Elementi di statistica

La statistica è la scienza che cerca di studiare dati reali e, con l’aiuto della teoria della probabilità, di descriverli.

Una sezione dedicata alla statistica

Questo è un articolo vecchio e non aggiornato: la statistica ha ormai una propria sezione, con l’articolo introduttivo Concetti di base della statistica.

Concetti di base

In statistica si lavora con alcuni concetti fondamentali, che descriviamo qui.

Prima di tutto c’è l’insieme di dati (o collettivo statistico), cioè un insieme finito di dati che vogliamo studiare. I dati possono essere generici, in sostanza qualunque cosa. Se vuoi studiare lo stipendio medio in Italia, l’insieme di dati sarà l’insieme di tutte le persone che vivono in Italia. Il numero di elementi dell’insieme di dati si chiama numerosità. La numerosità dell’insieme di dati che abbiamo definito sarebbe quindi uguale al numero degli abitanti dell’Italia.

Poi esiste il concetto di unità statistica, cioè un elemento concreto dell’insieme di dati. Nel nostro caso l’unità statistica sarebbe una persona concreta.

Infine abbiamo il carattere statistico, cioè ciò che vogliamo misurare. Nel nostro esempio il carattere statistico sarebbe proprio lo stipendio. Un carattere statistico può essere qualitativo oppure quantitativo. Un carattere quantitativo (quantità = misura, numero) è un carattere che si può esprimere con numeri (per esempio proprio lo stipendio, l’altezza, il numero di figli, …), mentre un carattere qualitativo si esprime a parole (il colore, sì/no, la professione, …).

Frequenze

La frequenza può essere relativa oppure assoluta e indica quante volte compare un valore del carattere nell’insieme di dati – in modo assoluto, oppure in modo relativo rispetto al numero totale di elementi dell’insieme.

È importante notare che per calcolare la frequenza dobbiamo applicare il carattere statistico: se volessimo calcolare la frequenza assoluta di un’unità statistica, arriveremmo per forza a zero oppure a uno, perché l’insieme di dati è un insieme e un insieme come tale non può contenere più elementi uguali.

Dunque la frequenza assoluta del valore z del carattere statistico indica il numero di volte in cui il valore z compare nell’insieme di dati S. Esempio: consideriamo una classe di dieci alunni. Ogni alunno ha ricevuto in matematica un punteggio da 1 a 5 (5 è il migliore). I punteggi sono riportati nella tabella seguente:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 4& 1& 3& 4& 5& 5& 4& 2& 5& 3\end{array}$$

Osservazione: l’insieme di dati di questo esempio sarebbero i dieci compagni di classe, qualcosa come

$$S=\{\text{Luca},\text{Giulia},\text{Marco},\dots \}$$

Per semplicità nella tabella abbiamo nella prima riga un numero identificativo dell’alunno, quindi nella prima riga ci sono le unità statistiche, cioè gli elementi dell’insieme di dati. Nella seconda riga abbiamo i valori del carattere statistico, cioè i valori «punteggio finale in matematica» di quell’alunno.

La frequenza assoluta del valore (punteggio) z = 3 sarebbe quindi uguale a due: solo due alunni hanno ricevuto il punteggio 3 (sono gli «alunni» 3 e 10). La frequenza assoluta del valore z = 5 sarebbe tre (gli «alunni» 5, 6 e 9).

La frequenza relativa indica quale percentuale dei valori del carattere dell’insieme di dati è uguale al valore z. La frequenza relativa del valore z si calcola così:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

dove z_a è la frequenza assoluta del valore z e |S| è la numerosità dell’insieme di dati, cioè il numero dei suoi elementi. La frequenza relativa del punteggio tre sarebbe quindi:

$$r_3=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

La numerosità del nostro insieme è dieci, perché in classe abbiamo dieci alunni. La scrittura in percentuale si ottiene moltiplicando per cento, quindi otterremmo 20%. La frequenza relativa del punteggio cinque sarebbe

$$r_5=\frac{3}{10}.$$

Media aritmetica

La media aritmetica, o spesso solo media, è la media di tutti i valori dell’insieme di dati. Con la parola valore si intende il valore dopo l’applicazione del carattere statistico. La media si calcola sommando tutti i valori e dividendo per il numero dei valori dell’insieme. Quindi più o meno così:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Ho aggiunto anche l’espressione con la sommatoria, nel caso ti sembri più leggibile. Ma basta anche l’espressione precedente con la frazione. I valori x rappresentano tutti i valori del nostro insieme.

Esempio: prendiamo i dati della tabella precedente e calcoliamo il punteggio medio per alunno.

$$\bar{x}=\frac{4+1+3+4+5+5+4+2+5+3}{10}=\frac{36}{10}=3,6$$

Nella nostra classe il punteggio medio è 3,6. Come vedi, la media aritmetica può darci anche un valore che in realtà non è affatto valido – non si può dare un punteggio di 3,6.

La media aritmetica è anche poco utilizzabile quando una parte dei dati ha un valore completamente diverso dal resto. Quindi, se abbiamo un insieme con i valori 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, la media aritmetica risulta

$$\bar{x}=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Vediamo che il valore ottenuto è lontano da tutti i valori dell’insieme. È diverse volte più grande dei primi sei numeri e diverse volte più piccolo dell’ultimo valore. È un problema che può risolvere per esempio la mediana, vedi più avanti. Almeno ora sai perché due terzi delle persone non raggiungono lo stipendio medio: esiste un piccolo gruppo di persone con stipendi molto superiori alla norma, che alzano la media aritmetica.

Media geometrica

La media geometrica si calcola in modo simile alla media aritmetica, solo che al posto dell’addizione si usa la moltiplicazione e al posto della divisione la radice. Quindi la media geometrica si calcola così:

$${\bar{x}}_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

La media geometrica si può usare come indicatore di crescita. Per esempio, supponiamo che il prezzo di un prodotto sia aumentato del 10% in un anno, l’anno dopo del 15% e quello successivo del 5%. Il prezzo originale c dopo questi tre anni era quindi pari a

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

La media geometrica di questi coefficienti sarebbe:

$${\bar{x}}_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

Cosa significa? Che se il prezzo ogni anno fosse moltiplicato esattamente per il numero 1,0992419 (cioè aumentasse di circa il 9,92%), il prezzo finale sarebbe lo stesso:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Moda e mediana

La moda di un carattere è il valore che ha la frequenza più alta e si indica con Mod(x). Se torniamo all’esempio dei punteggi, le mode sono i valori 4 e 5, perché compaiono più spesso – entrambi hanno frequenza assoluta 3.

La mediana è invece il valore centrale e si indica con Med(x). Se sappiamo ordinare i valori in una successione non decrescente

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

la mediana è il valore che sta in mezzo a questa successione. Il valore centrale è diverso a seconda che la successione abbia un numero dispari o pari di elementi. Se è dispari, la mediana è l’elemento nella posizione

$$\text{Med}(x)=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Se la successione ha un numero pari di elementi, non c’è un elemento esattamente al centro (esempio: la successione 1, 2, 3, 4 semplicemente non ha un elemento centrale). Perciò prendiamo la media dei due valori centrali (la media dei valori 2 e 3). Quindi la formula per n pari è:

$$\text{Med}(x)=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Torniamo all’esempio che illustrava la media aritmetica usata male. Avevamo l’insieme di valori s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. La moda sarebbe uguale a due, è l’unico numero che si ripete. Per calcolare la mediana ordiniamo i numeri in una successione:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

La successione ha sette elementi, quindi l’elemento centrale è a₄ ed è uguale a tre.