Valor de verdad de las fórmulas

Si tenemos algunas proposiciones atómicas que componemos en una fórmula, podemos intentar decidir si la fórmula entera es verdadera o falsa.

Valor de verdad de una proposición

Primero precisemos qué es el valor de verdad de una proposición. Dada una proposición p, deberíamos ser capaces de decidir si es verdadera o falsa. Una proposición verdadera tendrá valor de verdad 1 y una falsa, 0.

Una asignación de valores de verdad es entonces una regla e que a una proposición dada le asigna 0 o 1. Si escribimos e(p), queremos averiguar el valor de verdad de la proposición p. Si p es la proposición «dos por dos son cuatro», entonces e(p) = 1, porque se trata de una proposición verdadera. Si q es la proposición «París es la capital de España», entonces e(q) = 0, porque la capital de España es Madrid. Así, e es una función que nos devuelve si la proposición es verdadera.

Hay que darse cuenta de que e no es una función mágica que lo sabe todo sobre el mundo. Se comporta como le decimos. Ella no sabe cuál es la capital de España. Al comienzo del cálculo deberíamos declarar cómo se ha de comportar la función de asignación. Si le decimos que París es la capital de España, nos devolverá e(q) = 1.

Valor de verdad de las conectivas lógicas

Para poder establecer la verdad de una fórmula, necesitamos saber cómo evaluar la verdad de las conectivas lógicas. Es decir, si conocemos las asignaciones e(p) y e(q), cuál será el valor de verdad de las fórmulas p ∧ q, p ⇒ q, etc.

Cada conectiva lógica se comporta de forma distinta y se usa para algo diferente, así que veremos cada una por separado.

Valor de verdad de la conjunción

La conjunción se designa p ∧ q y se lee «p y a la vez q». Como ejemplo tomemos la fórmula «España está en el sur de Europa y a la vez su capital es Madrid». ¿Cuándo será verdadera toda esta oración?

Para determinar la verdad nos ayuda la propia conectiva «y a la vez». Nos dice expresamente que quiere que las dos proposiciones, la de la izquierda y la de la derecha, sean verdaderas. Si las dos proposiciones p y q son verdaderas, es decir, e(p) = 1 y e(q) = 1, entonces también es verdadera la conjunción entera. En el caso contrario, cuando una de las proposiciones es falsa o lo son las dos, la fórmula entera es falsa.

Un ejemplo de conjunción que no es verdadera puede ser: «El Ebro es un río y a la vez el Ebro pasa por Rusia». Es cierto que el Ebro es un río, pero no es cierto que pase por Rusia, así que la conjunción no es verdadera.

La siguiente tabla lo recoge de forma clara:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

En las dos primeras columnas están los valores de verdad de las proposiciones p y q, y en la tercera está el valor de verdad de la fórmula p ∧ q.

Valor de verdad de la disyunción

La disyunción se designa p ∨ q y se lee «p o q». Ejemplo: «Turquía está en Europa o en Asia.» ¿Cuándo será verdadera la oración entera?

En la disyunción nos basta con que sea verdadera al menos una de las posibilidades. La conectiva «o» nos da a elegir; basta con que sea verdadera su parte izquierda o su parte derecha. La única pequeña diferencia con el habla corriente es que la «o» lógica es verdadera también cuando se cumplen las dos proposiciones a la vez. Eso no suele ser lo habitual: en el habla corriente a menudo usamos la «o» de forma excluyente, es decir, «o bien… o bien…»

Hay un chiste clásico sobre esto: una familia está eligiendo un coche nuevo en un concesionario de segunda mano. El padre le dice al vendedor: «hemos decidido que nos llevamos el coche azul o el rojo». El vendedor les vendió los dos coches. Esto ilustra la diferencia entre la «o» lógica y la hablada: el padre probablemente quería decir que elegirían exactamente uno de los coches, mientras que el vendedor consideró válida la posibilidad de venderles los dos.

