Valor lógico das fórmulas

Se temos algumas proposições simples que combinamos em uma fórmula, podemos tentar decidir se a fórmula inteira é verdadeira ou falsa.

Valor lógico de uma proposição

Primeiro, vamos esclarecer o que é o valor lógico de uma proposição. Dada uma proposição p, devemos ser capazes de decidir se ela é verdadeira ou falsa. Uma proposição verdadeira terá valor lógico 1 e uma falsa, 0.

A atribuição de valores lógicos é, então, uma regra e que associa a cada proposição o valor 0 ou 1. Se escrevermos e(p), queremos saber a veracidade da proposição p. Se p é a proposição “dois vezes dois são quatro”, então e(p) = 1, porque se trata de uma proposição verdadeira. Se q é a proposição “Henrique Albuquerque é mulher”, então e(q) = 0, porque Henrique não é mulher. Assim, e é uma função que nos devolve se a proposição é verdadeira.

Aqui é preciso entender que e não é uma função mágica que sabe tudo sobre o mundo. Ela se comporta do jeito que mandamos. Ela não sabe se Henrique Albuquerque é homem ou mulher. No início do cálculo, devemos declarar como a função de atribuição deve se comportar. Se dissermos a ela que Henrique Albuquerque é mulher, ela nos devolverá e(q) = 1.

Valor lógico dos conectivos

Para podermos determinar o valor lógico de uma fórmula, precisamos saber como avaliar o valor lógico dos conectivos. Ou seja, se conhecemos as atribuições e(p) e e(q), qual será o valor lógico das fórmulas p ∧ q, p ⇒ q etc.

Cada conectivo se comporta de um jeito e serve para uma coisa diferente, então vamos ver cada um separadamente.

Valor lógico da conjunção

A conjunção se representa por p ∧ q e se lê “p e ao mesmo tempo q”. Como exemplo, tomemos a fórmula “O Brasil fica na América do Sul e ao mesmo tempo a sua capital é Brasília”. Quando essa frase inteira será verdadeira?

Para determinar isso, já nos ajuda o próprio conectivo “e ao mesmo tempo”. Ele nos diz explicitamente que quer que as duas proposições, a da esquerda e a da direita, sejam verdadeiras. Assim, se as duas proposições p e q são verdadeiras, ou seja, e(p) = 1 e e(q) = 1, então a conjunção inteira também é verdadeira. No caso contrário, quando uma das proposições é falsa ou as duas são falsas, a fórmula inteira é falsa.

Um exemplo de conjunção que não é verdadeira pode ser: “O Rio São Francisco é um rio e ao mesmo tempo o São Francisco atravessa a Argentina”. É verdade que o São Francisco é um rio, mas não é verdade que ele corre na Argentina, então a conjunção inteira não é verdadeira.

A tabela a seguir mostra isso de forma resumida:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\wedge q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Nas duas primeiras colunas estão os valores lógicos das proposições p e q, e na terceira está o valor lógico da fórmula p ∧ q.

Valor lógico da disjunção

A disjunção se representa por p ∨ q e se lê “p ou q”. Exemplo: “A Rússia fica na Europa ou na Ásia.” Quando a frase inteira será verdadeira?

Na disjunção, basta que pelo menos uma das possibilidades seja verdadeira. O conectivo “ou” nos dá uma escolha; basta que a parte esquerda ou a direita seja verdadeira. A única pequena diferença em relação à linguagem comum é que o ou lógico é verdadeiro mesmo quando as duas proposições são satisfeitas ao mesmo tempo. Não é bem assim que costumamos falar: no dia a dia, muitas vezes usamos o “ou” de forma exclusiva, ou seja, “ou …, ou …”

Existe uma piada clássica sobre isso: uma família está escolhendo um carro novo numa loja de usados. O pai diz ao vendedor: “decidimos que vamos levar um carro azul ou vermelho”. O vendedor vendeu os dois carros. Isso ilustra a diferença entre o ou lógico e o ou da fala: o pai provavelmente pensava que eles escolheriam exatamente um desses carros, enquanto o vendedor considerou válida a possibilidade de vender os dois.

