Segitiga Pascal

Segitiga Pascal tersusun dari bilangan-bilangan dengan aturan berikut: bilangan yang terletak di bawah dua bilangan lain sama dengan jumlah kedua bilangan tersebut. Mari kita susun segitiga Pascal, lalu kita lihat apa saja kegunaannya.

Cara menyusun segitiga Pascal

Di sisi-sisi segitiga, kita tuliskan bilangan 1 semua. Bagian dalam segitiga untuk sementara kita isi dengan tanda tanya:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Sekarang kita hitung tanda tanya yang pertama. Kita jumlahkan dua bilangan di atasnya, sehingga diperoleh 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Dengan cara yang sama, kita hitung tanda tanya pada baris berikutnya. Pertama, kita peroleh 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Lalu kita peroleh 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Kita lanjutkan dengan cara ini, dan setiap baris baru memberi kita bagian berikutnya dari segitiga Pascal:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Tentu saja segitiga Pascal tidak berujung; kita selalu dapat membuat baris-baris baru. Namun, di tepinya selalu ada bilangan 1, dan di bagian dalamnya ada bilangan-bilangan yang diperoleh dari jumlah dua bilangan di atasnya. Sebagai contoh, bilangan 15 pada baris terakhir diperoleh dari jumlah bilangan 5 dan 10 di atasnya.

Sifat-sifat dasar segitiga Pascal

Sifat dasar yang pertama sudah kita sebutkan: di sisi-sisi segitiga selalu ada bilangan 1:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

Pada “diagonal kedua” selalu ada semua bilangan asli:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Omong-omong, apakah kamu memperhatikan bahwa segitiga Pascal simetris? Setiap baris sama saja, baik dibaca dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Bilangan segitiga

Pada diagonal ketiga, ada bilangan-bilangan 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Apa yang menarik dari bilangan-bilangan ini? Bilangan-bilangan ini disebut bilangan segitiga. Bayangkan kamu mempunyai beberapa lingkaran dan ingin menyusunnya membentuk segitiga. Berapa lingkaran yang kamu perlukan? Coba perhatikan gambar berikut:

Terlihat bahwa untuk segitiga dengan sisi 1, kita memerlukan satu lingkaran. Untuk sisi sepanjang dua, kita memerlukan tiga lingkaran, untuk sisi sepanjang tiga, enam lingkaran, dan untuk sisi sepanjang empat, sepuluh lingkaran. Banyaknya lingkaran yang kita perlukan selalu berupa bilangan segitiga yang dapat kita temukan dalam segitiga Pascal.

Jumlah bilangan pada setiap baris

Bagaimana jika kita mencoba menjumlahkan bilangan-bilangan pada setiap baris segitiga Pascal?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Terlihat bahwa jumlah setiap baris dua kali jumlah baris sebelumnya. Jadi, semua jumlah itu merupakan pangkat dari bilangan dua. Jika baris paling atas kita sebut baris ke-0, kita dapat menuliskan bahwa jumlah bilangan pada baris ke-n segitiga Pascal sama dengan 2ⁿ.

Bilangan prima

Baris paling atas segitiga kita sebut baris ke-0. Jika kita memilih baris ke-n dengan n suatu bilangan prima, semua bilangan pada baris itu (kecuali bilangan 1 di tepinya) habis dibagi n.

Sebagai contoh, ambil n = 5. Lima adalah bilangan prima. Baris kelima tampak seperti ini:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Setiap bilangan yang ditandai itu habis dibagi lima.

Teorema binomial

Kamu tentu sudah mengenal rumus untuk menghitung (a + b)² atau (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Perhatikan bahwa koefisien setiap suku sesuai dengan bilangan-bilangan dalam segitiga Pascal. Lihat, misalnya, bentuk

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Pertama, agar lebih jelas, suku a³ dan b³ kita tuliskan dengan perkalian dengan 1:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Sekarang terlihat bahwa koefisien pengali suku-sukunya sama dengan baris ketiga segitiga Pascal (jika baris paling atas kita hitung sebagai baris ke-0):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Fenomena ini dibahas dalam artikel tersendiri tentang teorema binomial.