Probabilidade condicional

Ao calcular probabilidades, podemos acrescentar ao experimento aleatório também alguma condição adicional. Um problema clássico de probabilidade condicional pode ser, então, o seguinte exemplo: lançamos três dados. Qual é a probabilidade de que a soma total seja igual a sete, sabendo que em um dos dados saiu o três?

Dedução da fórmula

Considere um experimento aleatório (por exemplo, o lançamento de dados) e dois eventos diferentes A e B tais que P(B) ≠ 0, isto é, o evento B não é impossível. Então podemos falar de probabilidade condicional quando perguntamos: qual é a probabilidade do evento A, dado que o evento B ocorreu? Denotamos por P(A|B).

Vamos tentar chegar aos poucos à fórmula com a qual calcularemos a probabilidade condicional. Para simplificar, imagine um dado tetraédrico, isto é, um dado em que só podem sair os números 1, 2, 3 ou 4. Vamos tentar resolver o problema: se lançamos dois dados tetraédricos, qual é a probabilidade de que a soma dos valores seja igual a seis, sabendo que em pelo menos um dos dados saiu um número menor que três?

Começamos listando todas as possibilidades que podemos obter com dois dados tetraédricos. São 4 · 4 = 16 ao todo.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Como são os eventos A e B? O evento A é: “a soma dos valores nos dados é igual a seis” e o evento B é: “em pelo menos um dos dados saiu um número menor que três”. E nos interessa a probabilidade condicional P(A|B) — a probabilidade de que o evento A ocorra, sabendo que o evento B ocorreu. Primeiro filtramos da tabela anterior apenas os pares que estão ao mesmo tempo no evento B, isto é, em que pelo menos um número do par é menor que três. Obtemos:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

No fundo, podemos enxergar isso como o conjunto de todos os resultados possíveis. Na prática, podem sair dois quatros nos dados, mas com a condição adicional B estamos dizendo que esse resultado não nos interessa — interessam-nos apenas os resultados em que em pelo menos um dado saiu um número menor que três.

E agora só perguntamos: qual é a probabilidade de o evento A ocorrer, se o conjunto de todos os resultados é igual ao conjunto B? A probabilidade condicional não diz nada além disso. Então, nesse conjunto B encontramos os pares que dão soma seis:

$$(2,4),(4,2)$$

Como calcularíamos agora a probabilidade? Temos 2 resultados favoráveis e o conjunto de todos os resultados tem o tamanho do conjunto B, ou seja, 12. A probabilidade condicional é, portanto, igual a

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

E agora a questão é como generalizar. Dissemos que podemos ver o conjunto B como o conjunto de todos os resultados possíveis. Como seria o conjunto de todos os resultados favoráveis? Seria o conjunto dos resultados que estão em A (esse é o evento que nos interessa), mas ao mesmo tempo estão em B (essa é a condição que nos limita). Em outras palavras: existe ainda uma possibilidade de dois dados tetraédricos darem soma 6: quando em ambos sai o três. Mas isso, no nosso caso, não passaria pela condição B: pelo menos um número é menor que três. Por isso não incluímos esse resultado entre os favoráveis. O conjunto de resultados favoráveis é, assim, igual a: A ∩ B, a interseção dos dois eventos. Juntando tudo, obtemos a fórmula:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Pela fórmula vemos por que supusemos que P(B) ≠ 0; se essa condição não fosse satisfeita, dividiríamos por zero, e poderíamos criar um buraco negro.

A fórmula anterior vale quando falamos da definição clássica de probabilidade, em que todos os eventos elementares têm a mesma probabilidade de ocorrer. Podemos reescrever a fórmula em uma forma mais geral:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Exercícios resolvidos

1. Lançamos dois dados, um preto e um branco. Qual é a probabilidade de ter saído quatro no dado branco, sabendo que a soma dos dois valores é igual a sete? Vamos escrever: evento A: “no dado branco saiu quatro”, evento B (condição): “a soma é igual a sete”. O evento B contém todos os pares de valores que dão soma 7, isto é, B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Agora calculamos A ∩ B, isto é, para quais pares de B vale que eles estão ao mesmo tempo em A, ou seja, que no dado branco saiu quatro? Suponha que os valores estejam na forma (preto, branco), de modo que o único par que pertence a A ∩ B é (3, 4). Agora basta substituir na fórmula:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$