Disposizioni

Usiamo le disposizioni quando da un insieme di oggetti ne scegliamo un certo numero e conta l’ordine in cui li scegliamo.

Deduzione della formula

Cominciamo con un tipico problema sulle disposizioni: in un paese ogni anno si svolge una gara a chi mangia più gnocchi alla prugna. In finale sono arrivati sette concorrenti unti e bisunti. Calcola in quanti modi diversi questi sette partecipanti possono occupare i primi tre posti.

È importante capire che in questo esempio conta l’ordine. Per esempio, se sappiamo che ai primi tre posti si classificano Marco, Matteo e Luca, questa terna dà luogo in tutto a sei classifiche diverse:

• Marco, Matteo, Luca;
• Marco, Luca, Matteo;
• Matteo, Marco, Luca;
• Matteo, Luca, Marco;
• Luca, Marco, Matteo;
• Luca, Matteo, Marco.

Sono tutte classifiche diverse e vogliamo calcolare quante classifiche diverse in tutto riusciamo a costruire quando i concorrenti sono 7.

Per farlo usiamo il principio del prodotto. Diciamo che scegliamo terne della forma (x₁; x₂; x₃), dove x₁ è il concorrente arrivato al primo posto e così via. Quali concorrenti possiamo mettere al posto di x₁? Tutti, quindi al posto di x₁ possiamo mettere 7 concorrenti. Quali possiamo mettere al posto di x₂? Tutti tranne quello che abbiamo già messo al primo posto, quindi al posto di x₂ possiamo mettere 7 − 1 = 6 concorrenti. Al posto di x₃ possiamo mettere i concorrenti che non sono né al primo né al secondo posto, quindi abbiamo 7 − 2 = 5 possibilità. Applichiamo il principio del prodotto e otteniamo il numero totale di possibilità: 7 · 6 · 5 = 210.

Possiamo osservare che, se volessimo conoscere il numero di tutte le possibilità per i primi 4 posti, al posto di x₄ potremmo mettere 7 − 3 = 4 concorrenti, quindi il numero totale di possibilità sarebbe 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Che cosa ne possiamo dedurre?

Se abbiamo un insieme di n elementi (qui nell’esempio i 7 mangiatori) e ne scegliamo 3 tenendo conto dell’ordine, il risultato è uguale a n · (n − 1) · (n − 2). Al primo posto si possono classificare tutti, al successivo uno in meno e così via. Da qui possiamo ricavare la formula generale per la scelta di k elementi da un insieme di n elementi: il numero di possibilità sarà uguale a n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1).

Possiamo trasformare ulteriormente questa formula con l’aiuto del fattoriale. Se guardiamo il fattoriale di sette: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 e come abbiamo calcolato il numero di tutte le classifiche del podio, 7 · 6 · 5, vediamo una certa somiglianza. Dobbiamo solo liberarci della parte finale, cioè dobbiamo dividere 7! per 4 · 3 · 2 · 1, così rimane solo 7 · 6 · 5. E a che cosa è uguale l’espressione 4 · 3 · 2 · 1? È uguale a 4!.

Possiamo quindi scrivere che, se abbiamo un insieme di n elementi e ne scegliamo in tutto k tenendo conto dell’ordine, abbiamo in tutto

$$D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}$$

possibilità. Se sostituiamo nella formula i numeri della gara degli gnocchi:

$$D_{7,3}=\frac{7!}{(7-3)!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=7\cdot 6\cdot 5=210.$$

Calcolatrice

La calcolatrice seguente calcola il numero di disposizioni per n e k dati.

Esercizi svolti

1. Restiamo sulla gara degli gnocchi. Come cambierebbe il numero di possibili classifiche del podio se sapessimo che alla gara è venuto Giorgio, che è un fenomeno e vince sempre? Cioè, quante classifiche diverse del podio esistono, se abbiamo 7 concorrenti e Giorgio vince di sicuro?

È di nuovo una semplice disposizione: il primo posto è sicuro e tra i restanti 6 concorrenti dobbiamo determinare come possono occupare il secondo e il terzo posto. Scegliamo quindi 2 elementi da un insieme di 6 elementi, il che porta alla disposizione

$$D_{6,2}=\frac{6!}{(6-2)!}=30$$

2. Tanto tempo fa, quando Giorgio non era ancora un tale fenomeno, si classificava regolarmente tra i primi tre. Quante classifiche diverse del podio esistono, se abbiamo 7 concorrenti e Giorgio ottiene di sicuro una medaglia?

