Formlers sandhedsværdi

Hvis vi har nogle atomare udsagn, som vi sætter sammen til en formel, kan vi forsøge at afgøre, om hele formlen er sand eller falsk.

Sandhedsværdien af et udsagn

Først præciserer vi, hvad sandhedsværdien af et udsagn er. Hvis vi har et udsagn p, skal vi kunne afgøre, om det er sandt eller falsk. Et sandt udsagn har sandhedsværdien 1 og et falsk 0.

En værdisætning er så en forskrift e, som til et givet udsagn knytter enten 0 eller 1. Hvis vi skriver e(p), vil vi finde ud af, om udsagnet p er sandt. Hvis p er lig med udsagnet »to gange to er fire«, så er e(p) = 1, fordi det er et sandt udsagn. Hvis q er lig med udsagnet »Lars Hansen er en kvinde«, så er e(q) = 0, fordi Lars ikke er en kvinde. e er således en funktion, som fortæller os, om et udsagn er sandt.

Her er det vigtigt at være opmærksom på, at e ikke er en eller anden magisk funktion, der ved alt i verden. Den opfører sig, som vi siger til den. Den ved ikke, om Lars Hansen er mand eller kvinde. Vi bør i begyndelsen af beregningen erklære, hvordan værdisætningsfunktionen skal opføre sig. Hvis vi fortæller den, at Lars Hansen er en kvinde, så giver den os e(q) = 1.

Sandhedsværdien af logiske konnektiver

For at kunne fastlægge sandhedsværdien af en formel skal vi vide, hvordan vi vurderer sandhedsværdien af logiske konnektiver. Altså hvis vi kender værdisætningen e(p) og e(q), hvad sandhedsværdien så bliver for formlerne p ∧ q, p ⇒ q osv.

Hvert logisk konnektiv opfører sig forskelligt og bruges til noget forskelligt, så vi gennemgår hvert konnektiv for sig.

Sandhedsværdien af en konjunktion

Konjunktion betegnes p ∧ q og læses »p og samtidig q«. Som eksempel tager vi formlen »Danmark ligger i Nordeuropa, og samtidig er dets hovedstad København«. Hvornår er hele denne sætning sand?

Selve konnektivet »og samtidig« hjælper os med at afgøre sandheden. Det siger udtrykkeligt, at begge udsagn til venstre og til højre skal være sande. Hvis begge udsagn p og q er sande, altså e(p) = 1 og e(q) = 1, så er hele konjunktionen også sand. I modsat fald, hvor enten det ene af udsagnene er falsk eller begge er falske, er hele formlen falsk.

Et eksempel på en konjunktion, som ikke er sand, kan være: »Gudenåen er en å, og samtidig løber Gudenåen gennem Norge«. Det er rigtigt, at Gudenåen er en å, men det er ikke rigtigt, at den løber gennem Norge, så hele konjunktionen er ikke sand.

Overskueligt kan det skrives i følgende tabel:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

I de to første kolonner står sandhedsværdierne af udsagnene p og q, og i den tredje står sandhedsværdien af formlen p ∧ q.

Sandhedsværdien af en disjunktion

Disjunktion betegnes p ∨ q og læses »p eller q«. Eksempel: »Rusland ligger i Europa eller i Asien.« Hvornår er hele sætningen sand?

Ved en disjunktion er det nok, at mindst én af mulighederne er sand. Konnektivet »eller« giver os et valg, det er nok, at dets venstre eller højre del er sand. Den eneste lille forskel i forhold til almindeligt talesprog er, at det logiske eller er sandt, også når begge udsagn er opfyldt på samme tid. Det er ikke helt det sædvanlige, i talesprog bruger vi ofte »eller« i udelukkende betydning, altså »enten … eller …«

Der findes en klassisk vittighed om det: En familie vælger en ny bil hos en brugtbilsforhandler. Faren siger til sælgeren: »Vi har besluttet, at vi tager en blå eller en rød bil.« Sælgeren solgte dem begge biler. Det illustrerer forskellen mellem det logiske og det talte eller: Faren mente nok, at de skulle vælge netop én af bilerne, mens sælgeren regnede det for en gyldig mulighed at sælge dem begge.

