Δεσμευμένη πιθανότητα

Όταν υπολογίζουμε πιθανότητες, μπορούμε στο πείραμα τύχης να προσθέσουμε και κάποια επιπλέον συνθήκη. Μια κλασική άσκηση δεσμευμένης πιθανότητας μπορεί λοιπόν να είναι η εξής: ρίχνουμε τρία ζάρια. Ποια είναι η πιθανότητα, αν σε ένα από τα ζάρια έρθει τριάρι, το συνολικό άθροισμα να είναι ίσο με επτά;

Εξαγωγή του τύπου

Έστω ένα πείραμα τύχης (π.χ. η ρίψη ζαριών) και δύο διαφορετικά ενδεχόμενα A και B τέτοια ώστε P(B) ≠ 0, δηλαδή το ενδεχόμενο B δεν είναι αδύνατο. Τότε μπορούμε να μιλάμε για δεσμευμένη πιθανότητα, αν ρωτάμε ποια είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου A, αν πραγματοποιήθηκε το ενδεχόμενο B. Τη συμβολίζουμε P(A|B).

Θα προσπαθήσουμε σταδιακά να φτάσουμε στον τύπο, με τον οποίο θα υπολογίζουμε τη δεσμευμένη πιθανότητα. Για απλότητα φαντάσου ένα τετράεδρο ζάρι, δηλαδή ένα ζάρι, στο οποίο μπορούν να έρθουν μόνο οι αριθμοί 1, 2, 3 ή 4. Θα προσπαθήσουμε να λύσουμε την άσκηση: όταν ρίχνουμε δύο τετράεδρα ζάρια, ποια είναι η πιθανότητα το άθροισμα των τιμών να είναι ίσο με έξι, αν σε τουλάχιστον ένα από τα ζάρια ήρθε αριθμός μικρότερος από τρία;

Ξεκινάμε γράφοντας όλες τις δυνατότητες που μπορούμε να πάρουμε με δύο τετράεδρα ζάρια. Είναι συνολικά 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Ποια είναι τα ενδεχόμενα A και B; Το ενδεχόμενο A είναι: «το άθροισμα των τιμών στα ζάρια είναι ίσο με έξι» και το ενδεχόμενο B είναι: «σε τουλάχιστον ένα από τα ζάρια ήρθε αριθμός μικρότερος από τρία». Και εμάς μας ενδιαφέρει η δεσμευμένη πιθανότητα P(A|B) – πόση είναι η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A, όταν ξέρουμε ότι πραγματοποιήθηκε το ενδεχόμενο B. Πρώτα φιλτράρουμε από τον προηγούμενο πίνακα μόνο τα ζεύγη που ανήκουν ταυτόχρονα στο ενδεχόμενο B, δηλαδή τουλάχιστον ένας αριθμός του ζεύγους είναι μικρότερος από τρία. Παίρνουμε:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Αυτό ουσιαστικά μπορούμε να το δούμε ως το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων. Στην πραγματικότητα μπορεί στα ζάρια να έρθουν δύο τεσσάρια, αλλά εμείς με την επιπλέον συνθήκη B λέμε ότι ένα τέτοιο αποτέλεσμα δεν μας ενδιαφέρει – μας ενδιαφέρουν μόνο εκείνα τα αποτελέσματα, όπου σε τουλάχιστον ένα ζάρι ήρθε αριθμός μικρότερος από τρία.

Και τώρα ρωτάμε απλώς ποια είναι η πιθανότητα να έχει πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο A, αν το σύνολο όλων των αποτελεσμάτων είναι ίσο με το σύνολο B. Τίποτε άλλο δεν λέει η δεσμευμένη πιθανότητα. Σε αυτό το σύνολο B βρίσκουμε λοιπόν εκείνα τα ζεύγη που δίνουν άθροισμα έξι:

$$(2,4),(4,2)$$

Πώς θα υπολογίζαμε τώρα την πιθανότητα; Έχουμε συνολικά 2 ευνοϊκά αποτελέσματα και το σύνολο όλων των αποτελεσμάτων είναι ίσο με το πλήθος των στοιχείων του B, δηλαδή 12. Η δεσμευμένη πιθανότητα είναι λοιπόν ίση με

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Και τώρα το θέμα είναι πώς θα το γενικεύσουμε. Εμείς είπαμε ότι ως σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων μπορούμε να δούμε το σύνολο B. Ποιο θα ήταν το σύνολο όλων των ευνοϊκών αποτελεσμάτων; Θα ήταν το σύνολο εκείνων των αποτελεσμάτων που ανήκουν στο A (αυτό είναι το ενδεχόμενο που μας ενδιαφέρει), αλλά ταυτόχρονα ανήκουν στο B (αυτή είναι η συνθήκη που μας περιορίζει). Με άλλα λόγια: υπάρχει ακόμη μία δυνατότητα να δώσουν δύο τετράεδρα ζάρια άθροισμα 6: όταν και στα δύο έρθει τριάρι. Αλλά αυτό στην περίπτωσή μας δεν θα περνούσε τη συνθήκη B: τουλάχιστον ένας αριθμός είναι μικρότερος από τρία. Γι' αυτό δεν θα συμπεριλάβουμε αυτό το αποτέλεσμα στα ευνοϊκά αποτελέσματα. Το σύνολο των ευνοϊκών αποτελεσμάτων είναι λοιπόν ίσο με: A ∩ B, την τομή των δύο ενδεχομένων. Αν τα συνδυάσουμε όλα, παίρνουμε τον τύπο:

$$P(A|B)=\frac{N(A\cap B)}{N(B)}.$$

Στον τύπο βλέπουμε γιατί υποθέσαμε ότι P(B) ≠ 0· αν δεν ίσχυε αυτή η συνθήκη, θα διαιρούσαμε με το μηδέν και θα μπορούσαμε να δημιουργήσουμε μαύρη τρύπα.

Ο προηγούμενος τύπος ισχύει, όταν μιλάμε για τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας, όπου όλα τα απλά ενδεχόμενα έχουν την ίδια πιθανότητα να συμβούν. Τον τύπο μπορούμε να τον γράψουμε σε πιο γενική μορφή:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Λυμένα παραδείγματα

1. Ρίχνουμε δύο ζάρια, ένα μαύρο και ένα λευκό. Ποια είναι η πιθανότητα να ήρθε τεσσάρι στο λευκό ζάρι, αν το άθροισμα των δύο τιμών είναι ίσο με επτά; Θα το αναλύσουμε: ενδεχόμενο A: «στο λευκό ζάρι ήρθε τεσσάρι», ενδεχόμενο B (συνθήκη): «το άθροισμα είναι ίσο με επτά». Το ενδεχόμενο B περιέχει όλα τα ζεύγη τιμών που δίνουν άθροισμα 7, δηλαδή B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Τώρα υπολογίζουμε το A ∩ B, δηλαδή για ποια ζεύγη από το B ισχύει ότι ανήκουν ταυτόχρονα στο A, δηλαδή ότι στο λευκό ζάρι ήρθε τεσσάρι; Ας υποθέσουμε ότι οι τιμές είναι στη μορφή (μαύρο, λευκό), οπότε το μοναδικό ζεύγος που ανήκει στο A ∩ B είναι το (3, 4). Τώρα απλώς αντικαθιστούμε στον τύπο:

$$P(A|B)=\frac{N(A\cap B)}{N(B)}=\frac{1}{6}.$$