Feltételes valószínűség

A valószínűség számolásakor a véletlen kísérlethez járulékos feltételt is hozzáadhatunk. A feltételes valószínűség klasszikus feladata tehát a következő lehet: három kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy ha az egyik kockán hármas esik, akkor az összeg hét lesz?

A képlet levezetése

Legyen adott valamilyen véletlen kísérlet (például kockadobás) és két különböző esemény, A és B, amelyekre P(B) ≠ 0, azaz a B esemény nem lehetetlen. Ekkor beszélhetünk feltételes valószínűségről, ha azt kérdezzük, mekkora az A esemény valószínűsége, ha a B esemény bekövetkezett. Jelölése: P(A|B).

Próbáljunk lépésről lépésre eljutni ahhoz a képlethez, amellyel a feltételes valószínűséget számolni fogjuk. Az egyszerűség kedvéért képzeljünk el egy tetraéder alakú dobókockát, vagyis olyat, amelyen csak az 1, 2, 3 vagy 4 számok eshetnek. Próbáljuk megoldani a következő feladatot: ha két tetraéder alakú kockával dobunk, mekkora a valószínűsége, hogy az értékek összege hat, ha legalább az egyik kockán háromnál kisebb szám esett?

Kezdjük azzal, hogy kiírjuk, milyen lehetőségeket kaphatunk két tetraéder alakú kockánál. Összesen 4 · 4 = 16 van belőlük.

$$\begin{array}{rcl}& & (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),\\ & & (4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\end{array}$$

Hogyan néznek ki az A és B események? Az A esemény: „a kockákon az értékek összege hat”, a B esemény pedig: „legalább az egyik kockán háromnál kisebb szám esett”. És minket a P(A|B) feltételes valószínűség érdekel – mekkora a valószínűsége, hogy az A esemény bekövetkezik, ha tudjuk, hogy a B esemény bekövetkezett. Először az előző táblázatból kiszűrjük azokat a párokat, amelyek egyúttal a B eseményhez tartoznak, azaz a párban legalább az egyik szám háromnál kisebb. Ezt kapjuk:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),\\ & & (4;1),(4;2)\end{array}$$

Ezt lényegében az összes lehetséges kimenetel halmazának tekinthetjük. Valójában a kockákon eshet két négyes is, de a B járulékos feltétellel azt mondjuk, hogy az ilyen kimenetel nem érdekel minket – csak azok a kimenetelek érdekelnek, ahol legalább az egyik kockán háromnál kisebb szám esett.

És most már csak azt kérdezzük, mekkora a valószínűsége, hogy az A esemény bekövetkezett, ha az összes kimenetel halmaza egyenlő a B halmazzal. A feltételes valószínűség nem mond ennél többet. Ebben a B halmazban tehát megkeressük azokat a párokat, amelyek összege hat:

$$(2;4),(4;2)$$

Hogyan számolnánk most a valószínűséget? Összesen 2 kedvező kimenetelünk van, az összes kimenetel halmaza pedig a B halmaz mérete, azaz 12. A feltételes valószínűség tehát

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Most az a kérdés, hogyan általánosítsuk ezt. Azt mondtuk, hogy az összes lehetséges kimenetel halmazának a B halmazt tekinthetjük. Hogyan nézne ki a kedvező kimenetelek halmaza? Azoknak a kimeneteleknek a halmaza lenne, amelyek benne vannak A-ban (ez az az esemény, amely érdekel minket), de egyúttal B-ben is (ez a feltétel, amely korlátoz minket). Más szóval: van még egy lehetőség, hogyan adhat a két tetraéder alakú kocka hatos összeget: ha mindkettőn hármas esik. De ez a mi esetünkben nem felelne meg a B feltételnek: legalább az egyik szám háromnál kisebb. Ezért ezt a kimenetelt nem számítjuk a kedvezők közé. A kedvező kimenetelek halmaza tehát A ∩ B, a két esemény metszete. Ha ezt összerakjuk, megkapjuk a képletet:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

A képleten látszik, miért tettük fel, hogy P(B) ≠ 0; ha ez a feltétel nem teljesülne, nullával osztanánk, amivel akár fekete lyukat is létrehozhatnánk.

Az előző képlet akkor érvényes, ha a valószínűség klasszikus definíciójáról beszélünk, amikor minden elemi esemény ugyanakkora valószínűséggel következik be. A képletet általánosabb alakra is átírhatjuk:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Megoldott feladatok

1. Két kockával dobunk, egy feketével és egy fehérrel. Mekkora a valószínűsége, hogy a fehér kockán négyes esett, ha a két érték összege hét? Írjuk fel: az A esemény: „a fehér kockán négyes esett”, a B esemény (feltétel): „az összeg hét”. A B esemény tartalmazza az összes olyan értékpárt, amelynek összege 7, azaz B = {(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}. Most kiszámoljuk az A ∩ B halmazt, azaz a B mely párjaira igaz egyúttal, hogy benne vannak A-ban, vagyis hogy a fehér kockán négyes esett? Tegyük fel, hogy az értékek (fekete; fehér) alakúak, így az egyetlen pár, amely az A ∩ B halmazba tartozik, a (3; 4). Most már csak behelyettesítünk a képletbe:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$