Den foregående sætning om Rusland er sand, fordi begge udsagn er sande. Sætningen »tallet 7 er deleligt med 3, eller tallet 7 er et primtal« er sand, fordi syv er et primtal. Det er rigtigt, at syv ikke er deleligt med tre, men det gør os ikke noget. Tabel over sandhedsværdier:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Sandhedsværdien af en implikation

Implikation betegnes p ⇒ q og læses »hvis p, så q«. Et eksempel på en implikation kan være sætningen »hvis vi drikker meget vodka, så kaster vi op«. Hvornår er sætningen sand?

Logisk implikation er det mest forræderiske af alle konnektiverne, og selv i dagligdags tale bliver den ofte misforstået og forvekslet med biimplikation. Lad os prøve at besvare spørgsmålet, om den omvendte implikation også gælder: q ⇒ p.

Vi ved, at når vi drikker meget vodka, så kaster vi op. Gælder det også, at når vi kaster op, så har vi drukket meget vodka? Det gælder bestemt ikke, vi kunne have drukket en helt anden slags alkohol og alligevel have det dårligt, eller vi kan have det dårligt af noget helt andet. Den omvendte implikation behøver altså ikke automatisk at gælde. Hvis både p ⇒ q og q ⇒ p gælder, er der tale om en biimplikation, se nedenfor.

Et andet eksempel: »hvis det regner i morgen, så tager Mads en paraply med«. Og nu fortæller jeg dig, at Mads tog en paraply med. Spørgsmålet lyder: Regnede det den dag? Mange har en tendens til at sige, at det selvfølgelig gjorde, for Mads tog jo en paraply med, da det skulle regne. Men sådan er den oprindelige sætning slet ikke bygget op!

Mads kan i virkeligheden have taget paraplyen med på grund af noget andet, som vi ikke aner noget om. Måske tager Mads altid en paraply med, når han skal besøge sin svigermor, så han kan stikke hendes øje ud. Eller også har han besluttet at købe en ny paraply og vil smide den gamle ud. Det er alt sammen lovlige grunde til, at Mads kunne tage en paraply med, selv om det ikke behøvede at regne.

Nu kan vi besvare spørgsmålet, hvornår implikationen er sand. Når begge udsagn er sande, er implikationen helt sikkert sand: »hvis 42 er et naturligt tal, så er det positivt«. Begge udsagn er sande, så hele implikationen er sand. Et andet eksempel kan være implikationen »hvis 42 er et naturligt tal, så er det negativt«. Den implikation er ikke sand, fordi vi forsøger at udlede noget, der ikke er sandt, af noget sandt.

Til sidst er der de tilfælde, hvor det første udsagn er falsk. I så fald interesserer sandheden af det andet udsagn os ikke længere. Hvis vi går ud fra noget falsk, kan vi blive ved med at sludre løs om, hvad vi vil. Det er sætninger som »hvis 1 er et negativt tal, så æder vi vores hatte« eller »hvis Tivoli er et kendt byggefirma, så er solen blå«. I sådanne tilfælde er implikationen automatisk sand, for den går simpelthen ud fra noget falsk. Tabel:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Sandhedsværdien af en biimplikation

Biimplikation skrives p ⇔ q og læses »p hvis og kun hvis q«. Et eksempel på en biimplikation kan være »tallet x er deleligt med to, hvis og kun hvis det er lige«. Hvornår er hele sætningen sand?

Ved en biimplikation forventer vi, at de to udsagn lever i en sådan symbiose, at enten gælder begge, eller også gælder ingen af dem. Så enten er tallet x lige og samtidig deleligt med to, eller også er det ingen af delene. Der kan ikke opstå det tilfælde, at x er lige, men ikke deleligt med to.

Eksempel: »Jens læser en bog, hvis og kun hvis han sidder på toilettet.« For at biimplikationen skal være opfyldt, skal han altid læse en bog, når han sidder på toilettet. Og samtidig skal han altid sidde på toilettet, når han læser en bog. Det kan ikke ske, at han læser en bog for eksempel i sengen.

