Voorwaardelijke kans

Bij het berekenen van kansen kunnen we aan een kansexperiment ook een extra voorwaarde toevoegen. Een klassieke opgave over voorwaardelijke kans is bijvoorbeeld de volgende: we gooien met drie dobbelstenen. Hoe groot is de kans dat de som van de ogen zeven is, gegeven dat er op een van de dobbelstenen een drie valt?

Afleiding van de formule

Neem een kansexperiment (bijvoorbeeld een worp met dobbelstenen) en twee verschillende gebeurtenissen A en B met P(B) ≠ 0, dus gebeurtenis B is niet onmogelijk. Dan kunnen we spreken van voorwaardelijke kans als we ons afvragen: hoe groot is de kans op gebeurtenis A als gebeurtenis B is opgetreden? Die noteren we als P(A ∣ B).

We proberen stap voor stap tot de formule te komen waarmee we de voorwaardelijke kans berekenen. Voor de eenvoud stellen we ons een viervlakkige dobbelsteen voor, dus een dobbelsteen waarop alleen de getallen 1, 2, 3 of 4 kunnen vallen. We proberen de volgende opgave op te lossen: als we met twee viervlakkige dobbelstenen gooien, hoe groot is dan de kans dat de som van de getallen zes is, gegeven dat er op minstens één van de dobbelstenen een getal kleiner dan drie viel?

We beginnen met het uitschrijven van alle mogelijkheden die we met twee viervlakkige dobbelstenen kunnen krijgen. Het zijn er in totaal 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Hoe zien de gebeurtenissen A en B eruit? Gebeurtenis A is: “de som van de getallen op de dobbelstenen is zes” en gebeurtenis B is: “op minstens één van de dobbelstenen viel een getal kleiner dan drie”. En wij zijn geïnteresseerd in de voorwaardelijke kans P(A ∣ B) — hoe groot is de kans dat gebeurtenis A optreedt als we weten dat gebeurtenis B is opgetreden. Eerst filteren we uit de vorige tabel alleen de paren die ook bij gebeurtenis B horen, dus waarvan minstens één getal in het paar kleiner is dan drie. We krijgen:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Dit kunnen we in feite zien als de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. Strikt genomen kunnen er op de dobbelstenen twee vieren vallen, maar met de extra voorwaarde B zeggen we dat zo'n uitkomst ons niet interesseert — we zijn alleen geïnteresseerd in de uitkomsten waarbij op minstens één dobbelsteen een getal kleiner dan drie viel.

En nu vragen we ons alleen nog af: hoe groot is de kans dat gebeurtenis A optrad, als de verzameling van alle uitkomsten gelijk is aan de verzameling B? Meer zegt voorwaardelijke kans niet. In deze verzameling B zoeken we dus de paren met som zes:

$$(2,4),(4,2)$$

Hoe berekenen we nu de kans? We hebben in totaal 2 gunstige uitkomsten en de verzameling van alle uitkomsten is even groot als verzameling B, dus 12. De voorwaardelijke kans is dus gelijk aan

$$P(A\mid B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

En nu gaat het erom hoe we dit generaliseren. We hebben gezegd dat we de verzameling B kunnen zien als de verzameling van alle mogelijke uitkomsten. Hoe zou de verzameling van alle gunstige uitkomsten eruitzien? Dat zou de verzameling zijn van de uitkomsten die in A zitten (dat is de gebeurtenis waarin we geïnteresseerd zijn), maar tegelijk ook in B (dat is de voorwaarde die ons beperkt). Met andere woorden: er is nog een manier waarop twee viervlakkige dobbelstenen som 6 kunnen geven: als er op beide een drie valt. Maar die zou in ons geval niet door voorwaarde B komen: minstens één getal is kleiner dan drie. Daarom nemen we deze uitkomst niet op bij de gunstige uitkomsten. De verzameling van gunstige uitkomsten is dus gelijk aan: A ∩ B, de doorsnede van beide gebeurtenissen. Als we dit samenvoegen, krijgen we de formule:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Aan de formule zien we waarom we aannamen dat P(B) ≠ 0; als aan die voorwaarde niet voldaan was, zouden we door nul delen, en dan zouden we een zwart gat kunnen maken.

De vorige formule geldt als we het hebben over de klassieke kansdefinitie, waarbij alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn. De formule kunnen we omschrijven naar een algemenere vorm:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Uitgewerkte voorbeelden

1. We gooien met twee dobbelstenen, een zwarte en een witte. Hoe groot is de kans dat er op de witte dobbelsteen een vier viel, gegeven dat de som van beide getallen zeven is? We schrijven het uit: gebeurtenis A: “op de witte dobbelsteen viel een vier”, gebeurtenis B (de voorwaarde): “de som is zeven”. Gebeurtenis B bevat alle paren getallen met som 7, dus B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Nu bepalen we A ∩ B, dus voor welke paren uit B geldt dat ze ook in A zitten, dus dat er op de witte dobbelsteen een vier viel? Stel dat de getallen de vorm (zwart, wit) hebben, dan is het enige paar dat bij A ∩ B hoort (3, 4). Nu vullen we alleen nog in de formule in:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$