Ehdollinen todennäköisyys

Todennäköisyyttä laskettaessa voimme lisätä satunnaiskokeeseen myös jonkin lisäehdon. Klassinen ehdollisen todennäköisyyden tehtävä voi olla seuraava esimerkki: heitämme kolmea noppaa. Mikä on todennäköisyys, että silmälukujen summa on seitsemän, kun yhdellä nopista tulee kolmonen?

Kaavan johto

Olkoon meillä jokin satunnaiskoe (esim. noppien heitto) ja kaksi eri tapahtumaa A ja B siten, että P(B) ≠ 0 eli tapahtuma B ei ole mahdoton. Tällöin voimme puhua ehdollisesta todennäköisyydestä, jos kysymme, mikä on tapahtuman A todennäköisyys, kun tapahtuma B on sattunut? Merkitsemme P(A ∣ B).

Yritetään päästä vähitellen kaavaan, jolla ehdollinen todennäköisyys lasketaan. Yksinkertaisuuden vuoksi kuvitellaan nelitahkoinen noppa eli noppa, jolla voi tulla vain luvut 1, 2, 3 tai 4. Yritämme ratkaista tehtävän: kun heitämme kahta nelitahkoista noppaa, mikä on todennäköisyys, että silmälukujen summa on kuusi, kun ainakin yhdellä nopista tuli luku, joka on pienempi kuin kolme?

Aloitamme luettelemalla, mitä kaikkia mahdollisuuksia kahdella nelitahkoisella nopalla voi saada. Niitä on yhteensä 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Miltä tapahtumat A ja B näyttävät? Tapahtuma A on: ”noppien silmälukujen summa on kuusi” ja tapahtuma B on: ”ainakin yhdellä nopista tuli luku, joka on pienempi kuin kolme”. Ja meitä kiinnostaa ehdollinen todennäköisyys P(A ∣ B) – mikä on todennäköisyys, että tapahtuma A sattuu, kun tiedämme tapahtuman B sattuneen. Ensin suodatamme edellisestä taulukosta vain ne parit, jotka ovat samalla tapahtumassa B, eli ainakin yksi pariin kuuluvista luvuista on pienempi kuin kolme. Saamme:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Tämän voi periaatteessa nähdä kaikkien mahdollisten tulosten joukkona. Tosiasiassa nopilla voi tulla kaksi nelosta, mutta lisäehdolla B sanomme, ettei tällainen tulos kiinnosta meitä – meitä kiinnostavat vain ne tulokset, joissa ainakin yhdellä nopalla tuli luku, joka on pienempi kuin kolme.

Ja nyt kysymme vain, mikä on todennäköisyys, että tapahtuma A on sattunut, kun kaikkien tulosten joukko on sama kuin joukko B? Muuta ehdollinen todennäköisyys ei sano. Etsimme siis tästä joukosta B ne parit, joiden summa on kuusi:

$$(2,4),(4,2)$$

Miten laskisimme nyt todennäköisyyden? Suotuisia tuloksia on yhteensä 2 ja kaikkien tulosten joukko on yhtä suuri kuin joukon B koko eli 12. Ehdollinen todennäköisyys on siis

$$P(A\mid B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Ja nyt kyse on siitä, miten tämä yleistetään. Sanoimme, että kaikkien mahdollisten tulosten joukoksi voimme ajatella joukon B. Miltä kaikkien suotuisien tulosten joukko näyttäisi? Se olisi niiden tulosten joukko, jotka ovat joukossa A (se on se tapahtuma, joka meitä kiinnostaa), mutta ovat samalla joukossa B (se on ehto, joka meitä rajoittaa). Toisin sanoen: on vielä yksi mahdollisuus, jolla kaksi nelitahkoista noppaa voi antaa summan 6: kun molemmilla tulee kolmonen. Mutta se ei meidän tapauksessamme läpäisisi ehtoa B: ainakin yksi luku on pienempi kuin kolme. Siksi emme sisällytä tätä tulosta suotuisiin tuloksiin. Suotuisien tulosten joukko on siis: A ∩ B, molempien tapahtumien leikkaus. Kun tämän kokoamme yhteen, saamme kaavan:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Kaavasta näemme, miksi oletimme, että P(B) ≠ 0; jos tätä ehtoa ei olisi täytetty, jakaisimme nollalla, jolloin voisimme luoda mustan aukon.

Edellinen kaava pätee, kun puhumme klassisesta todennäköisyydestä, jossa kaikilla alkeistapauksilla on yhtä suuri todennäköisyys. Kaavan voi kirjoittaa yleisempään muotoon:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Ratkaistuja esimerkkejä

1. Heitämme kahta noppaa, mustaa ja valkoista. Mikä on todennäköisyys, että valkoisella nopalla tuli nelonen, kun molempien silmälukujen summa on seitsemän? Kirjoitetaan se auki: tapahtuma A: ”valkoisella nopalla tuli nelonen”, tapahtuma B (ehto): ”summa on seitsemän”. Tapahtuma B sisältää kaikki silmälukuparit, joiden summa on 7, eli B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Nyt laskemme A ∩ B eli mitkä joukon B pareista ovat samalla joukossa A, eli milloin valkoisella nopalla tuli nelonen? Oletetaan, että arvot ovat muotoa (musta, valkoinen), joten ainoa pari, joka kuuluu joukkoon A ∩ B, on (3, 4). Nyt vain sijoitamme kaavaan:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$