Betingad sannolikhet

När vi beräknar sannolikheter kan vi lägga till ett extra villkor till slumpförsöket. En klassisk uppgift om betingad sannolikhet kan till exempel vara följande: vi kastar tre tärningar. Hur stor är sannolikheten att summan blir sju, givet att en av tärningarna visar en trea?

Härledning av formeln

Tänk dig ett slumpförsök (till exempel ett tärningskast) och två olika händelser A och B sådana att P(B) ≠ 0, alltså att händelsen B inte är omöjlig. Vi talar om betingad sannolikhet när vi frågar: hur stor är sannolikheten för händelsen A, givet att händelsen B har inträffat? Vi skriver P(A ∣ B).

Vi försöker steg för steg komma fram till en formel som vi kan använda för att beräkna den betingade sannolikheten. För enkelhetens skull tänker vi oss en fyrsidig tärning, alltså en tärning som bara kan visa talen 1, 2, 3 eller 4. Vi försöker lösa uppgiften: när vi kastar två fyrsidiga tärningar, hur stor är sannolikheten att summan blir sex, givet att minst en av tärningarna visar ett tal som är mindre än tre?

Vi börjar med att skriva upp alla utfall vi kan få med två fyrsidiga tärningar. Det finns 4 · 4 = 16 stycken.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Hur ser händelserna A och B ut? Händelsen A är: ”summan av tärningarna är sex”, och händelsen B är: ”minst en av tärningarna visar ett tal som är mindre än tre”. Det vi söker är den betingade sannolikheten P(A ∣ B) — hur stor är sannolikheten att A inträffar, givet att vi vet att B har inträffat. Först väljer vi ut ur tabellen de par som också hör till händelsen B, alltså de där minst ett tal i paret är mindre än tre. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Den här mängden kan vi i princip se som utfallsrummet. Egentligen kan tärningarna visa två fyror, men med det extra villkoret B säger vi att ett sådant utfall inte intresserar oss — vi bryr oss bara om de utfall där minst en tärning visar ett tal som är mindre än tre.

Nu frågar vi bara: hur stor är sannolikheten att A inträffar, om utfallsrummet är mängden B? Mer än så säger den betingade sannolikheten inte. I mängden B letar vi alltså upp de par som ger summan sex:

$$(2,4),(4,2)$$

Hur räknar vi nu ut sannolikheten? Vi har sammanlagt 2 gynnsamma utfall, och antalet möjliga utfall är lika med antalet element i mängden B, alltså 12. Den betingade sannolikheten är därför

$$P(A\mid B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Nu gäller det att generalisera. Vi sa att vi kan se mängden B som utfallsrum. Hur ser då mängden av gynnsamma utfall ut? Det är de utfall som finns i A (det är händelsen vi är intresserade av) men samtidigt också i B (det är villkoret som begränsar oss). Med andra ord: det finns ännu ett sätt för två fyrsidiga tärningar att ge summan 6, nämligen att båda visar en trea. Men det utfallet klarar inte villkoret B, att minst ett tal är mindre än tre. Därför tar vi inte med det bland de gynnsamma utfallen. Mängden av gynnsamma utfall är alltså A ∩ B, snittet av de två händelserna. När vi sätter ihop det får vi formeln:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Av formeln ser vi varför vi förutsatte att P(B) ≠ 0. Om det villkoret inte vore uppfyllt skulle vi dividera med noll, och då skulle vi kunna skapa ett svart hål.

Den föregående formeln gäller när vi talar om den klassiska sannolikhetsdefinitionen, där alla elementarhändelser har samma sannolikhet. Formeln kan vi skriva om till en mer allmän form:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Lösta exempel

1. Vi kastar två tärningar, en svart och en vit. Hur stor är sannolikheten att den vita tärningen visar en fyra, givet att summan av de båda talen är sju? Vi skriver upp det: händelse A: ”den vita tärningen visar en fyra”, händelse B (villkoret): ”summan är sju”. Händelsen B innehåller alla talpar som ger summan 7, alltså B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Nu bestämmer vi A ∩ B, alltså för vilka par i B det gäller att de också finns i A, det vill säga att den vita tärningen visar en fyra. Vi antar att talen skrivs på formen (svart, vit), så det enda paret som hör till A ∩ B är (3, 4). Nu behöver vi bara sätta in i formeln:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$