Problema di Monty Hall

Il problema delle tre porte, noto anche come problema di Monty Hall, è un problema di probabilità che riesce a confondere più di una persona.

Il problema

Immagina tre porte. Il conduttore Monty Hall mette un’auto dietro una porta e una capra dietro ciascuna delle altre due. Il tuo compito è trovare e scegliere la porta dietro cui c’è l’auto. A questo punto ti invita a scegliere una delle tre porte, che chiamiamo A, B e C. Tu scegli una porta, diciamo B. Entra poi in gioco il conduttore, che tra le porte rimaste, cioè A, C, apre quella dietro cui si nasconde una capra, cioè ti rivela una porta che sicuramente non nasconde l’auto. Diciamo che apra la porta A.

Il punto cruciale di tutto il problema è nel passo seguente: il conduttore ti offre la possibilità di cambiare la tua scelta. Prima hai scelto la porta B, poi il conduttore ti ha detto che dietro la porta A l’auto non c’è e ti propone di passare alla porta C. Ma puoi anche tenere la scelta iniziale B.

Cosa decidi? È più probabile che l’auto sia dietro la porta B o dietro la porta C? Oppure è indifferente?

La soluzione

Hai tre porte. Una porta è fuori gioco, quindi in realtà ti restano solo due porte. Dietro una di queste due porte l’auto c’è di sicuro. Delle due porte rimaste non sai nulla e non hai a disposizione altri indizi. Quindi la probabilità è ovviamente 50% per entrambe le porte.

È più o meno il ragionamento di gran parte delle persone, quindi non preoccuparti se l’hai pensato anche tu. Ma la soluzione è ovviamente sbagliata :-).

La soluzione corretta

Conviene passare alla porta che il conduttore non ha eliminato. Per capirlo scriviamo le probabilità fin dall’inizio. Quando scegli la porta per la prima volta, la probabilità che proprio dietro ci sia l’auto è 1/3. Non abbiamo altri indizi, quindi la probabilità è distribuita in modo uniforme, 1/3 per ogni porta.

Se scegli la porta B, hai quindi una probabilità di 1/3 che dietro ci sia l’auto. Allo stesso tempo c’è una probabilità di 2/3 che l’auto si trovi dietro la porta A o C. È dunque più probabile che l’auto si trovi dietro le porte che non abbiamo scelto. Questo è importante.

Nel passo successivo entra in gioco il conduttore e apre una delle porte dietro cui non c’è l’auto. Il conduttore apre la porta A. Dietro la porta A l’auto quindi non c’è. Che ne è di quella probabilità di 2/3? Sappiamo che la probabilità che l’auto sia dietro la porta A o C è 2/3 e allo stesso tempo sappiamo che dietro la porta A non c’è. La probabilità di 2/3 si riversa quindi sulla porta C. La probabilità che l’auto sia dietro la porta C è 2/3.

La nostra probabilità per la porta B invece rimane la stessa, non è cambiata in alcun modo. Quindi abbiamo una probabilità di 1/3 che l’auto sia dietro la porta B, quella che abbiamo scelto, e una probabilità di 2/3 che sia dietro la porta C, a cui possiamo passare. È quindi ragionevole cambiare scelta.

Più porte

Forse si capisce meglio l’esempio se aumentiamo il numero di porte e modifichiamo il problema così: immagina dieci porte. All’inizio il concorrente sceglie una porta e il conduttore apre tutte le porte, tranne quella che abbiamo scelto e quella dietro cui c’è l’auto. Il problema è praticamente uguale a quello precedente, solo che lì, quando il conduttore apriva tutte le porte, ne apriva una sola, perché non poteva aprirne di più.

All’inizio scegli la porta 1. La probabilità che dietro ci sia l’auto è 1/10. C’è una probabilità di 9/10 che l’auto sia dietro un’altra porta. Poi il conduttore elimina 8 porte dietro cui sicuramente l’auto non c’è e ti restano di nuovo solo due porte. La probabilità che l’auto sia dietro la porta che il conduttore ti ha lasciato è 9/10, mentre la probabilità che sia dietro la porta che hai scelto è ancora 1/10.

Altre risorse

• Wikipedia