   Questo esempio si distingue dal precedente perché non sappiamo in quale posizione si sia classificato Giorgio: poteva arrivare secondo o addirittura terzo, cosa di cui ancora oggi si vergogna. Dobbiamo quindi calcolare in tutto tre disposizioni diverse: nel caso in cui Giorgio abbia vinto, poi se avesse ottenuto la medaglia d’argento e infine la medaglia di bronzo. Ogni volta però rimangono soltanto due posti in cui può classificarsi qualcun altro. Se per esempio Giorgio è stato secondo, gli altri partecipanti potevano classificarsi o al primo o al terzo posto. Calcoliamo quindi di nuovo una disposizione di sei elementi di classe due, solo che dobbiamo calcolarla tre volte, per le tre diverse posizioni di Giorgio. Il numero di tutte le classifiche è quindi uguale a:

   $$3\cdot D_{6,2}=3\cdot \frac{6!}{(6-2)!}=3\cdot 30=90$$

   Osserva che il tre davanti alla disposizione possiamo scriverlo come D_3,1, perché in realtà scegliamo un elemento (una posizione precisa) da un insieme di tre elementi (le tre posizioni sul podio).

3. In una scuola ci sono in tutto 20 insegnanti. Tra poco ci sarà l’esame di maturità e bisogna formare una commissione con questa composizione: un presidente, un commissario buono e un commissario cattivo. Quante possibilità esistono in tutto?

   Per prima cosa dobbiamo rispondere alla domanda se l’ordine conta: sì, conta, tre insegnanti possiamo di nuovo scambiarli in sei modi diversi. Ora è semplice: si tratta di una disposizione di 20 elementi di classe 3:

   $$D_{20,3}=\frac{20!}{17!}=6840.$$

4. Quanti numeri di tre cifre possiamo comporre con le cifre {0, 1, 2, 3, 4, 5}, se nessuna cifra può ripetersi?

   L’ordine conta? Sì, conta, 123 è un numero diverso da 321. Quante terne diverse esistono? È una semplice disposizione di 6 elementi di classe 3:

   $$D_{6,3}=\frac{6!}{3!}=120.$$

   Ma dobbiamo ancora togliere le disposizioni che hanno lo zero al primo posto, perché 012 non è un numero di tre cifre. La domanda ora è: quante terne diverse iniziano con lo zero? In tal caso le cifre cambiano solo negli altri due posti (le terne hanno la forma (0; x₂; x₃)), quindi cerchiamo quante coppie diverse possiamo formare usando le cifre {1, 2, 3, 4, 5}. È di nuovo semplice: D_5,2 = 5!/3! = 20. Esistono dunque 20 terne che iniziano con lo zero.

   Il numero totale di numeri di tre cifre composti dalle cifre {0, 1, 2, 3, 4, 5} è quindi 120 − 20 = 100.

5. Quanti numeri diversi di tre cifre possiamo comporre con le cifre {1, 2, 3, 4, 5}, se nessuna cifra può ripetersi e il numero ottenuto deve essere dispari?

   L’ordine conta, perché 123 è un numero diverso da 321. Componiamo un numero di tre cifre dispari, il che significa che nelle prime due posizioni può esserci una cifra qualsiasi, ma all’ultimo posto deve esserci una delle cifre {1, 3, 5}. Calcoliamo prima il numero di tutte le terne che riusciamo a comporre con cinque cifre: D_5,3 = 5! / 2! = 60.

   Ogni cifra comparirà all’ultimo posto lo stesso numero di volte, quindi se abbiamo 5 cifre, ciascuna cifra comparirà all’ultimo posto 60 / 5 = 12 volte. Abbiamo tre cifre {1, 3, 5} che possono comparire all’ultimo posto, quindi abbiamo 12 numeri diversi che finiscono con 1, 12 numeri che finiscono con 3 e 12 numeri che finiscono con 5. Usiamo il principio della somma e otteniamo in tutto 12 + 12 + 12 = 36 possibilità.

6. Calcola x, sapendo che D_x,2 = 72. In altre parole: da un insieme di x elementi scegliamo delle coppie e sappiamo che riusciamo a scegliere in tutto 72 coppie diverse. Quanto era grande l’insieme da cui abbiamo scelto le coppie? Scriviamo per esteso:

   $$D_{x,2}=\frac{x!}{(x-2)!}=72$$

   Poi semplifichiamo:

   $$\begin{array}{rcl}\frac{x!}{(x-2)!}& =& 72\\ \frac{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)!}{(x-2)!}& =& 72\\ x\cdot (x-1)& =& 72\\ x^2-x& =& 72\\ x^2-x-72& =& 0\end{array}$$

   Questa è ormai una classica equazione di secondo grado, quindi la risolviamo con il discriminante oppure possiamo riscrivere l’equazione nella forma

   $$(x+8)\cdot (x-9)=0$$

   da cui possiamo già leggere la soluzione: x₁ = −8 e x₂ = 9. La soluzione negativa non ci interessa, perché un insieme non può avere un numero negativo di elementi, quindi la soluzione dell’equazione originale è x = 9, l’insieme aveva nove elementi.