Probabilité conditionnelle

Lors du calcul d’une probabilité, on peut ajouter à l’expérience aléatoire une condition supplémentaire. Un exemple classique de probabilité conditionnelle est le suivant : on lance trois dés. Quelle est la probabilité que la somme totale soit égale à sept, sachant que l’un des dés affiche un trois ?

D’où vient la formule

Considérons une expérience aléatoire (par exemple un lancer de dés) et deux événements différents A et B tels que P(B) ≠ 0, c.-à-d. que l’événement B n’est pas impossible. On peut alors parler de probabilité conditionnelle lorsqu’on se demande quelle est la probabilité de l’événement A sachant que B s’est réalisé. On la note P_B(A).

Essayons de découvrir pas à pas la formule qui permet de calculer une probabilité conditionnelle. Pour simplifier, imaginons un dé tétraédrique, c.-à-d. un dé qui ne peut donner que les nombres 1, 2, 3 ou 4. Résolvons le problème suivant : en lançant deux dés tétraédriques, quelle est la probabilité que la somme des valeurs soit égale à six, sachant qu’au moins un des dés affiche un nombre inférieur à trois ?

Commençons par écrire toutes les possibilités que l’on peut obtenir avec deux dés tétraédriques. Il y en a 4 · 4 = 16 au total.

$$\begin{array}{rcl}& & (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),\\ & & (4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\end{array}$$

Quels sont les événements A et B ? L’événement A est : « la somme des valeurs sur les dés est égale à six », et l’événement B est : « au moins un des dés affiche un nombre inférieur à trois ». Ce qui nous intéresse, c’est la probabilité conditionnelle P_B(A), c.-à-d. la probabilité que l’événement A se réalise, sachant que B s’est réalisé. Dans le tableau précédent, on ne garde d’abord que les paires qui sont aussi dans l’événement B, c.-à-d. les paires où au moins un nombre est inférieur à trois. On obtient :

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),\\ & & (4;1),(4;2)\end{array}$$

On peut voir cela comme l’ensemble de tous les résultats possibles. En réalité, deux dés peuvent bien donner deux quatre, mais grâce à la condition supplémentaire B, on dit que ce résultat ne nous intéresse pas : seuls nous intéressent les résultats où au moins un dé affiche un nombre inférieur à trois.

Il ne reste plus qu’à se demander quelle est la probabilité que A se réalise, lorsque l’ensemble de tous les résultats est égal à B ? C’est exactement ce que dit la probabilité conditionnelle. On trouve donc, dans cet ensemble B, les paires qui donnent la somme six :

$$(2;4),(4;2)$$

Comment calculer la probabilité maintenant ? Il y a 2 résultats favorables, et l’ensemble de tous les résultats a pour taille celle de B, soit 12. La probabilité conditionnelle est donc égale à

$$P_B(A)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Il s’agit maintenant de généraliser. Nous avons dit que l’on peut voir B comme l’ensemble de tous les résultats possibles. Quel serait l’ensemble des résultats favorables ? Ce serait l’ensemble des résultats qui sont dans A (c’est l’événement qui nous intéresse), mais aussi dans B (c’est la condition qui nous limite). Autrement dit : il existe encore une autre possibilité pour que deux dés tétraédriques donnent la somme 6, à savoir lorsque les deux affichent un trois. Mais ce résultat ne satisfait pas la condition B, qui exige qu’au moins un nombre soit inférieur à trois. Nous ne l’incluons donc pas dans les résultats favorables. L’ensemble des résultats favorables est donc A ∩ B, l’intersection des deux événements. En rassemblant le tout, on obtient la formule :

$$P_B(A)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

La formule montre pourquoi nous avons supposé que P(B) ≠ 0 : sinon, on diviserait par zéro, ce qui pourrait créer un trou noir.

La formule précédente vaut lorsqu’on parle de la probabilité en situation d’équiprobabilité, où tous les événements élémentaires ont la même probabilité. On peut réécrire la formule sous une forme plus générale :

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Exercices corrigés

1. On lance deux dés, un noir et un blanc. Quelle est la probabilité que le dé blanc affiche un quatre, sachant que la somme des deux valeurs est égale à sept ? Décrivons cela : événement A : « le dé blanc affiche un quatre », événement B (la condition) : « la somme vaut sept ». L’événement B contient toutes les paires dont la somme vaut 7, c.-à-d. B = {(1 ; 6) ; (2 ; 5) ; (3 ; 4) ; (4 ; 3) ; (5 ; 2) ; (6 ; 1)}. Calculons maintenant A ∩ B, c.-à-d. quelles paires de B sont aussi dans A, autrement dit pour lesquelles le dé blanc affiche un quatre. Supposons que les valeurs soient écrites sous la forme (noir ; blanc) : la seule paire appartenant à A ∩ B est (3 ; 4). On applique maintenant la formule :

   $$P_B(A)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$