A frase anterior sobre a Rússia é verdadeira, porque as duas proposições são verdadeiras. A frase “o número 7 é divisível por 3 ou o número 7 é primo” é verdadeira, porque o sete é primo. É verdade que ele não é divisível por três, mas isso não nos atrapalha. Tabela dos valores lógicos:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\vee q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}$$

Valor lógico da implicação

A implicação se representa por p ⇒ q e se lê “se p, então q”. Um exemplo de implicação é a frase “se bebermos muita vodca, então vamos vomitar”. Quando a frase será verdadeira?

A implicação lógica é o mais traiçoeiro de todos os conectivos e, mesmo na fala do dia a dia, muitas vezes não é compreendida e é confundida com a equivalência. Vamos tentar responder à pergunta: será que vale também a implicação recíproca q ⇒ p?

Sabemos que, quando bebemos muita vodca, vomitamos. Vale também que, quando vomitamos, é porque bebemos muita vodca? Isso certamente não vale; poderíamos ter bebido uma bebida totalmente diferente e ainda assim passar mal, ou podemos estar passando mal por qualquer outro motivo. Assim, a implicação recíproca não precisa valer automaticamente. Se valem ao mesmo tempo p ⇒ q e q ⇒ p, trata-se de uma equivalência, veja adiante.

Outro exemplo: “se amanhã chover, então o João leva o guarda-chuva”. E agora vou dizer a você que o João levou o guarda-chuva. A pergunta é: choveu naquele dia? Muita gente tem a tendência de dizer que é claro que sim, afinal o João levou o guarda-chuva quando ia chover. Só que a frase original não é construída assim!

Na verdade, o João pode ter levado o guarda-chuva por outro motivo, do qual não fazemos ideia. Talvez o João leve o guarda-chuva sempre que vai visitar a sogra, para poder furar o olho dela. Ou então ele decidiu comprar um guarda-chuva novo e quer jogar o velho fora. Todos esses são motivos legítimos para o João ter levado o guarda-chuva, embora não precisasse chover.

Agora já podemos responder à pergunta de quando a implicação será verdadeira. Quando as duas proposições são verdadeiras, a implicação é com certeza verdadeira: “se 42 é um número natural, então é positivo”. As duas proposições são verdadeiras, então a implicação inteira é verdadeira. Outro exemplo é a implicação “se 42 é um número natural, então é negativo”. Essa implicação não é verdadeira, porque tentamos tirar de uma verdade algo que não é verdade.

Por fim, restam os casos em que a primeira proposição é falsa. Nesse caso, a veracidade da segunda já não nos interessa. Se partimos de uma falsidade, podemos continuar dizendo qualquer bobagem. São frases do tipo “se 1 é um número negativo, então eu sou o rei da Lua” ou “se a Construtora Tijolo Forte é uma banda famosa, então o sol é azul”. Nesses casos, a implicação é automaticamente verdadeira, simplesmente porque parte de uma falsidade. Tabela:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\Rightarrow q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Valor lógico da equivalência

A equivalência se escreve p ⇔ q e se lê “p se, e somente se, q”. Um exemplo de equivalência pode ser “o número x é divisível por dois se, e somente se, é par”. Quando a frase inteira será verdadeira?

Na equivalência, esperamos que as duas proposições estejam em tal simbiose que ou valem as duas, ou não vale nenhuma. Assim, ou o número x é par e ao mesmo tempo divisível por dois, ou não é nenhuma das duas coisas. Não pode acontecer de x ser par e não ser divisível por dois.

Exemplo: “Jorge lê um livro se, e somente se, está sentado no vaso sanitário.” Para a equivalência ser satisfeita, sempre que Jorge está sentado no vaso sanitário, ele tem de estar lendo um livro. E, ao mesmo tempo, sempre que ele lê um livro, tem de estar sentado no vaso sanitário. Não pode acontecer de ele ler um livro, por exemplo, na cama.

Podemos expressar a equivalência por meio de duas implicações. Assim, p ⇔ q poderia ser reescrito como p ⇒ q e ao mesmo tempo q ⇒ p. Tabela:

$$\begin{array}{ccc}p& q& p\iff q\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}$$

Negação

A negação é uma operação unária; nós a escrevemos com uma linha p' ou com este símbolo: ¬p. A negação nega a afirmação original. Se temos a proposição “Júlia Menezes é cantora”, a negação nos dá a proposição “Não é verdade que Júlia Menezes é cantora” ou, resumindo, “Júlia Menezes não é cantora”. Praticamente sempre podemos formar a negação colocando “Não é verdade que…” antes da proposição.

