Probabilità

La probabilità di un evento aleatorio ci dice quante possibilità abbiamo che quell’evento si verifichi. Un esempio tipico è il lancio di un normale dado. Possiamo chiederci: «qual è la probabilità che esca il numero cinque?» La probabilità si esprime con un numero dell’intervallo [0; 1] oppure in percentuale, cioè dallo 0% al 100%.

Definizioni collegate

Ogni azione ripetibile che dipende dal caso si dice esperimento aleatorio. Per esempio, il lancio di un dado o l’estrazione del lotto sono esperimenti aleatori. Ci serve poi l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento aleatorio — cioè tutte le possibilità che in quell’esperimento possono presentarsi. Su un dado, per esempio, possono uscire i numeri da uno a sei, quindi l’insieme di tutti i possibili risultati, che chiamiamo spazio campionario e indichiamo con Ω (omega), per il dado si scrive così: Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Nel caso del SuperEnalotto sarebbero tutte le combinazioni che possono uscire.

Ogni sottoinsieme A ⊆ Ω si chiama evento (aleatorio). Per esempio, l’evento «sul dado esce un numero pari» si scrive A = {2, 4, 6}. L’evento «sul dado esce un numero maggiore di cinque» si scrive A = {6}, e così via. Se lanciamo il dado (= eseguiamo l’esperimento) e sul dado esce il numero x, allora, se x ∈ A, diciamo che l’evento si è verificato, altrimenti diciamo che non si è verificato. Restiamo sull’evento «sul dado esce un numero pari»: se esce x = 2, allora x ∈ A, cioè 2 ∈ {2, 4, 6}, e l’evento si è verificato.

Esistono due tipi speciali di eventi: l’evento certo e l’evento impossibile. L’evento è certo se si verifica in ogni esperimento, il che significa che A = Ω. Per il dado sarebbe l’evento «esce un numero minore di 7»: quello esce di sicuro. Il contrario è l’evento impossibile, che si scrive A = ∅ e a parole, per esempio, «sul dado esce un vaso di fiori». Certo, durante il lancio del dado un vaso di fiori potrebbe cadere dal tavolo, ma sul dado di sicuro non uscirà un vaso di fiori, perché lì ci sono solo i numeri da 1 a 6.

Probabilità di un evento

La probabilità di un evento ci dice quanto possiamo aspettarci che quell’evento si verifichi. Probabilmente tutti intuiamo che su un dado esce un numero pari più spesso del numero cinque in particolare. La probabilità traduce questa intuizione in numeri esatti. Per prima cosa stabiliamo alcune ipotesi che ci serviranno.

Supponiamo che per l’esperimento aleatorio valga quanto segue:

• I possibili risultati sono in numero finito (cioè Ω è un insieme finito).
• Non possono uscire due risultati contemporaneamente (cioè sul dado non possiamo ottenere insieme il 3 e il 6).
• Ogni risultato è ugualmente possibile (cioè abbiamo la stessa probabilità di ottenere sul dado il 4 come di ottenere il 6 o l’1).

Le prime due condizioni sono abbastanza naturali, l’ultima è un po’ restrittiva, ma per ora ci basta. Allora possiamo dire che la probabilità dell’evento A, che indichiamo con P(A), è uguale a

$$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$$

In altre parole: numero dei casi favorevoli diviso numero dei casi possibili. (Le barrette verticali nella formula precedente indicano il numero di elementi dell’insieme.) La probabilità di ottenere un numero pari con il dado sarebbe quindi:

$$P(\text{Pari})=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Spesso esprimiamo la probabilità in percentuale — basta prendere la probabilità che abbiamo calcolato, moltiplicarla per cento e aggiungere il simbolo di percentuale: 0,5 · 100% = 50%. Una probabilità del cinquanta per cento ci dice in sostanza che abbiamo la stessa possibilità che esca un numero pari e che non esca. Il che ha senso, dato che sul dado ci sono tre numeri pari e tre dispari.

L’evento certo ha probabilità 1, l’evento impossibile 0. Perché? Abbiamo detto che per l’evento certo J vale J = Ω e per l’evento impossibile N vale N = ∅. Se sostituiamo questi eventi nella formula, otteniamo:

$$P(J)=\frac{|\mathrm{\Omega }|}{|\mathrm{\Omega }|}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{0}{|\mathrm{\Omega }|}=0.$$

Esercizi svolti

1. Qual è la probabilità che sul dado esca il numero cinque? È semplice: l’insieme di tutti i risultati favorevoli è soltanto A = {5}, l’insieme di tutti i risultati è sempre Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sostituiamo nella formula:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Qual è la probabilità che sul dado esca un numero divisibile per tre? Dobbiamo scoprire quali numeri del dado sono divisibili per tre. Sono solo il 3 e il 6, quindi l’insieme dei risultati favorevoli è B = {3, 6}. Poi procediamo come al solito:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Proviamo ora a lanciare due dadi contemporaneamente. Qual è la probabilità che su entrambi i dadi esca il sei? Per prima cosa dobbiamo determinare Ω, cioè l’insieme di tutti i risultati. Dobbiamo contare tutte le possibilità che possono presentarsi. Quindi, se sul primo dado esce il numero 1, sul secondo può uscire un numero da 1 a 6. Abbiamo trovato così sei possibilità. Se sul primo dado esce il 2, sul secondo dado possono di nuovo uscire i numeri da 1 a 6; abbiamo trovato altre sei possibilità. E così via per tutti i numeri che possono uscire sul primo dado. Tutte le possibilità si presentano allora così:

   $$\begin{array}{rcl}& \mathrm{\Omega }=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(2;5),(2;6),\\ & & \dots \\ & & (6;1),(6;2),(6;3),(6;4),(6;5),(6;6)\end{array}$$

