Условна вероятност

При пресмятането на вероятност към случайния опит можем да добавим и някакво допълнително условие. Класическа задача за условна вероятност е следният пример: хвърляме три зара. Каква е вероятността, когато на един от заровете се е паднала тройка, общият сбор да е равен на седем?

Извеждане на формулата

Нека имаме някакъв случаен опит (напр. хвърляне на зарове) и две различни събития A и B, такива че P(B) ≠ 0, т.е. събитието B не е невъзможно. Тогава можем да говорим за условна вероятност, ако питаме: каква е вероятността на събитието A, ако е настъпило събитието B? Означаваме P(A|B).

Ще опитаме постепенно да стигнем до формулата, с която ще пресмятаме условната вероятност. За простота си представяме четиристенен зар, т.е. зар, на който могат да се паднат само числата 1, 2, 3 или 4. Ще опитаме да решим задачата: когато хвърлим два четиристенни зара, каква е вероятността сборът на стойностите да е равен на шест, ако поне на единия от заровете се е паднало число, по-малко от три?

Започваме, като изпишем какви възможности можем да получим при два четиристенни зара. Те са общо 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),\\ & & (4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\end{array}$$

Как изглеждат събитията A и B? Събитието A е: „сборът на стойностите на заровете е равен на шест“, а събитието B е: „поне на единия от заровете се е паднало число, по-малко от три“. А нас ни интересува условната вероятност P(A|B) – каква е вероятността да настъпи събитието A, когато знаем, че е настъпило събитието B. Първо от предишната таблица ще филтрираме само тези двойки, които са едновременно в събитието B, т.е. поне едно число в двойката е по-малко от три. Получаваме:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),\\ & & (4;1),(4;2)\end{array}$$

Това по същество можем да разглеждаме като множество на всички възможни изходи. Реално на заровете могат да ни се паднат две четворки, но с допълнителното условие B казваме, че такъв изход не ни интересува – интересуват ни само изходите, в които поне на единия зар се е паднало число, по-малко от три.

И сега само питаме каква е вероятността да е настъпило събитието A, ако множеството на всички изходи е равно на множеството B? Нищо друго условната вероятност не казва. Затова в това множество B намираме двойките, които дават сбор шест:

$$(2;4),(4;2)$$

Как бихме пресметнали сега вероятността? Имаме общо 2 благоприятни изхода, а множеството на всички изходи е равно на големината на множеството B, т.е. 12. Условната вероятност е така равна на

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

А сега въпросът е как да обобщим. Казахме, че като множество на всички възможни изходи можем да разглеждаме множеството B. Как би изглеждало множеството на всички благоприятни изходи? То би било множеството на изходите, които са в A (това е събитието, което ни интересува), но едновременно са и в B (това е условието, което ни ограничава). С други думи: има още една възможност как два четиристенни зара да дадат сбор 6: когато на двата се падне тройка. Но в нашия случай тя не отговаря на условието B: поне едно число е по-малко от три. Затова този изход не включваме в благоприятните изходи. Множеството на благоприятните изходи е така равно на: A ∩ B, сечението на двете събития. Като съберем всичко, получаваме формулата:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

От формулата виждаме защо предположихме, че P(B) ≠ 0; ако това условие не беше изпълнено, щяхме да делим на нула, с което бихме могли да създадем черна дупка.

Предишната формула е в сила, когато говорим за класическото определение на вероятност, при което всички елементарни събития имат една и съща вероятност да настъпят. Формулата можем да запишем в по-общ вид:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Решени примери

1. Хвърляме два зара, черен и бял. Каква е вероятността на белия зар да се е паднала четворка, ако сборът на двете стойности е равен на седем? Ще го разпишем: събитие A: „на белия зар се е паднала четворка“, събитие B (условие): „сборът е равен на седем“. Събитието B съдържа всички двойки стойности, които дават сбор 7, т.е. B = {(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}. Сега ще пресметнем A ∩ B, т.е. кои двойки от B са едновременно и в A, или с други думи при кои от тях на белия зар се е паднала четворка? Да предположим, че стойностите са във вида (черен; бял), така че единствената двойка, която принадлежи на A ∩ B, е (3; 4). Сега само заместваме във формулата:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$