, putem încerca să decidem dacă întreaga formulă este adevărată sau falsă.

Valoarea de adevăr a unei propoziții

Mai întâi precizăm ce este valoarea de adevăr a unei propoziții. Dacă avem o propoziție p, ar trebui să putem decide dacă este adevărată sau falsă. O propoziție adevărată are valoarea de adevăr 1, iar una falsă are valoarea 0.

Evaluarea este apoi o regulă e care atribuie unei propoziții fie 0, fie 1. Dacă scriem e(p), vrem să aflăm valoarea de adevăr a propoziției p. Dacă p este propoziția „de două ori doi fac patru”, atunci e(p) = 1, pentru că este o propoziție adevărată. Dacă q este propoziția „domnul Popescu este femeie”, atunci e(q) = 0, pentru că Popescu nu este femeie. e este, deci, o funcție care ne spune dacă o propoziție este adevărată.

Aici trebuie să ne dăm seama că e nu este o funcție magică, care știe tot ce există pe lume. Ea se comportă așa cum îi spunem noi. Ea nu știe dacă domnul Popescu este bărbat sau femeie. La începutul calculului ar trebui să stabilim cum se comportă funcția de evaluare. Dacă îi spunem că domnul Popescu este femeie, ne va returna e(q) = 1.

Valoarea de adevăr a conectorilor logici

Pentru a putea stabili valoarea de adevăr a unei formule, trebuie să știm cum se evaluează conectorii logici. Adică, dacă cunoaștem evaluările e(p) și e(q), care va fi valoarea de adevăr a formulelor p ∧ q, p ⇒ q etc.

Fiecare conector logic se comportă diferit și se folosește în alt scop, așa că îi vom analiza pe rând.

Valoarea de adevăr a conjuncției

Conjuncția se notează p ∧ q și se citește „p și, în același timp, q”. Ca exemplu, să luăm formula „România se află în Europa și, în același timp, capitala ei este București”. Când este adevărat întregul enunț?

Ne ajută chiar conectorul „și, în același timp”. El spune explicit că vrea ca ambele propoziții, din stânga și din dreapta, să fie adevărate. Dacă ambele propoziții p și q sunt adevărate, adică e(p) = 1 și e(q) = 1, atunci și conjuncția este adevărată. În caz contrar, când una dintre propoziții este falsă sau sunt false amândouă, întreaga formulă este falsă.

Un exemplu de conjuncție care nu este adevărată: „Mureșul este un râu și, în același timp, Mureșul curge prin Franța”. Este adevărat că Mureșul este un râu, dar nu este adevărat că curge prin Franța, așa că întreaga conjuncție nu este adevărată.

Tabelul următor arată totul pe scurt:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

În primele două coloane sunt valorile de adevăr ale propozițiilor p și q, iar în a treia este valoarea de adevăr a formulei p ∧ q.

Valoarea de adevăr a disjuncției

Disjuncția se notează p ∨ q și se citește „p sau q”. Exemplu: „Turcia se află în Europa sau în Asia.” Când este adevărat întregul enunț?

La disjuncție ne ajunge ca cel puțin una dintre variante să fie adevărată. Conectorul „sau” ne dă de ales, este suficient ca partea din stânga sau cea din dreapta să fie adevărată. Singura mică deosebire față de vorbirea obișnuită este că „sau” logic este adevărat și atunci când sunt îndeplinite ambele propoziții în același timp. În vorbirea curentă nu e chiar așa, adesea folosim „sau” cu sens exclusiv, adică „fie …, fie …”.

Există o glumă clasică pe această temă: o familie alege o mașină nouă la un dealer. Tatăl îi spune vânzătorului: „Ne-am hotărât să luăm o mașină albastră sau una roșie”. Vânzătorul le-a vândut ambele mașini. Aceasta ilustrează diferența dintre „sau” logic și „sau” din vorbire: tatăl s-a gândit probabil că vor alege exact una dintre mașini, în timp ce vânzătorul a considerat că este permisă și varianta în care le vinde pe amândouă.