La oración anterior sobre Turquía es verdadera porque las dos proposiciones son verdaderas. La oración «el número 7 es divisible entre 3 o el número 7 es primo» es verdadera porque el siete es primo. Es cierto que no es divisible entre tres, pero eso ya no nos importa. Tabla de valores de verdad:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Valor de verdad de la implicación

La implicación se designa p ⇒ q y se lee «si p, entonces q». Un ejemplo de implicación puede ser la oración «si bebemos mucho ron, entonces vomitaremos». ¿Cuándo será verdadera la oración?

La implicación lógica es la más traicionera de todas las conectivas y, incluso en el habla corriente, a menudo no se entiende bien y se confunde con la equivalencia. Intentemos responder a la pregunta de si se cumple también la implicación recíproca: q ⇒ p.

Sabemos que si bebemos mucho ron, entonces vomitaremos. ¿Se cumple también que si vomitamos, entonces hemos bebido mucho ron? Seguro que no: pudimos beber otra bebida alcohólica y encontrarnos mal igualmente, o podemos encontrarnos mal por algo totalmente distinto. La implicación recíproca, por tanto, no tiene por qué cumplirse automáticamente. Si se cumple p ⇒ q y a la vez se cumple q ⇒ p, se trata de una equivalencia, como veremos más adelante.

Otro ejemplo: «si mañana llueve, entonces Hugo se lleva el paraguas». Y ahora te digo que Hugo se llevó el paraguas. La pregunta es: ¿llovió ese día? Mucha gente tiende a decir que por supuesto que sí, pues Hugo se llevó el paraguas cuando iba a llover. ¡Pero la oración original no está construida así!

En realidad, Hugo pudo llevarse el paraguas por algo distinto de lo que no tenemos ni idea. Quizá Hugo se lleva el paraguas siempre que va a visitar a su suegra, para poder sacarle un ojo. O decidió comprarse un paraguas nuevo y quiere tirar el viejo. Todas esas son razones legítimas por las que Hugo pudo llevarse el paraguas aunque no tuviera por qué llover.

Ahora ya podemos responder a la pregunta de cuándo será verdadera la implicación. Cuando las dos proposiciones sean verdaderas, la implicación será verdadera con seguridad: «si 42 es un número natural, entonces es positivo». Las dos proposiciones son verdaderas, así que la implicación entera es verdadera. Otro ejemplo puede ser la implicación «si 42 es un número natural, entonces es negativo». Esta implicación no es verdadera, porque de una verdad intentamos deducir algo que no es verdad.

Por último, quedan los casos en que la primera proposición es falsa. En ese caso ya no nos interesa la verdad de la segunda proposición. Si partimos de una falsedad, podemos seguir diciendo lo que queramos. Son oraciones como «si 1 es un número negativo, entonces los cerdos vuelan» o «si Madrid es una famosa empresa constructora, entonces el sol es azul». En esos casos la implicación es automáticamente verdadera, simplemente porque parte de una falsedad. Tabla:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Valor de verdad de la equivalencia

La equivalencia se escribe p ⇔ q y se lee «p si y solo si q». Un ejemplo de equivalencia puede ser «el número x es divisible entre dos si y solo si es par». ¿Cuándo será verdadera la oración entera?

En la equivalencia esperamos que las dos proposiciones estén en tal simbiosis que o se cumplen las dos o no se cumple ninguna. Así que o bien el número x es par y a la vez divisible entre dos, o bien no es ninguna de las dos cosas. No puede darse el caso de que x fuera par pero no fuera divisible entre dos.

Ejemplo: «Hugo lee un libro si y solo si está sentado en el váter.» Para que se cumpla la equivalencia, siempre que Hugo esté sentado en el váter tiene que estar leyendo un libro. Y a la vez, siempre que esté leyendo un libro, tiene que estar sentado en el váter. No puede ocurrir que lea el libro, por ejemplo, en la cama.

