Problema de Monty Hall

O problema das três portas, também chamado de problema de Monty Hall, é um problema de probabilidade que consegue confundir muita gente.

Enunciado

Temos três portas. O apresentador Monty Hall coloca um carro atrás de uma das portas e um bode atrás de cada uma das outras. A sua tarefa é encontrar e escolher a porta atrás da qual está o carro. Nesse momento ele convida você a escolher uma das três portas, que vamos chamar de A, B e C. Você escolhe uma porta, digamos B. Em seguida entra em cena o apresentador, que, das portas restantes, isto é, A, C, abre uma porta atrás da qual está o bode — ou seja, ele revela uma porta que com certeza não leva ao objetivo. Digamos que ele abra a porta A.

O ponto central de todo o problema está no passo seguinte — o apresentador oferece a você a chance de mudar a sua escolha. Você escolheu primeiro a porta B, depois o apresentador disse que atrás da porta A não há carro e oferece a você a possibilidade de mudar a escolha para a porta C. Mas você pode manter a sua escolha original, B.

Como você decide? É maior a chance de o carro estar atrás da porta B ou atrás da porta C? Ou tanto faz?

Solução

Você tem três portas. Uma porta saiu do jogo, então na prática restam apenas duas portas. Atrás de uma dessas portas o carro com certeza está. Sobre as duas portas restantes você não sabe nada, não tem nenhuma pista adicional. Então a probabilidade é, claro, 50% para as duas portas.

Esse é mais ou menos o raciocínio de boa parte das pessoas, então não se preocupe se você também pensou assim. Só que, claro, essa solução está errada :-).

Solução correta

Vale a pena mudar a sua escolha para a porta que o apresentador não eliminou. Para entender, podemos escrever as probabilidades desde o início. Quando você escolhe a porta pela primeira vez, a probabilidade de o carro estar justamente atrás dela é 1/3. Não temos nenhuma pista adicional, então a probabilidade se distribui de modo uniforme, 1/3 para cada porta.

Assim, se você escolher a porta B, tem a chance de 1/3 de o carro estar atrás dela. Ao mesmo tempo, existe uma probabilidade de 2/3 de o carro estar atrás da porta A ou da porta C. Portanto, é mais provável que o carro esteja atrás de uma das portas que não escolhemos. Isso é importante.

No passo seguinte entra em cena o apresentador e abre uma das portas atrás das quais não há carro. O apresentador abre a porta A. Atrás da porta A, portanto, não há carro. O que acontece com aquela probabilidade de 2/3? Sabemos que a probabilidade de o carro estar atrás da porta A ou da C é 2/3 e, ao mesmo tempo, sabemos que atrás da porta A ele não está. A probabilidade de 2/3 passa, então, toda para a porta C. A chance de o carro estar atrás da porta C é 2/3.

Já a nossa chance na porta B continua a mesma, ela não mudou. Assim, temos 1/3 de chance de o carro estar atrás da porta B, que escolhemos, e 2/3 de chance de estar atrás da porta C, para a qual podemos mudar a escolha. Por isso é sensato mudar de escolha.

Mais portas

Talvez o exemplo seja mais fácil de entender se aumentarmos o número de portas e modificarmos o problema assim: imagine dez portas. No início, o participante escolhe uma porta e o apresentador abre todas as portas, exceto a que escolhemos e a que esconde o carro. O enunciado é praticamente o mesmo do exemplo anterior, só que lá, quando o apresentador abria todas as portas, abria apenas uma, porque não podia abrir mais.

No início você escolhe a porta 1. A chance de o carro estar atrás dela é 1/10. Há uma probabilidade de 9/10 de o carro estar atrás de outras portas. Em seguida o apresentador elimina 8 portas atrás das quais com certeza não há carro, e novamente restam apenas duas portas. A chance de o carro estar atrás da porta que o apresentador deixou para você é 9/10, enquanto a chance de ele estar atrás da porta que você escolheu continua sendo 1/10.

Outras fontes

• Wikipédia