Propoziția cu Turcia este adevărată, pentru că ambele propoziții sunt adevărate. Propoziția „numărul 7 este divizibil cu 3 sau numărul 7 este prim” este adevărată, pentru că șapte este număr prim. Este adevărat că nu se împarte exact la trei, dar asta nu mai contează. Tabelul valorilor de adevăr:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Valoarea de adevăr a implicației

Implicația se notează p ⇒ q și se citește „dacă p, atunci q”. Un exemplu de implicație este enunțul „dacă mâncăm foarte multe dulciuri, atunci ne va durea burta”. Când este adevărat enunțul?

Implicația logică este cel mai înșelător dintre conectori și, chiar și în vorbirea obișnuită, este adesea înțeleasă greșit și confundată cu echivalența. Să încercăm să răspundem la întrebarea dacă este adevărată în același timp și implicația reciprocă: q ⇒ p.

Știm că, dacă mâncăm foarte multe dulciuri, atunci ne va durea burta. Este adevărat în același timp că, dacă ne doare burta, atunci am mâncat foarte multe dulciuri? Cu siguranță nu, puteam mânca altceva decât dulciuri și tot să ne doară burta, sau ne poate durea din cu totul alt motiv. Implicația reciprocă nu trebuie, deci, să fie automat adevărată. Dacă p ⇒ q este adevărată și, în același timp, este adevărată și q ⇒ p, este vorba de o echivalență, vezi mai departe.

Alt exemplu: „dacă mâine va ploua, atunci Ion va lua umbrela cu el”. Și acum îți spun că Ion a luat umbrela cu el. Întrebarea este – a plouat în ziua respectivă? Mulți oameni au tendința să spună că da, desigur, doar Ion a luat umbrela când urma să plouă. Dar enunțul inițial nu este construit așa!

De fapt, Ion ar fi putut lua umbrela din cu totul alt motiv, despre care nu avem habar. De exemplu, Ion ia mereu umbrela cu el când merge în vizită la bunica, ca să i-o ducă. Sau a hotărât să își cumpere o umbrelă nouă și vrea să arunce pe cea veche. Toate acestea sunt motive legitime pentru care Ion ar fi putut lua umbrela, deși nu trebuia neapărat să plouă.

Acum putem răspunde la întrebarea când este adevărată implicația. Când ambele propoziții sunt adevărate, implicația este cu siguranță adevărată: „dacă 42 este număr natural, atunci este pozitiv”. Ambele propoziții sunt adevărate, deci întreaga implicație este adevărată. Alt exemplu este implicația „dacă 42 este număr natural, atunci este negativ”. Această implicație nu este adevărată, pentru că încercăm să deducem din adevăr ceva ce nu este adevărat.

În final rămân cazurile în care prima propoziție este falsă. În acest caz nu ne mai interesează valoarea de adevăr a celei de-a doua. Dacă pornim de la fals, putem spune în continuare orice. Sunt enunțuri de tipul „dacă 1 este număr negativ, atunci porcii zboară” sau „dacă Beatles sunt o firmă cunoscută de construcții, atunci soarele este albastru”. În astfel de cazuri implicația este automat adevărată, pentru că pur și simplu pornește de la fals. Tabelul:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Valoarea de adevăr a echivalenței

Echivalența se scrie p ⇔ q și se citește „p dacă și numai dacă q”. Un exemplu de echivalență este „numărul x este divizibil cu doi dacă și numai dacă este par”. Când este adevărat întregul enunț?

La echivalență ne așteptăm ca cele două propoziții să fie într-o asemenea simbioză încât fie sunt adevărate amândouă, fie nu este adevărată niciuna. Deci fie numărul x este par și, în același timp, divizibil cu doi, fie nu este niciuna dintre cele două. Nu se poate ca x să fie par, dar să nu fie divizibil cu doi.

Exemplu: „Mihai citește o carte dacă și numai dacă stă în fotoliu.” Pentru ca echivalența să fie îndeplinită, de fiecare dată când Mihai stă în fotoliu trebuie să citească o carte. Și, în același timp, de fiecare dată când citește o carte, trebuie să stea în fotoliu. Nu se poate întâmpla să citească o carte, de exemplu, în pat.

