Bedingte Wahrscheinlichkeit

Bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten können wir zu einem Zufallsexperiment auch eine zusätzliche Bedingung hinzufügen. Eine klassische Aufgabe zur bedingten Wahrscheinlichkeit ist zum Beispiel diese: Wir werfen mit drei Würfeln. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Augensumme sieben beträgt, wenn auf einem der Würfel eine Drei fällt?

Herleitung der Formel

Sei ein Zufallsexperiment (z. B. ein Würfelwurf) gegeben und zwei verschiedene Ereignisse A und B mit P(B) ≠ 0, d. h., das Ereignis B ist nicht unmöglich. Dann können wir von einer bedingten Wahrscheinlichkeit sprechen, wenn wir fragen: Wie wahrscheinlich ist das Ereignis A, wenn das Ereignis B eingetreten ist? Wir schreiben P_B(A).

Wir versuchen Schritt für Schritt zu einer Formel zu kommen, mit der wir die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen. Stellen wir uns der Einfachheit halber einen vierseitigen Würfel vor, also einen Würfel, auf dem nur die Zahlen 1, 2, 3 oder 4 fallen können. Wir versuchen die folgende Aufgabe zu lösen: Wenn wir mit zwei vierseitigen Würfeln werfen, wie wahrscheinlich ist es, dass die Summe der Augenzahlen sechs beträgt, wenn auf mindestens einem der Würfel eine Zahl kleiner als drei gefallen ist?

Wir beginnen damit, dass wir aufschreiben, welche Möglichkeiten wir bei zwei vierseitigen Würfeln überhaupt bekommen können. Es sind insgesamt 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Wie sehen die Ereignisse A und B aus? Das Ereignis A lautet: „Die Summe der Augenzahlen auf den Würfeln beträgt sechs“, und das Ereignis B lautet: „Auf mindestens einem der Würfel ist eine Zahl kleiner als drei gefallen“. Uns interessiert die bedingte Wahrscheinlichkeit P_B(A) – die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, wenn wir wissen, dass das Ereignis B eingetreten ist. Zuerst filtern wir aus der vorherigen Tabelle nur die Paare heraus, die zugleich zum Ereignis B gehören, d. h., mindestens eine Zahl im Paar ist kleiner als drei. Wir erhalten:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Das können wir im Grunde als Ergebnismenge ansehen. Tatsächlich können auf den Würfeln auch zwei Vieren fallen, aber mit der zusätzlichen Bedingung B sagen wir, dass uns ein solches Ergebnis nicht interessiert – uns interessieren nur die Ergebnisse, bei denen auf mindestens einem Würfel eine Zahl kleiner als drei gefallen ist.

Und nun fragen wir nur noch, wie wahrscheinlich es ist, dass das Ereignis A eintritt, wenn die Ergebnismenge gleich der Menge B ist. Mehr sagt die bedingte Wahrscheinlichkeit nicht aus. In dieser Menge B suchen wir also die Paare, die die Summe sechs ergeben:

$$(2,4),(4,2)$$

Wie berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit? Wir haben insgesamt 2 günstige Ergebnisse, und die Ergebnismenge hat die Größe der Menge B, also 12. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist somit

$$P_B(A)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Jetzt geht es darum, das zu verallgemeinern. Wir haben gesagt, dass wir die Menge B als Ergebnismenge ansehen können. Wie sähe die Menge aller günstigen Ergebnisse aus? Es wäre die Menge der Ergebnisse, die in A liegen (das ist das Ereignis, das uns interessiert), aber zugleich in B (das ist die Bedingung, die uns einschränkt). Mit anderen Worten: Es gibt noch eine weitere Möglichkeit, wie zwei vierseitige Würfel die Summe 6 ergeben können: wenn auf beiden eine Drei fällt. Das würde in unserem Fall aber die Bedingung B nicht erfüllen: Mindestens eine Zahl ist kleiner als drei. Deshalb zählen wir dieses Ergebnis nicht zu den günstigen Ergebnissen. Die Menge der günstigen Ergebnisse ist also gleich A ∩ B, der Schnittmenge beider Ereignisse. Wenn wir alles zusammensetzen, erhalten wir die Formel:

$$P_B(A)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

An der Formel sehen wir, warum wir P(B) ≠ 0 vorausgesetzt haben; wäre diese Bedingung nicht erfüllt, würden wir durch null teilen und könnten dadurch ein schwarzes Loch erzeugen.

Die vorherige Formel gilt, wenn wir von der Laplace-Wahrscheinlichkeit sprechen, bei der alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Die Formel können wir in eine allgemeinere Form umschreiben:

$$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Gelöste Beispiele

1. Wir werfen zwei Würfel, einen schwarzen und einen weißen. Wie wahrscheinlich ist es, dass auf dem weißen Würfel eine Vier gefallen ist, wenn die Summe beider Augenzahlen sieben beträgt? Wir schreiben es auf: Ereignis A: „Auf dem weißen Würfel ist eine Vier gefallen“, Ereignis B (die Bedingung): „Die Summe ist gleich sieben“. Das Ereignis B enthält alle Paare von Augenzahlen, die als Summe 7 ergeben, d. h. B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Nun bestimmen wir A ∩ B, d. h., für welche Paare aus B gilt, dass sie zugleich in A liegen, also dass auf dem weißen Würfel eine Vier gefallen ist? Nehmen wir an, die Werte haben die Form (schwarz, weiß), dann ist das einzige Paar, das zu A ∩ B gehört, (3, 4). Jetzt setzen wir nur noch in die Formel ein:

$$P_B(A)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$