Betinget sannsynlighet

Når vi regner ut sannsynlighet, kan vi legge en ekstra betingelse til det tilfeldige forsøket. En klassisk oppgave om betinget sannsynlighet kan dermed være følgende eksempel: Vi kaster tre terninger. Hva er sannsynligheten for at summen blir lik sju, når vi vet at det kom en treer på en av terningene?

Utledning av formelen

La oss ha et tilfeldig forsøk (for eksempel et terningkast) og to ulike hendelser A og B slik at P(B) ≠ 0, altså at hendelsen B ikke er umulig. Da kan vi snakke om betinget sannsynlighet hvis vi spør: Hva er sannsynligheten for hendelsen A, gitt at hendelsen B har inntruffet? Vi skriver P(A ∣ B).

Vi prøver å komme fram til formelen vi skal bruke til å regne ut betinget sannsynlighet, steg for steg. For enkelhets skyld tenker vi oss en firesidet terning, altså en terning som bare kan vise tallene 1, 2, 3 eller 4. Vi prøver å løse oppgaven: Når vi kaster to firesidede terninger, hva er sannsynligheten for at summen av verdiene blir lik seks, hvis minst én av terningene viste et tall mindre enn tre?

Vi begynner med å skrive ut alle mulighetene vi kan få med to firesidede terninger. Det er til sammen 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Hvordan ser hendelsene A og B ut? Hendelsen A er: «summen av verdiene på terningene er lik seks», og hendelsen B er: «minst én av terningene viste et tall mindre enn tre». Og vi er interessert i den betingede sannsynligheten P(A ∣ B) — hva er sannsynligheten for at hendelsen A inntreffer, når vi vet at hendelsen B har inntruffet. Først filtrerer vi ut fra tabellen ovenfor bare de parene som samtidig hører til hendelsen B, altså der minst ett av tallene i paret er mindre enn tre. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Dette kan vi i bunn og grunn se på som mengden av alle mulige utfall. Egentlig kan terningene vise to firere, men med den ekstra betingelsen B sier vi at et slikt utfall ikke interesserer oss — vi er bare interessert i utfallene der minst én terning viste et tall mindre enn tre.

Og nå spør vi bare: Hva er sannsynligheten for at hendelsen A inntraff, når mengden av alle utfall er lik mengden B? Det er alt betinget sannsynlighet sier. Så i denne mengden B finner vi de parene som gir summen seks:

$$(2,4),(4,2)$$

Hvordan regner vi nå ut sannsynligheten? Vi har til sammen 2 gunstige utfall, og mengden av alle utfall er like stor som mengden B, altså 12. Den betingede sannsynligheten er dermed lik

$$P(A\mid B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Og nå gjelder det å generalisere. Vi sa at vi kan se på mengden B som mengden av alle mulige utfall. Hvordan ville mengden av alle gunstige utfall se ut? Det ville være mengden av de utfallene som er i A (det er hendelsen vi er interessert i), men samtidig er i B (det er betingelsen som begrenser oss). Med andre ord: Det finnes én mulighet til for at to firesidede terninger gir summen 6: når begge viser en treer. Men det utfallet oppfyller ikke betingelsen B i vårt tilfelle: minst ett tall er mindre enn tre. Derfor tar vi ikke med dette utfallet blant de gunstige utfallene. Mengden av gunstige utfall er dermed lik: A ∩ B, snittet av de to hendelsene. Når vi setter det sammen, får vi formelen:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

På formelen ser vi hvorfor vi antok at P(B) ≠ 0; hvis denne betingelsen ikke var oppfylt, ville vi dele på null, og da kunne vi lage et svart hull.

Den forrige formelen gjelder hvis vi snakker om den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen, der alle elementære hendelser har samme sannsynlighet for å inntreffe. Formelen kan vi skrive om til en mer generell form:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Løste eksempler

1. Vi kaster to terninger, en svart og en hvit. Hva er sannsynligheten for at den hvite terningen viste en firer, hvis summen av de to verdiene er lik sju? Vi skriver det ut: hendelse A: «den hvite terningen viste en firer», hendelse B (betingelsen): «summen er lik sju». Hendelsen B inneholder alle par av verdier som gir summen 7, altså B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Nå regner vi ut A ∩ B, altså: for hvilke par fra B gjelder at de samtidig er i A, det vil si at den hvite terningen viste en firer? La oss anta at verdiene står på formen (svart, hvit), så det eneste paret som hører til A ∩ B, er (3, 4). Nå setter vi bare inn i formelen:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$