Menyatakan variabel dari rumus

Bagaimana cara menyatakan satu variabel tertentu dari hubungan yang lebih rumit atau dari sebuah pecahan? Teknik ini terutama dipakai saat bekerja dengan berbagai rumus yang memuat beberapa variabel. Jika dipadukan dengan rumus-rumus lain, kita bisa mencapai hasil yang luar biasa: menyimpulkan segalanya dari ketiadaan.

Bentuk linear sederhana

Misalkan diberikan rumus ax + b = c. Bagaimana kita mengisolasi x dari rumus khayalan ini? Kita selalu memulai dengan memindahkan semua suku yang memuat variabel yang akan diisolasi ke ruas kiri, sedangkan sisanya ke ruas kanan. Secara teori, tidak penting apa yang ada di ruas mana, tetapi kebiasaannya variabel yang dinyatakan berada di kiri. Jadi, pertama kita pindahkan b ke ruas kanan. Artinya, kedua ruas persamaan kita tambah dengan −b:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Suku-suku yang memuat variabel sudah ada di satu ruas, tetapi a masih mengganggu. Bagaimana cara menghilangkannya dengan elegan? Apa yang harus kita lakukan pada bentuk ax agar hanya tersisa x? Ya, bentuk itu (dan dengan demikian seluruh persamaan) kita bagi dengan a, atau kita kalikan dengan $\frac{1}{a}$. Nilai a harus tidak sama dengan nol (kita tidak boleh membagi dengan nol). Jika kita melakukannya, diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Selesai. Contoh lain:

$$2ax-3bx=10a$$

Sekali lagi, kita harus mengisolasi x. Suku-suku yang memuat variabel sudah berada di ruas kiri, jadi pekerjaan kita sedikit berkurang. Kesulitannya, ada dua suku yang memuat variabel. Masalah ini kita atasi dengan memfaktorkan. Dari ruas kiri persamaan, kita keluarkan x sebagai faktor dan diperoleh:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

Pada contoh sebelumnya, kita mempunyai bentuk ax dan ingin memperoleh x saja, sehingga seluruh persamaan kita kalikan dengan $\frac{1}{a}$. Sekarang dalam persamaan ada bentuk x(2a − 3b), dan sekali lagi kita ingin mengetahui x. Kita lakukan hal yang sama: seluruh persamaan kita bagi dengan bentuk (2a − 3b). Jangan khawatir, persamaan memang boleh dibagi dengan seluruh isi tanda kurung, asalkan berlaku 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Pecahan

Jika bentuknya memuat pecahan, kita memakai operasi pada persamaan yang sama. Kita hanya perlu berhati-hati agar tidak membagi atau mengalikan dengan nol. Contoh:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Kita ingin mengisolasi x. Seluruh persamaan kita kalikan dengan x, tetapi kita harus menambahkan syarat x ≠ 0. Syarat ini memang sudah berlaku, karena dalam persamaan ada pecahan $\frac{a}{x}$ dengan x di penyebut, sedangkan pembagian dengan nol tidak diperbolehkan. Jadi, diperoleh persamaan:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Singkatnya, saat mengisolasi variabel, pakailah operasi ekuivalen pada persamaan seperti biasa.