Betinget sandsynlighed

Når vi regner på sandsynligheder, kan vi føje en ekstra betingelse til et tilfældigt eksperiment. Et klassisk eksempel på betinget sandsynlighed kan derfor være følgende opgave: Vi kaster tre terninger. Hvad er sandsynligheden for, at summen er syv, når der på en af terningerne er kommet en treer op?

Udledning af formlen

Lad os tage et tilfældigt eksperiment (fx et terningekast) og to forskellige hændelser A og B, hvor P(B) ≠ 0, dvs. hændelsen B er ikke umulig. Så kan vi tale om betinget sandsynlighed, når vi spørger: Hvad er sandsynligheden for hændelsen A, hvis hændelsen B er indtruffet? Vi skriver P(A ∣ B).

Vi prøver trin for trin at nå frem til en formel, som vi kan beregne den betingede sandsynlighed med. For enkelhedens skyld forestiller vi os en firesidet terning, dvs. en terning, hvor der kun kan komme tallene 1, 2, 3 eller 4 op. Vi prøver at løse opgaven: Når vi kaster to firesidede terninger, hvad er så sandsynligheden for, at summen af værdierne er seks, hvis der på mindst en af terningerne er kommet et tal mindre end tre op?

Vi starter med at skrive op, hvilke muligheder vi overhovedet kan få med to firesidede terninger. Der er i alt 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),\\ & & (4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\end{array}$$

Hvordan ser hændelserne A og B ud? Hændelsen A er: »summen af værdierne på terningerne er lig med seks«, og hændelsen B er: »på mindst en af terningerne er der kommet et tal mindre end tre op«. Og vi er interesseret i den betingede sandsynlighed P(A ∣ B) — sandsynligheden for, at hændelsen A indtræffer, når vi ved, at hændelsen B er indtruffet. Først udvælger vi fra den foregående tabel kun de par, der samtidig hører til hændelsen B, dvs. mindst et af tallene i parret er mindre end tre. Vi får:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),\\ & & (3,1),(3,2),\\ & & (4,1),(4,2)\end{array}$$

Det kan vi i bund og grund se som mængden af alle mulige udfald. Faktisk kan vi jo slå to firere, men med den ekstra betingelse B siger vi, at det udfald ikke interesserer os — vi er kun interesseret i de udfald, hvor der på mindst en terning er kommet et tal mindre end tre op.

Og nu spørger vi bare: Hvad er sandsynligheden for, at hændelsen A er indtruffet, hvis mængden af alle udfald er lig med mængden B? Mere siger betinget sandsynlighed ikke. Så i mængden B finder vi de par, der giver summen seks:

$$(2,4),(4,2)$$

Hvordan ville vi nu beregne sandsynligheden? Vi har i alt 2 gunstige udfald, og mængden af alle udfald er lige så stor som mængden B, altså 12. Den betingede sandsynlighed er således

$$P(A\mid B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Nu gælder det om at generalisere. Vi sagde, at vi kan se mængden B som mængden af alle mulige udfald. Hvordan ville mængden af alle gunstige udfald se ud? Det ville være mængden af de udfald, der ligger i A (det er den hændelse, vi er interesseret i), men samtidig ligger i B (det er den betingelse, der begrænser os). Med andre ord: der findes endnu en mulighed for, at to firesidede terninger kan give summen 6: når der kommer en treer op på begge. Men den ville ikke klare betingelsen B i vores tilfælde: mindst et tal er mindre end tre. Derfor tager vi ikke dette udfald med blandt de gunstige udfald. Mængden af gunstige udfald er således lig med A ∩ B, fællesmængden af de to hændelser. Når vi sætter det sammen, får vi formlen:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

På formlen kan vi se, hvorfor vi antog, at P(B) ≠ 0; hvis den betingelse ikke var opfyldt, ville vi dividere med nul, og så kunne vi skabe et sort hul.

Den foregående formel gælder, hvis vi taler om den klassiske sandsynlighedsdefinition, hvor alle elementære hændelser har lige stor sandsynlighed for at indtræffe. Formlen kan vi omskrive til en mere generel form:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Løste eksempler

1. Vi kaster to terninger, en sort og en hvid. Hvad er sandsynligheden for, at der er kommet en firer op på den hvide terning, hvis summen af de to værdier er lig med syv? Vi skriver det op: hændelse A: »der er kommet en firer op på den hvide terning«, hændelse B (betingelsen): »summen er lig med syv«. Hændelsen B indeholder alle par af værdier, der giver summen 7, dvs. B = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}. Nu beregner vi A ∩ B, dvs. for hvilke par fra B gælder det, at de samtidig er i A, altså at der er kommet en firer op på den hvide terning? Lad os antage, at værdierne har formen (sort, hvid), så det eneste par, der hører til A ∩ B, er (3, 4). Nu mangler vi bare at indsætte i formlen:

$$P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$