Logika proposisional

Logika proposisional (logika matematika) adalah sarana untuk menyatakan sesuatu dalam matematika. Kamu akan menjumpainya dalam berbagai istilah dan dalam bermacam-macam teorema matematika.

Untuk apa logika

Logika adalah ilmu tentang penalaran, kebenaran, keterbuktian, dan keterbantahan. Dalam logika, yang penting hanyalah bentuk pernyataan. Kita tidak peduli apa isi pernyataan itu secara konkret, begitu pula dengan berbagai tafsiran psikologis dan hal-hal semacamnya.

Misalnya, dari kalimat “bilangan 2 genap dan sekaligus ganjil”, kita dapat menyimpulkan bahwa seluruh kalimat tidak benar, karena bilangan 2 tidak ganjil. Hal-hal seperti inilah yang secara umum dipelajari dalam logika.

Pernyataan

Dasar logika proposisional tentu saja pernyataan. Pernyataan adalah setiap kalimat deklaratif yang nilai kebenarannya dapat ditentukan. Contoh pernyataan sederhana:

• Gunung Everest adalah gunung tertinggi di dunia.
• Bilangan asli lima adalah bilangan ganjil.
• HTML adalah bahasa pemrograman.
• Dua ditambah tiga sama dengan enam.

Semua kalimat di atas adalah pernyataan, baik yang benar (dua yang pertama) maupun yang salah (dua yang terakhir). Sebaliknya, kalimat tanya atau kalimat yang nilai kebenarannya tidak dapat ditentukan secara pasti bukan pernyataan. Contohnya:

• Apakah tahun depan Gunung Everest masih menjadi gunung tertinggi di dunia?
• Warna hijau adalah warna yang paling indah.

Kalimat pertama tidak mungkin berupa pernyataan karena merupakan kalimat tanya. Untuk kalimat kedua, kita tidak dapat menentukan apakah pernyataannya benar atau salah. Kalimat seperti itu disebut hipotesis (dugaan).

Logika matematika klasik kurang mampu menangani kalimat yang samar, misalnya “Budi itu tinggi” atau “Rina penyanyi yang bagus”. Pernyataan seperti itu lebih cocok ditangani, misalnya, dengan logika fuzzy, yang memang dirancang untuk kesamaran.

Pernyataan tunggal

Pada bagian pertama, kita mempunyai contoh pernyataan “bilangan 2 genap dan sekaligus ganjil”. Pernyataan seperti ini dapat kita sebut pernyataan majemuk, karena sebenarnya menggabungkan dua pernyataan yang lebih pendek: “bilangan 2 genap” dan “bilangan 2 ganjil”. Kedua pernyataan tersebut dihubungkan dengan kata hubung logika “dan” atau “dan sekaligus”.

Jadi, pernyataan tunggal (atomik) adalah pernyataan yang tidak dapat dipecah lagi. Dalam arti tertentu, pernyataan tunggal adalah pernyataan yang paling sederhana. Contoh-contoh pernyataan sebelumnya sebenarnya adalah pernyataan tunggal:

• Gunung Everest adalah gunung tertinggi di dunia.
• Bilangan asli lima adalah bilangan ganjil.
• HTML adalah bahasa pemrograman.
• Dua ditambah tiga sama dengan enam.

Selanjutnya, pernyataan tunggal akan kita lambangkan dengan huruf kecil, biasanya p, q, r, …, dan kita sebut variabel proposisi.

Kata hubung logika

Logika matematika biasanya bekerja dengan sekumpulan kata hubung logika tertentu. Yang paling dasar adalah empat kata hubung biner berikut:

• p ∧ q adalah konjungsi, dibaca “pernyataan p dan pernyataan q”
• p ∨ q adalah disjungsi, dibaca “pernyataan p atau pernyataan q”
• p ⇒ q adalah implikasi, dibaca “jika pernyataan p, maka pernyataan q”
• p ⇔ q adalah biimplikasi, dibaca “pernyataan p jika dan hanya jika pernyataan q”

Contoh konkret kata hubung logika:

• Di pusat kota Bogor turun hujan dan sekaligus matahari bersinar. (konjungsi)
• Di pusat kota Bogor turun hujan atau matahari bersinar. (disjungsi)
• Rendang adalah makanan terenak dan sambal adalah pelengkap terbaik. (konjungsi)
• Jika kamu minum obat pencahar, maka sebentar lagi kamu harus lari ke toilet. (implikasi)
• Jika bilangan x habis dibagi empat, maka bilangan itu juga habis dibagi dua. (implikasi)
• Dewi cantik dan sekaligus pintar. (konjungsi)
• Para penyanyi sukses jika dan hanya jika mereka cantik. (biimplikasi)
• Jika tidak turun hujan, kita tidak akan basah kuyup. (implikasi)
• Jika kucing bisa terbang, maka aku adalah raja dunia. (implikasi)

Kita mengenal satu lagi kata hubung logika yang umum, yaitu negasi. Negasi dilambangkan dengan ∼ p (lazim di buku sekolah) atau dengan lambang ¬p.

Formula

Dengan variabel proposisi (pernyataan tunggal) dan kata hubung logika, kita dapat menyusun pernyataan yang lebih rumit. Pernyataan seperti itu kita sebut formula. Semua contoh dalam daftar kalimat sebelumnya sebenarnya adalah formula, karena kita mempunyai dua formula atomik, misalnya “Di pusat kota Bogor turun hujan” dan “matahari bersinar”, lalu menghubungkannya dengan kata hubung logika. Pada contoh pertama, kita menghubungkannya dengan “dan sekaligus” sehingga diperoleh formula “Di pusat kota Bogor turun hujan dan sekaligus matahari bersinar”. Pada contoh kedua, kita memakai “atau” sehingga diperoleh formula “Di pusat kota Bogor turun hujan atau matahari bersinar”.

Secara formal, formula didefinisikan sebagai berikut:

• Setiap variabel proposisi (pernyataan tunggal) adalah formula (lebih tepatnya, formula atomik).
• Jika A dan B formula, maka ¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), dan (A ⇔ B) juga formula.

Definisi ini masuk akal. Butir pertama menyatakan bahwa setiap pernyataan tunggal juga merupakan formula. Jadi, jika kita mempunyai dua pernyataan tunggal, misalnya “Di pusat kota Bogor turun hujan” dan “matahari bersinar”, kita juga mempunyai dua formula. Sekarang kita dapat menerapkan butir kedua dan menyusun formula yang lebih rumit, misalnya seperti ini:

• Di pusat kota Bogor turun hujan dan sekaligus matahari bersinar.
• Di pusat kota Bogor turun hujan atau matahari bersinar.
• Jika di pusat kota Bogor matahari bersinar, maka turun hujan.
• Matahari bersinar di pusat kota Bogor jika dan hanya jika turun hujan.

Tentu saja formula tidak harus benar. Sekarang kita memperoleh sekumpulan formula baru, sehingga kita dapat menyusun formula yang lebih rumit lagi. Misalkan A = “Di pusat kota Bogor matahari bersinar atau turun hujan.” (kita sudah tahu bahwa ini formula) dan B = “terlihat pelangi” (anggap saja juga di pusat kota Bogor agar tidak perlu diulang-ulang). Dari keduanya, kita dapat membentuk formula lain. Tanda kurung dalam kalimat hanya menunjukkan bagian mana yang dihubungkan oleh kata hubung.

• A ∧ B: (Di pusat kota Bogor matahari bersinar atau turun hujan) dan sekaligus (terlihat pelangi).
• A ∨ B: (Di pusat kota Bogor matahari bersinar atau turun hujan) atau (terlihat pelangi).
• A ⇒ B: (Jika di pusat kota Bogor matahari bersinar atau turun hujan), maka (terlihat pelangi).
• A ⇔ B: (Di pusat kota Bogor matahari bersinar atau turun hujan) jika dan hanya jika (terlihat pelangi).

Semua ini adalah formula. Jadi, kita dapat kembali mengambil salah satu formula tersebut dan menggabungkannya dengan formula lain. Dengan cara ini, kita bisa membentuk kalimat aneh seperti “Jika di pusat kota Bogor matahari bersinar atau turun hujan atau terlihat pelangi, maka matahari bersinar atau turun hujan jika dan hanya jika terlihat pelangi.”

Pada bagian berikutnya, kita akan menyelidiki kebenaran formula.