Probabilidad condicionada

Al calcular una probabilidad podemos añadir al experimento aleatorio también alguna condición adicional. Un problema clásico de probabilidad condicionada puede ser, pues, el siguiente: lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que, si en uno de los dados sale un tres, la suma total sea igual a siete?

Deducción de la fórmula

Sea un experimento aleatorio (por ejemplo, lanzar dados) y dos sucesos distintos A y B tales que P(B) ≠ 0, es decir, el suceso B no es imposible. Entonces podemos hablar de probabilidad condicionada si nos preguntamos cuál es la probabilidad del suceso A si ha ocurrido el suceso B. Se denota P(A ∣ B).

Intentaremos llegar poco a poco a la fórmula con la que calcularemos la probabilidad condicionada. Para simplificar, imaginemos un dado tetraédrico, es decir, un dado en el que solo pueden salir los números 1, 2, 3 o 4. Intentaremos resolver el problema: si lanzamos dos dados tetraédricos, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los valores sea igual a seis, si en al menos uno de los dados ha salido un número menor que tres?

Empezamos escribiendo todas las posibilidades que podemos obtener con dos dados tetraédricos. Hay en total 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

¿Qué aspecto tienen los sucesos A y B? El suceso A es: «la suma de los valores de los dados es igual a seis» y el suceso B es: «en al menos uno de los dados ha salido un número menor que tres». Y a nosotros nos interesa la probabilidad condicionada P(A ∣ B): la probabilidad de que ocurra el suceso A sabiendo que ha ocurrido el suceso B. Primero filtramos de la tabla anterior solo las parejas que pertenecen también al suceso B, es decir, en las que al menos un número de la pareja es menor que tres. Obtenemos:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Esto lo podemos ver en el fondo como el conjunto de todos los resultados posibles. En realidad, en los dados pueden salir dos cuatros, pero con la condición adicional B decimos que ese resultado no nos interesa: nos interesan solo los resultados en los que en al menos un dado ha salido un número menor que tres.

Y ahora solo nos preguntamos cuál es la probabilidad de que haya ocurrido el suceso A si el conjunto de todos los resultados es igual al conjunto B. La probabilidad condicionada no dice otra cosa. Así que en este conjunto B buscamos las parejas que dan suma seis:

$$(2,4),(4,2)$$

¿Cómo calcularíamos ahora la probabilidad? Tenemos en total 2 resultados favorables y el conjunto de todos los resultados es igual al tamaño del conjunto B, es decir, 12. La probabilidad condicionada es, pues, igual a

$$P(A\mid B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Y ahora se trata de generalizarlo. Hemos dicho que como conjunto de todos los resultados posibles podemos ver el conjunto B. ¿Qué aspecto tendría el conjunto de todos los resultados favorables? Sería el conjunto de los resultados que están en A (que es el suceso que nos interesa), pero a la vez están en B (que es la condición que nos limita). Dicho de otro modo: existe todavía otra posibilidad de que dos dados tetraédricos den suma 6: cuando en ambos sale un tres. Pero en nuestro caso no cumpliría la condición B: al menos un número es menor que tres. Por eso no incluimos este resultado entre los favorables. El conjunto de resultados favorables es, pues, igual a: A ∩ B, la intersección de ambos sucesos. Si lo juntamos todo, obtenemos la fórmula:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

En la fórmula vemos por qué hemos supuesto que P(B) ≠ 0; si esta condición no se cumpliera, dividiríamos entre cero, con lo que podríamos crear un agujero negro.

La fórmula anterior vale si hablamos de la regla de Laplace, cuando todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir. La fórmula se puede reescribir en una forma más general:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Ejercicios resueltos

1. Lanzamos dos dados, uno negro y otro blanco. ¿Cuál es la probabilidad de que en el dado blanco haya salido un cuatro, si la suma de ambos valores es igual a siete? Lo desglosamos: suceso A: «en el dado blanco ha salido un cuatro», suceso B (condición): «la suma es igual a siete». El suceso B contiene todas las parejas de valores que dan suma 7, es decir, B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Ahora calculamos A ∩ B, es decir, ¿para qué parejas de B se cumple que están a la vez en A, o sea, que en el dado blanco ha salido un cuatro? Supongamos que los valores tienen la forma (negro, blanco), así que la única pareja que pertenece a A ∩ B es (3, 4). Ahora solo sustituimos en la fórmula:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$