Koşullu Olasılık

Olasılık hesaplarken rastgele deneye ek bir koşul da koyabiliriz. Koşullu olasılığa klasik bir örnek şudur: Üç zar atıyoruz. Zarlardan birinde üç geldiğine göre toplamın yedi olma olasılığı nedir?

Formülün Çıkarılışı

Rastgele bir deney (örneğin zar atmak) ve P(B) ≠ 0 olacak şekilde iki farklı A ve B olayı olsun; yani B olayı imkânsız değil. B olayı gerçekleştiğine göre A olayının olasılığının ne olduğunu soruyorsak koşullu olasılıktan söz edebiliriz. Bunu P(A|B) ile göstereriz.

Koşullu olasılığı hesaplayacağımız formüle adım adım ulaşmaya çalışalım. Basit olsun diye dörtyüzlü bir zar düşünelim; yani üzerinde yalnızca 1, 2, 3 ya da 4 gelebilen bir zar. Şu soruyu çözmeye çalışalım: İki dörtyüzlü zar atarsak, zarlardan en az birinde üçten küçük bir sayı geldiğine göre değerlerin toplamının altı olma olasılığı nedir?

İki dörtyüzlü zarla elde edebileceğimiz bütün durumları yazarak başlayalım. Toplam 4 · 4 = 16 tanedir.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

A ve B olayları nasıl görünür? A olayı: “zarlardaki değerlerin toplamı altıdır”, B olayı: “zarlardan en az birinde üçten küçük bir sayı geldi”. Bizi ilgilendiren de P(A|B) koşullu olasılığıdır — B olayının gerçekleştiğini bildiğimize göre A olayının gerçekleşme olasılığı nedir. Önce yukarıdaki tablodan yalnızca aynı zamanda B olayında olan ikilileri, yani ikilideki sayılardan en az biri üçten küçük olanları ayıklayalım. Şunu elde ederiz:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Bunu aslında bütün olası çıktıların kümesi olarak görebiliriz. Gerçekte zarlarda iki tane dört de gelebilir, ama B ek koşuluyla böyle bir çıktının bizi ilgilendirmediğini söylüyoruz — bizi yalnızca zarlardan en az birinde üçten küçük bir sayı gelen çıktılar ilgilendiriyor.

Şimdi yalnızca şunu soruyoruz: Bütün çıktıların kümesi B kümesine eşitse A olayının gerçekleşme olasılığı nedir? Koşullu olasılık başka bir şey söylemez. Bu B kümesinde toplamı altı olan ikilileri bulalım:

$$(2,4),(4,2)$$

Olasılığı şimdi nasıl hesaplardık? Toplam 2 istenen çıktımız var ve bütün çıktıların kümesi B kümesinin büyüklüğüne, yani 12’ye eşit. Koşullu olasılık şuna eşittir:

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Şimdi mesele bunu nasıl genelleyeceğimiz. Bütün olası çıktıların kümesini B kümesi olarak görebileceğimizi söyledik. İstenen çıktıların kümesi nasıl görünürdü? A içinde olan (bizi ilgilendiren olay budur), ama aynı zamanda B içinde de olan (bizi kısıtlayan koşul budur) çıktıların kümesi olurdu. Başka bir deyişle: İki dörtyüzlü zarın toplamının 6 olmasının bir yolu daha var: ikisinde de üç gelmesi. Ama bu bizim durumumuzda B koşulundan geçemezdi: sayılardan en az biri üçten küçük olmalı. Bu yüzden bu çıktıyı istenen çıktılara katmayız. İstenen çıktıların kümesi böylece şuna eşittir: A ∩ B, iki olayın kesişimi. Hepsini bir araya getirince şu formülü elde ederiz:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Formülde P(B) ≠ 0 varsayımını neden yaptığımızı görüyoruz; bu koşul sağlanmasaydı sıfıra bölerdik ve kara delik yaratabilirdik.

Önceki formül, bütün temel olayların aynı olasılıkla gerçekleştiği klasik olasılık tanımı için geçerlidir. Formülü daha genel bir biçimde yazabiliriz:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Çözümlü Örnekler

1. Biri siyah, biri beyaz iki zar atıyoruz. İki değerin toplamı yedi olduğuna göre beyaz zarda dört gelme olasılığı nedir? Yazalım: A olayı: “beyaz zarda dört geldi”, B olayı (koşul): “toplam yedidir”. B olayı toplamı 7 olan bütün değer ikililerini içerir, yani B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Şimdi A ∩ B’yi hesaplayalım; yani B’deki hangi ikililer aynı zamanda A’dadır, yani beyaz zarda dört gelmiştir? Değerlerin (siyah, beyaz) biçiminde olduğunu varsayalım; bu durumda A ∩ B’ye ait tek ikili (3, 4)’tür. Şimdi formülde yerine yazalım:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$