Binomio di Newton

Il binomio di Newton è una generalizzazione delle formule classiche come (a + b)², ottenuta con l’aiuto del calcolo combinatorio.

Motivazione

Conosci certamente le formule per calcolare (a + b)² e (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

La domanda naturale è se queste formule si possano generalizzare a un qualsiasi numero naturale n, cioè se si possa calcolare (a + b)ⁿ.

Come si ricava la formula

Naturalmente si può, ed è proprio a questo che serve il binomio di Newton. Proviamo a vedere come proseguirebbe questo sviluppo per n = 4 e n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Ormai dovresti vedere una certa regolarità. Se abbiamo l’espressione (a + b)ⁿ, a destra iniziamo sempre con il termine aⁿ. Anche il secondo termine contiene la variabile a, ma con l’esponente diminuito di uno. Per esempio, nello sviluppo di (a + b)⁴ il primo termine a destra è a⁴ e il secondo è a³. Ogni termine successivo contiene la variabile a con un esponente di uno più basso rispetto al termine precedente. La variabile b invece cresce. All’inizio non abbiamo la variabile b, o meglio la abbiamo, ma con esponente zero: b⁰ = 1. Nel secondo termine b ha esponente uno, poi due e così via.

In tutto ciò vale una regola semplice: la somma degli esponenti deve essere sempre uguale a n. Se consideriamo l’ultimo sviluppo, quello di (a + b)⁵, per esempio il terzo termine è 10a³ · b² e la somma degli esponenti delle variabili a e b è proprio 5.

L’ultima cosa da capire è come saranno i coefficienti (i numeri davanti alle variabili) di ciascun termine. Noterai di sicuro che questi coefficienti sono simmetrici: per (a + b)⁴ abbiamo i coefficienti 1, 4, 6, 4, 1, per (a + b)⁵ abbiamo 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ricorda che a⁴ = 1 · a⁴, per questo scrivo qui l’uno anche se nelle formule non compare esplicitamente. Un’altra relazione la vedremo con il triangolo di Tartaglia.

Triangolo di Tartaglia

Il triangolo di Tartaglia è un comodo strumento per calcolare lo sviluppo del binomio. Il triangolo di Tartaglia è formato da numeri e vale che un numero posto sotto altri due è uguale alla loro somma. Detto così sembra complicato, ma guardando il triangolo tutto sarà chiaro:

Guarda per esempio il numero quattro. Sopra di esso si trovano i numeri 1 e 3. E la somma 1+3 dà proprio 4. Lo stesso vale per gli altri numeri.

E come usiamo il triangolo di Tartaglia? Se guardi i numeri delle singole righe, scoprirai che assomigliano molto ai coefficienti dello sviluppo del binomio. Per esempio, per (a + b)² abbiamo i coefficienti 1, 2, 1, che sono esattamente la seconda riga. Per (a + b)⁴ abbiamo i coefficienti 1, 4, 6, 4, 1, che sono esattamente la quarta riga. Se dobbiamo calcolare (a + b)ⁿ, basta guardare la riga numero n del triangolo di Tartaglia.

Formula del binomio di Newton

Formalmente il binomio di Newton si enuncia così:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

La somma va da zero a n, estremi inclusi. Il numero degli addendi è quindi n + 1. Quella cosa tra parentesi è il coefficiente binomiale, un concetto del calcolo combinatorio che rappresenta il numero di combinazioni diverse con cui si può ottenere un dato termine dello sviluppo del binomio. Il resto sono solo variabili con gli esponenti opportuni. Osserva che la somma degli esponenti è davvero uguale a n: n − k + k = n.

Esempi

Un esempio semplice: calcola con il binomio di Newton (a + 2b)⁴. Per prima cosa guardiamo nel triangolo di Tartaglia la quarta riga. Ci dice che i coefficienti saranno 1, 4, 6, 4, 1. Ora non resta che inserire via via gli esponenti. Nel primo termine ci sarà solo a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

Nel secondo termine gli esponenti sono distribuiti nella coppia 3, 1, quindi otteniamo a³(2b)¹. L’elevamento alla prima non cambia l’espressione, quindi possiamo scrivere a³2b. Il coefficiente del secondo termine è 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

Il terzo termine avrà gli esponenti 2, 2. Qui un po’ di attenzione: eleviamo al quadrato tutto 2b, cioè così: (2b)², che è uguale a: (2b)² = 4b². Lo scriviamo nello sviluppo con il coefficiente 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

Il quarto termine avrà la forma a(2b)³. Dopo l’elevamento a potenza otteniamo a8b³. Lo scriviamo con il coefficiente 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

E l’ultimo termine sarà semplicemente (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Ora basta sistemare un po’ l’espressione. Nel termine 4a³2b possiamo mettere il due all’inizio e moltiplicare 2 · 4 = 8. Otteniamo così 8a³b. Se facciamo lo stesso con il resto, otteniamo il risultato:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Osserva che a questo punto i coefficienti non coincidono più con i numeri del triangolo di Tartaglia.