Probabilità condizionata

Quando calcoliamo una probabilità, possiamo aggiungere all’esperimento aleatorio una condizione supplementare. Un classico problema di probabilità condizionata è il seguente: lanciamo tre dadi. Qual è la probabilità che la somma sia uguale a sette, sapendo che su uno dei dadi è uscito il tre?

Ricavare la formula

Consideriamo un esperimento aleatorio (ad es. il lancio di dadi) e due eventi diversi A e B tali che P(B) ≠ 0, cioè l’evento B non è impossibile. Possiamo allora parlare di probabilità condizionata quando ci chiediamo: qual è la probabilità dell’evento A, sapendo che si è verificato l’evento B? La indichiamo con P(A|B).

Proviamo ad arrivare per gradi alla formula con cui calcoleremo la probabilità condizionata. Per semplicità immaginiamo un dado tetraedrico, cioè un dado su cui possono uscire solo i numeri 1, 2, 3 o 4. Risolviamo questo problema: lanciando due dadi tetraedrici, qual è la probabilità che la somma dei valori sia uguale a sei, sapendo che su almeno uno dei dadi è uscito un numero minore di tre?

Cominciamo scrivendo tutti i risultati possibili con due dadi tetraedrici. In tutto sono 4 · 4 = 16.

$$\begin{array}{rcl}& & (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),(3;3),(3;4),\\ & & (4;1),(4;2),(4;3),(4;4)\end{array}$$

Come sono fatti gli eventi A e B? L’evento A è: «la somma dei valori sui dadi è uguale a sei», e l’evento B è: «su almeno uno dei dadi è uscito un numero minore di tre». A noi interessa la probabilità condizionata P(A|B), cioè la probabilità che si verifichi l’evento A, sapendo che si è verificato l’evento B. Dalla tabella precedente selezioniamo per prima cosa solo le coppie che appartengono anche all’evento B, cioè quelle in cui almeno un numero è minore di tre. Otteniamo:

$$\begin{array}{rcl}& B=& (1;1),(1;2),(1;3),(1;4),\\ & & (2;1),(2;2),(2;3),(2;4),\\ & & (3;1),(3;2),\\ & & (4;1),(4;2)\end{array}$$

Possiamo vedere questo insieme come il nuovo insieme di tutti i risultati possibili. In realtà sui dadi potrebbero uscire due quattro, ma con la condizione supplementare B diciamo che quel risultato non ci interessa: ci interessano solo i risultati in cui su almeno un dado è uscito un numero minore di tre.

Ora ci chiediamo soltanto: qual è la probabilità che si verifichi l’evento A, se l’insieme di tutti i risultati coincide con l’insieme B? La probabilità condizionata non dice nient’altro. Quindi in questo insieme B cerchiamo le coppie che hanno somma sei:

$$(2;4),(4;2)$$

Come calcoliamo ora la probabilità? Abbiamo in tutto 2 casi favorevoli, e l’insieme di tutti i risultati ha tanti elementi quanti l’insieme B, cioè 12. La probabilità condizionata è quindi

$$P(A|B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$$

Adesso si tratta di generalizzare. Abbiamo detto che come insieme di tutti i risultati possibili possiamo considerare l’insieme B. Com’è fatto allora l’insieme dei casi favorevoli? È l’insieme dei risultati che appartengono ad A (l’evento che ci interessa) ma allo stesso tempo anche a B (la condizione che ci limita). In altre parole: cc’è anche un altro modo in cui due dadi tetraedrici possono dare somma 6, cioè quando su entrambi esce il tre. Ma nel nostro caso questo risultato non rispetterebbe la condizione B: almeno un numero è minore di tre. Perciò non lo includiamo tra i casi favorevoli. L’insieme dei casi favorevoli è quindi A ∩ B, l’intersezione dei due eventi. Mettendo tutto insieme otteniamo la formula:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}.$$

Dalla formula vediamo perché abbiamo supposto P(B) ≠ 0: se questa condizione non fosse soddisfatta, divideremmo per zero e potremmo creare un buco nero.

La formula precedente vale se parliamo della definizione classica di probabilità, in cui tutti gli eventi elementari hanno la stessa probabilità di verificarsi. Possiamo riscriverla in una forma più generale:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Esercizi svolti

1. Lanciamo due dadi, uno nero e uno bianco. Qual è la probabilità che sul dado bianco sia uscito il quattro, sapendo che la somma dei due valori è uguale a sette? Scriviamo i dati: evento A: «sul dado bianco è uscito il quattro», evento B (condizione): «la somma è uguale a sette». L’evento B contiene tutte le coppie di valori che hanno somma 7, cioè B = {(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1)}. Calcoliamo ora A ∩ B: per quali coppie di B vale che appartengono anche ad A, cioè che sul dado bianco è uscito il quattro? Supponiamo che i valori siano nella forma (nero; bianco), quindi l’unica coppia che appartiene ad A ∩ B è (3; 4). Ora basta sostituire nella formula:

$$P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}=\frac{1}{6}.$$