Echivalența o putem exprima cu ajutorul a două implicații. Deci p ⇔ q am putea să o rescriem ca p ⇒ q și, în același timp, q ⇒ p. Tabelul:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Negația

Negația este o operație unară, o scriem fie cu apostrof p', fie cu acest simbol: ¬p. Negația neagă enunțul inițial. Dacă avem propoziția „Elena Dobre este cântăreață”, atunci prin negație obținem propoziția „Nu este adevărat că Elena Dobre este cântăreață” sau, mai scurt, „Elena Dobre nu este cântăreață”. Practic întotdeauna putem forma negația punând în fața propoziției „Nu este adevărat că…”.

Negația ne inversează valoarea de adevăr, adică din 0 face 1 și din 1 face 0. Putem scrie astfel ¬0 = 1 și ¬1 = 0.

Atenție la unele lucruri înșelătoare. Să luăm afirmația „varul este alb”. Care este negația? Cuiva i-ar putea veni în minte „varul este negru”, dar nu este adevărat! Dacă aplicăm regula de mai sus, negația va fi propoziția „nu este adevărat că varul este alb”. Înseamnă asta neapărat că trebuie să fie negru? Nu înseamnă, poate fi, de exemplu, roz.

Tabelul tuturor conectorilor

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Valoarea de adevăr a întregii formule

Acum știm deja să evaluăm două propoziții legate printr-un conector logic. Întreaga formulă o evaluăm în mod complet analog. Dacă avem formula (p ⇒ q) ∧ r, în momentul în care evaluăm formula (p ⇒ q), de exemplu, la 1, obținem o conjuncție obișnuită 1 ∧ r, pe care știm deja să o rezolvăm.

Aplicând pe rând cei mai simpli conectori logici, ajungem la valoarea de adevăr finală a întregii formule. Pentru aceasta se folosește adesea așa-numita metodă a tabelului de adevăr, descrisă mai departe.

Metoda tabelului de adevăr

Metoda tabelului de adevăr se folosește la evaluarea formulelor mai complicate. În primele n coloane scriem cele n variabile propoziționale cu care lucrează formula, iar în următoarele coloane punem pe rând subformulele pe care le conține formula. Pe un exemplu va fi mai clar:

Fie formula (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). La început scriem în tabel toate variabilele propoziționale, adică p și q, și toate combinațiile evaluărilor lor:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Apoi adăugăm coloane pentru subformulele p ∨ q și q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Acum evaluăm aceste formule și completăm coloanele cu zerouri sau cu unu. În tabel avem toate informațiile necesare. Procedăm astfel: când evaluăm p ∨ q în primul rând, înlocuim pe p cu 1 și pe q tot cu 1. Obținem expresia 1 ∨ 1. Evaluarea acestei expresii este din nou 1, deci în tabel scriem unu:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

În acest mod completăm treptat întregul tabel:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Acum rămâne să evaluăm întreaga formulă. Să o notăm, de exemplu, φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Adăugăm în tabel o coloană cu φ și o evaluăm, folosind pentru aceasta cele două coloane anterioare.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

Tabelul este acum complet și ne arată valoarea de adevăr a formulei în toate evaluările posibile. De exemplu, dacă e(p) = 1 și, în același timp, e(q) = 1, formula este adevărată. În cazul în care e(p) = 0 și e(q) = 1, formula nu este adevărată.

Observă că nu putem spune pur și simplu că „formula este adevărată”. Acest enunț nu are sens, pentru că, pentru a spune că formula este adevărată, ar trebui să spunem în ce evaluare este adevărată. Putem spune, deci, că „formula φ este adevărată în evaluarea e₁ și nu este adevărată în evaluarea e₂”.

Singurul caz în care am putea spune că o formulă este adevărată este atunci când este adevărată în toate evaluările posibile. De exemplu, formula p ∨ ¬p este adevărată în toate evaluările, deci putem spune că formula este adevărată. Analog pentru cazul în care o formulă este falsă în toate evaluările.

Astfel de formule au denumiri speciale. O formulă care este adevărată în toate evaluările se numește tautologie. O formulă care nu este îndeplinită în nicio evaluare se numește contradicție.