A negação inverte o valor lógico, isto é, transforma 0 em 1 e 1 em 0. Assim, podemos escrever ¬0 = 1 e ¬1 = 0.

Cuidado com algumas coisas traiçoeiras. Tomemos a afirmação “a cal é branca”. Qual é a negação? Alguém poderia pensar que é “a cal é preta”, mas isso não é verdade! Se usarmos a regra anterior, a negação será a proposição “não é verdade que a cal é branca”. Isso significa necessariamente que ela precisa ser preta? Não significa; pode ser, por exemplo, cor-de-rosa.

Tabela de todos os conectivos

$$\begin{array}{cccccc}p& q& p\wedge q& p\vee q& p\Rightarrow q& p\iff q\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1& 1\end{array}$$

Valor lógico da fórmula inteira

Agora já sabemos avaliar o valor lógico de duas proposições ligadas por um conectivo. Avaliamos a fórmula inteira de maneira totalmente análoga. Se temos a fórmula (p ⇒ q) ∧ r, no momento em que avaliamos a fórmula (p ⇒ q), por exemplo, como 1, obtemos a conjunção clássica 1 ∧ r, que já sabemos resolver.

Aplicando sucessivamente os conectivos mais simples, chegamos ao valor lógico final da fórmula inteira. Para isso, costuma-se usar a chamada tabela-verdade, que é descrita mais adiante.

Tabela-verdade

A tabela-verdade é usada na avaliação de fórmulas mais complexas. Nas primeiras n colunas escrevemos as n variáveis proposicionais com as quais a fórmula trabalha e, nas colunas seguintes, colocamos aos poucos as subfórmulas que a fórmula contém. Com um exemplo ficará mais claro:

Tomemos a fórmula (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). No início, escrevemos na tabela todas as variáveis proposicionais, isto é, p e q, e todas as combinações das suas atribuições:

$$\begin{array}{cc}p& q\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Em seguida, acrescentamos as colunas das subfórmulas p ∨ q e q ⇒ p.

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Agora avaliamos essas fórmulas e completamos as colunas com zeros ou uns. Na tabela temos todas as informações necessárias. Procedemos assim: ao avaliar p ∨ q na primeira linha, substituímos p por 1 e q também por 1. Assim obtemos a expressão 1 ∨ 1. O resultado dessa expressão é novamente 1, então escrevemos o número um na tabela:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1\\ 1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}$$

Dessa forma, completamos aos poucos a tabela inteira:

$$\begin{array}{cccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}$$

Agora resta avaliar a fórmula inteira. Vamos chamá-la, por exemplo, de φ = (p ∨ q) ∧ (q ⇒ p). Acrescentamos à tabela uma colunazinha com φ e a avaliamos, usando para isso as duas colunas anteriores.

$$\begin{array}{ccccc}p& q& p\vee q& q\Rightarrow p& \phi \\ 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}$$

A tabela já está completa e nos dá o valor lógico da fórmula em todas as atribuições possíveis. Por exemplo, se e(p) = 1 e ao mesmo tempo e(q) = 1, então a fórmula é verdadeira. No caso de e(p) = 0 e e(q) = 1, a fórmula não é verdadeira.

Observe que não podemos dizer que “a fórmula é verdadeira”. Essa frase não faz sentido, porque, para podermos dizer que a fórmula é verdadeira, teríamos de dizer em qual atribuição a fórmula é verdadeira. Assim, podemos dizer que “a fórmula φ é verdadeira na atribuição e₁ e não é verdadeira na atribuição e₂”.

O único caso em que poderíamos dizer que a fórmula é verdadeira é quando ela é verdadeira em todas as atribuições possíveis. Por exemplo, a fórmula p ∨ ¬p é verdadeira em todas as atribuições, então podemos dizer que a fórmula é verdadeira. De modo semelhante, para o caso em que a fórmula é falsa em todas as atribuições.

Essas fórmulas têm, então, uma designação especial. Uma fórmula que é verdadeira em todas as atribuições se chama tautologia. Uma fórmula que não é satisfeita em nenhuma atribuição se chama contradição.