La equivalencia se puede expresar mediante dos implicaciones. Así, p ⇔ q podríamos reescribirlo como p ⇒ q y a la vez q ⇒ p. Tabla:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Negación

La negación es una operación unaria; la escribimos con una prima, p', o con este símbolo: ¬p. La negación niega la afirmación original. Si tenemos la proposición «Sofía es cantante», entonces su negación es la proposición «No es cierto que Sofía sea cantante» o, abreviando, «Sofía no es cantante». Prácticamente siempre podemos formar la negación poniendo delante de la proposición «No es cierto que…»

La negación invierte el valor de verdad, es decir, de 0 hace 1 y de 1 hace 0. Podemos escribir así ¬0 = 1 y ¬1 = 0.

Ojo con algunas cosas traicioneras. Tomemos la afirmación «la cal es blanca». ¿Cuál es su negación? A alguien se le podría ocurrir que «la cal es negra», ¡pero eso no es cierto! Si usamos la regla anterior, la negación será la proposición «no es cierto que la cal sea blanca». ¿Significa eso necesariamente que tiene que ser negra? No, puede ser, por ejemplo, rosa clarito.

Tabla de todas las conectivas

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Valor de verdad de una fórmula completa

Ya sabemos evaluar el valor de verdad de dos proposiciones unidas por una conectiva lógica. La fórmula completa la evaluamos de forma totalmente análoga. Si tenemos la fórmula (p ⇒ q) ∧ r, en cuanto evaluemos la fórmula (p ⇒ q), por ejemplo, como 1, obtenemos la conjunción clásica 1 ∧ r, que ya sabemos resolver.

Aplicando paso a paso las conectivas más sencillas llegamos al valor de verdad final de toda la fórmula. A menudo se usa para ello la llamada tabla de verdad, que se describe a continuación.

Tabla de verdad

La tabla de verdad se usa para evaluar fórmulas más complicadas. En las primeras n columnas escribimos las n variables proposicionales con las que trabaja la fórmula y en las columnas siguientes vamos colocando las subfórmulas parciales que contiene la fórmula. Con un ejemplo se verá más claro:

Tomemos la fórmula (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Al principio escribimos en la tabla todas las variables proposicionales, es decir, p y q, y todas las combinaciones de sus asignaciones:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

A continuación añadimos columnas para las subfórmulas p ∨ q y q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Ahora evaluamos estas fórmulas y rellenamos las columnas con ceros o unos. En la tabla tenemos toda la información necesaria. Procedemos así: cuando evaluamos p ∨ q en la primera fila, sustituimos p por 1 y q también por 1. Obtenemos así la expresión 1 ∨ 1. La evaluación de esta expresión es de nuevo 1, así que en la tabla escribimos un uno:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

De la misma forma vamos completando toda la tabla:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Ahora falta evaluar la fórmula entera. Llamémosla, por ejemplo, φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Añadimos a la tabla una columna con φ y la evaluamos, usando ya para ello las dos columnas anteriores.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

La tabla ya está completa y nos da el valor de verdad de la fórmula en todas las asignaciones posibles. Por ejemplo, si e(p) = 1 y a la vez e(q) = 1, la fórmula es verdadera. En el caso de que e(p) = 0 y e(q) = 1, la fórmula no es verdadera.

Fíjate en que no podemos decir que «la fórmula es verdadera». Esa frase no tiene sentido, porque para poder decir que la fórmula es verdadera tendríamos que decir en qué asignación lo es. Podemos decir, así, que «la fórmula φ es verdadera en la asignación e₁ y no es verdadera en la asignación e₂».

El único caso en que podríamos decir que una fórmula es verdadera es que lo sea en todas las asignaciones posibles. Por ejemplo, la fórmula p ∨ ¬p es verdadera en todas las asignaciones, así que podemos decir que la fórmula es verdadera. Lo mismo ocurre cuando una fórmula es falsa en todas las asignaciones.

Esas fórmulas tienen su denominación especial. Una fórmula que es verdadera en todas las asignaciones se llama tautología. Una fórmula que no se cumple en ninguna asignación se llama contradicción.