Binômio de Newton

O binômio de Newton é uma generalização das fórmulas clássicas do tipo (a + b)² com a ajuda das técnicas de contagem.

Motivação

Com certeza você conhece as fórmulas para calcular (a + b)² ou (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

E uma pergunta natural é se não dá para generalizar essas fórmulas para um número natural n qualquer, isto é, se é possível calcular (a + b)ⁿ.

Dedução

Claro que dá, e é justamente para isso que serve o binômio de Newton. Vamos ver como esse desenvolvimento continuaria para n = 4 e n = 5.

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^4& =& a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4\\ (a+b{)}^5& =& a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5\end{array}$$

Você já deve estar vendo certo padrão. Se temos a expressão (a + b)ⁿ, então no lado direito sempre começamos com o termo aⁿ. O segundo termo também contém a variável a, mas o expoente é uma unidade menor. Por exemplo: no desenvolvimento de (a + b)⁴ temos, no lado direito, no primeiro termo a⁴ e no segundo a³. Cada termo seguinte contém a variável a com um expoente uma unidade menor que o do termo anterior. A variável b, ao contrário, cresce. No início não temos a variável b, ou melhor, temos, mas com expoente zero: b⁰ = 1. No segundo termo, b tem expoente um, depois dois e assim por diante.

Em tudo isso vale a regra simples de que a soma dos expoentes deve ser sempre igual a n. Se considerarmos o último desenvolvimento, (a + b)⁵, por exemplo, o terceiro termo é 10a³ · b² e a soma dos expoentes das variáveis a e b é justamente 5.

A última coisa é saber quais serão os coeficientes (os números na frente das variáveis) de cada termo. Com certeza você nota que esses coeficientes são simétricos: em (a + b)⁴ temos os coeficientes 1, 4, 6, 4, 1, em (a + b)⁵ temos: 1, 5, 10, 10, 5, 1. Lembro que a⁴ = 1 · a⁴, por isso escrevo ali o 1, mesmo que não o indique explicitamente nas fórmulas. Vamos mostrar outra relação no triângulo de Pascal.

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é um auxílio prático no cálculo do desenvolvimento pelo binômio de Newton. O triângulo de Pascal é formado por números, e vale que o número que está embaixo de outros dois números é igual à soma deles. Soa complicado, mas pelo próprio triângulo ficará claro:

Olhe, por exemplo, para o número quatro. Acima desse número estão os números 1 e 3. E a soma 1+3 dá justamente 4. Da mesma forma para os outros números.

E como usamos o triângulo de Pascal? Se você olhar para os números de cada linha, vai descobrir que eles lembram muito os coeficientes do desenvolvimento binomial resultante. Por exemplo, em (a + b)² temos os coeficientes 1, 2, 1, que é exatamente a segunda linha. Para (a + b)⁴ temos os coeficientes 1, 4, 6, 4, 1, que é exatamente a quarta linha. Se precisamos calcular (a + b)ⁿ, basta olhar para a n-ésima linha do triângulo de Pascal.

Definição do binômio de Newton

Formalmente, o binômio de Newton diz o seguinte:

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^{k}a,b\in \mathbb{R};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

O somatório é calculado de zero até n, inclusive. Ou seja, o número resultante de parcelas é n + 1. Aquilo entre parênteses é um número binomial, que é algo da análise combinatória e representa o número de combinações diferentes das quais podemos obter determinado termo do desenvolvimento binomial. O resto são apenas variáveis com os devidos expoentes. Observe que a soma dos expoentes realmente é igual a n: n − k + k = n.

Exemplos

Um exemplo simples: calcule, usando o binômio de Newton, (a + 2b)⁴. Primeiro olhamos no triângulo de Pascal para a quarta linha. Ela nos diz que os coeficientes terão a forma: 1, 4, 6, 4, 1. Agora só falta ir completando os expoentes. No primeiro termo haverá só a⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+\dots$$

No segundo termo temos os expoentes distribuídos no par 3, 1, ou seja, obtemos a³(2b)¹. Elevar à primeira potência não faz nada com a expressão, então podemos escrever a³2b. O coeficiente do segundo termo é 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+\dots$$

O terceiro termo terá os expoentes 2, 2. Aqui um pouco de atenção: elevamos todo o 2b, ou seja, assim: (2b)², que é igual a: (2b)² = 4b². Escrevemos no desenvolvimento com o coeficiente 6:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+\dots$$

O quarto termo terá a forma a(2b)³. Depois de elevar à potência, obtemos a8b³. Escrevemos com o coeficiente 4:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+\dots$$

E o último termo será apenas (2b)⁴ = 16b⁴:

$$(a+2b{)}^4=a^4+4a^{3}2b+6a^{2}4b^2+4a8b^3+16b^4.$$

Agora só falta arrumar um pouco. No termo 4a³2b podemos colocar o dois no início do termo e multiplicar 2 · 4 = 8. Surge, então, 8a³b. Se fizermos isso também com o resto, obtemos o resultado:

$$(a+2b{)}^4=a^4+8a^{3}b+24a^2{b}^2+32a{b}^3+16b^4.$$

Observe, por favor, que neste momento os coeficientes já não coincidem com os números do triângulo de Pascal.