En biimplikation kan vi udtrykke ved hjælp af to implikationer. Så p ⇔ q kunne vi omskrive som p ⇒ q og samtidig q ⇒ p. Tabel:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Negation

Negation er en unær operation, vi skriver den med symbolet ¬p. Negationen negerer det oprindelige udsagn. Hvis vi har udsagnet »Freja er sangerinde«, så får vi som negation udsagnet »Det er ikke sandt, at Freja er sangerinde« eller kort »Freja er ikke sangerinde«. Vi kan stort set altid danne negationen ved at sætte »Det er ikke sandt, at…« foran udsagnet.

Negation vender sandhedsværdien om, altså gør den 0 til 1 og 1 til 0. Vi kan således skrive ¬0 = 1 og ¬1 = 0.

Pas på nogle forræderiske ting. Lad os tage udsagnet »kridt er hvidt«. Hvad er negationen? Nogen kunne finde på at sige »kridt er sort«, men det er ikke rigtigt! Når vi bruger den foregående regel, så er negationen udsagnet »det er ikke sandt, at kridt er hvidt«. Betyder det nødvendigvis, at det skal være sort? Nej, det kan for eksempel godt være lyserødt.

Tabel over alle konnektiver

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Sandhedsværdien af en hel formel

Nu kan vi allerede vurdere sandheden af to udsagn, som er forbundet med et logisk konnektiv. En hel formel vurderer vi helt analogt. Hvis vi har formlen (p ⇒ q) ∧ r, så får vi, i det øjeblik vi har vurderet formlen (p ⇒ q) for eksempel til 1, en klassisk konjunktion 1 ∧ r, som vi allerede kan løse.

Ved gradvis at anvende de simpleste logiske konnektiver når vi frem til den endelige sandhedsværdi af hele formlen. Ofte bruger man til det den såkaldte sandhedstabel, som beskrives nedenfor.

Sandhedstabel

Sandhedstabellen bruges ved vurdering af mere komplicerede formler. I de første n kolonner skriver vi de n udsagnsvariable, som formlen arbejder med, og i de følgende kolonner placerer vi efterhånden de delformler, som formlen indeholder. Det bliver klarere på et eksempel:

Lad os tage formlen (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). I begyndelsen skriver vi alle udsagnsvariable i tabellen, altså p og q, og alle kombinationer af deres værdisætninger:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Dernæst tilføjer vi kolonner for de enkelte delformler p ∨ q og q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Nu vurderer vi disse formler og udfylder kolonnerne med nuller eller ettaller. I tabellen har vi al den information, vi har brug for. Vi gør det sådan, at når vi vurderer p ∨ q i den første række, så indsætter vi 1 for p og 1 for q. Dermed får vi udtrykket 1 ∨ 1. Værdien af dette udtryk er igen 1, så vi skriver et ettal i tabellen:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

På samme måde udfylder vi efterhånden hele tabellen:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Nu mangler vi at vurdere hele formlen. Lad os kalde den for eksempel φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Vi tilføjer en kolonne med φ til tabellen og udfylder den, og til det bruger vi allerede de to foregående kolonner.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

Tabellen er nu færdig og angiver sandhedsværdien af formlen i alle mulige værdisætninger. Hvis for eksempel e(p) = 1 og samtidig e(q) = 1, så er formlen sand. Hvis e(p) = 0 og e(q) = 1, så er formlen ikke sand.

Læg mærke til, at vi ikke kan sige, at »formlen er sand«. Den sætning giver ikke mening, for hvis vi vil sige, at formlen er sand, må vi også sige, i hvilken værdisætning formlen er sand. Vi kan således sige, at »formlen φ er sand i værdisætningen e₁ og er ikke sand i værdisætningen e₂«.

Det eneste tilfælde, hvor vi kunne sige, at en formel er sand, er, hvis den er sand i alle mulige værdisætninger. For eksempel er formlen p ∨ ¬p sand i alle værdisætninger, så vi kan sige, at formlen er sand. Tilsvarende i det tilfælde, hvor en formel er falsk i alle værdisætninger.

Sådanne formler har så deres egen betegnelse. En formel, som er sand i alle værdisætninger, kaldes en tautologi. En formel, som ikke er opfyldt i nogen værdisætning, kaldes en kontradiktion.