Probabilitatea condiționată

La calculul probabilității putem adăuga experimentului aleator și o condiție suplimentară. O problemă clasică de probabilitate condiționată poate fi deci următoarea: aruncăm trei zaruri. Care este probabilitatea ca suma totală să fie egală cu șapte, dacă pe unul dintre zaruri a apărut trei?

Deducerea formulei

Fie un experiment aleator (de exemplu aruncarea zarurilor) și două evenimente diferite A și B astfel încât P(B) ≠ 0, adică evenimentul B nu este imposibil. Atunci putem vorbi despre probabilitate condiționată, dacă ne întrebăm care este probabilitatea evenimentului A, dacă s-a produs evenimentul B. O notăm P(A|B).

Încercăm să ajungem treptat la formula cu care vom calcula probabilitatea condiționată. Pentru simplitate, să ne imaginăm un zar cu patru fețe, adică un zar pe care pot apărea doar numerele 1, 2, 3 sau 4. Încercăm să rezolvăm problema: dacă aruncăm două zaruri cu patru fețe, care este probabilitatea ca suma valorilor să fie egală cu șase, dacă cel puțin pe unul dintre zaruri a apărut un număr mai mic decât trei?

Începem prin a scrie toate posibilitățile pe care le putem obține cu două zaruri cu patru fețe. Sunt în total 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Cum arată evenimentele A și B? Evenimentul A este: „suma valorilor de pe zaruri este egală cu șase”, iar evenimentul B este: „cel puțin pe unul dintre zaruri a apărut un număr mai mic decât trei”. Pe noi ne interesează probabilitatea condiționată P(A|B) – care este probabilitatea să se producă evenimentul A, când știm că s-a produs evenimentul B. Mai întâi filtrăm din tabelul anterior doar perechile care fac parte și din evenimentul B, adică cel puțin un număr din pereche este mai mic decât trei. Obținem:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Aceasta o putem privi, în esență, ca mulțimea tuturor rezultatelor posibile. De fapt, pe ambele zaruri poate să apară patru, dar prin condiția suplimentară B spunem că un astfel de rezultat nu ne interesează – ne interesează doar rezultatele în care cel puțin pe un zar a apărut un număr mai mic decât trei.

Și acum ne întrebăm doar care este probabilitatea să se fi produs evenimentul A, dacă mulțimea tuturor rezultatelor este egală cu mulțimea B. Nimic altceva nu spune probabilitatea condiționată. Deci în această mulțime B găsim perechile care dau suma șase:

$$(2,4),(4,2)$$

Cum am calcula acum probabilitatea? Avem în total 2 rezultate favorabile, iar mulțimea tuturor rezultatelor este egală cu cardinalul mulțimii B, adică 12. Probabilitatea condiționată este deci egală cu

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Iar acum e vorba de cum generalizăm. Am spus că drept mulțime a tuturor rezultatelor posibile putem privi mulțimea B. Cum ar arăta mulțimea tuturor rezultatelor favorabile? Ar fi mulțimea rezultatelor care sunt în A (acesta este evenimentul care ne interesează), dar în același timp sunt și în B (aceasta este condiția care ne limitează). Cu alte cuvinte: mai există o posibilitate prin care două zaruri cu patru fețe pot da suma 6: când pe ambele apare trei. Dar în cazul nostru aceasta nu ar trece de condiția B: cel puțin un număr este mai mic decât trei. De aceea nu includem acest rezultat printre cele favorabile. Mulțimea rezultatelor favorabile este deci egală cu: A ∩ B, intersecția celor două evenimente. Dacă punem totul laolaltă, obținem formula:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Din formulă vedem de ce am presupus că P(B) ≠ 0; dacă această condiție nu ar fi îndeplinită, am împărți la zero, ceea ce ar putea crea o gaură neagră.

Formula anterioară este valabilă dacă vorbim despre definiția clasică a probabilității, când toate evenimentele elementare au aceeași probabilitate de apariție. Formula o putem rescrie într-o formă mai generală:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Exemple rezolvate

1. Aruncăm două zaruri, unul negru și unul alb. Care este probabilitatea ca pe zarul alb să fi apărut patru, dacă suma celor două valori este egală cu șapte? Le scriem pe rând: evenimentul A: „pe zarul alb a apărut patru”, evenimentul B (condiția): „suma este egală cu șapte”. Evenimentul B conține toate perechile de valori care dau suma 7, adică B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Acum calculăm A ∩ B, adică ce perechi din B sunt și în A, cu alte cuvinte în care pe zarul alb a apărut patru? Presupunem că valorile sunt scrise sub forma (negru, alb), deci singura pereche care aparține lui A ∩ B este (3, 4). Acum nu mai rămâne decât să înlocuim în formulă:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$