   Abbiamo in tutto sei righe e in ogni riga sei possibilità. In totale otteniamo 6 · 6 = 36 possibilità che possono uscire con i dadi. Quante di queste appartengono anche all’insieme dei risultati favorevoli? Una sola, precisamente (6; 6), perché vogliamo che escano due sei. Otteniamo così la probabilità:

   $$P(C)=\frac{|\{(6;6)\}|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Qual è la probabilità che lanciando due dadi esca lo stesso numero su entrambi? Il numero di tutti i possibili risultati è ancora 36, come nell’esempio precedente. Ma quanti sono i risultati favorevoli? Solo in sei casi esce lo stesso numero su entrambi i dadi: D = {(1; 1), (2; 2), …, (6; 6)}. Sostituiamo nella formula:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Qual è la probabilità che lanciando due dadi, uno bianco e uno nero, esca 3 sul dado bianco e 5 sul dado nero? Il numero di elementi di Ω è ancora 36. Com’è fatto l’insieme dei risultati favorevoli E? Contiene solo la possibilità (3; 5), quindi la probabilità è uguale a

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Qual è la probabilità che lanciando due dadi, uno bianco e uno nero, escano i numeri 3 e 5? Questo esempio è simile al precedente, solo che non richiediamo che il 3 esca sul dado bianco e il 5 sul dado nero. In breve, su uno dei dadi deve uscire il 3 e sull’altro il 5. In questo modo abbiamo più possibilità: oltre a (3; 5) c’è anche (5; 3). La probabilità di questo evento F è quindi uguale a:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Qual è la probabilità che lanciando due dadi esca almeno un sei? Procediamo per gradi: se il sei esce sul primo dado, sul secondo dado possono uscire i numeri da 1 a 5. Sono cinque possibilità. Se il sei esce sul secondo dado, sul primo possono uscire i numeri da 1 a 5. Sono altre cinque possibilità. Infine il sei può uscire su entrambi i dadi — ed è un’altra possibilità. In tutto abbiamo quindi 5 + 5 + 1 = 11 possibilità. L’insieme dei risultati favorevoli G è fatto così: G = {(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6), (6; 6)}. Otteniamo la probabilità:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\mathrm{\Omega }|}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. In una classe ci sono 30 alunni. Qual è la probabilità che l’alunno Matteo venga interrogato in storia, se la prof. interroga sempre due alunni per lezione e finora non è stato ancora interrogato nessuno? Per calcolare la probabilità dobbiamo calcolare quante coppie diverse di alunni esistono e quante coppie diverse di alunni esistono in cui uno dei due è Matteo. Poiché non importa in quale ordine la prof. interroga gli alunni, useremo le combinazioni.

   Ora è semplice. Abbiamo in tutto 30 alunni e ci chiediamo quante coppie diverse possiamo formare. Questo ci porta al coefficiente binomiale

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   E in quante coppie c’è anche Matteo? Se uno dei due è Matteo, restano 29 alunni con cui Matteo può formare la coppia (con se stesso non può formarla, perciò 30-1=29). Ora conosciamo il numero di tutti i casi possibili e il numero dei casi favorevoli, quindi sostituiamo nella formula:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Osservazione: il numero di tutte le coppie si può calcolare anche senza le combinazioni. In che modo potremmo formare tutte le coppie, se abbiamo una classe di 30 alunni? Prendendo ogni volta un alunno e aggiungendogli a uno a uno tutti gli altri. Vuol dire che prendiamo, per esempio, Marco e gli affianchiamo tutti gli altri alunni, cioè formiamo 29 coppie. Lo facciamo con ogni alunno, cioè con tutti e 30. In totale otteniamo 30 · 29 = 870 coppie. Tuttavia ogni coppia compare due volte: una volta abbiamo la coppia (Marco; Giulia) e un’altra volta (Giulia; Marco) (a seconda che Marco fosse quello a cui si abbinava il resto della classe o quello che veniva abbinato a Giulia). Dividiamo quindi ancora questo risultato per due e abbiamo il risultato finale: 870 / 2 = 435.

9. Qual è la probabilità che da una scarpiera in cui ci sono dodici paia di scarpe estraiamo esattamente tre scarpe sinistre? È un esempio molto pratico, tratto dalla vita di tutti i giorni: sicuramente ti sarà capitato di voler saperlo. Cominciamo calcolando quante terne diverse possiamo estrarre dalla scarpiera. Ci serviranno le combinazioni, perché non importa in quale ordine estraiamo le scarpe. Abbiamo in tutto 24 scarpe e ne vogliamo estrarre 3. Otteniamo il coefficiente binomiale:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Abbiamo così calcolato che esistono in tutto 2024 combinazioni diverse di tre scarpe che possiamo estrarre dalla scarpiera. Ora dobbiamo calcolare quali combinazioni sono favorevoli, cioè quali combinazioni di tre scarpe contengono solo scarpe sinistre. Sappiamo che nella scarpiera ci sono in tutto 12 scarpe sinistre. Dobbiamo quindi solo calcolare quante combinazioni possiamo formare con queste 12 scarpe. Questo porta di nuovo a un coefficiente binomiale:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Esistono quindi 220 combinazioni che contengono sempre e solo scarpe sinistre. È tutto ciò che ci serve sapere, ora basta sostituire nella formula:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Abbiamo quindi circa il dieci per cento di probabilità di estrarre tre scarpe e che siano tutte sinistre.