Probabilidade

A probabilidade de um evento aleatório nos diz qual é a chance de esse evento ocorrer. Um exemplo típico é o lançamento de um dado comum. Podemos perguntar: “qual é a probabilidade de sair o número cinco?” Expressamos a probabilidade ou como um número do intervalo [0, 1] ou em porcentagem, isto é, de 0% a 100%.

Definições relacionadas

Toda atividade repetível que depende do acaso é chamada de experimento aleatório. Por exemplo, o lançamento de um dado ou o sorteio de uma loteria é um experimento aleatório. Além disso, precisamos do conjunto de todos os resultados possíveis do experimento aleatório — são todas as possibilidades que podem ocorrer nesse experimento. Por exemplo, em um dado podem sair os números de um a seis, então o conjunto de todos os resultados possíveis, que denotamos por ω (ômega), seria, para o dado, assim: ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Em uma loteria seriam todas as combinações que podem sair.

Chamamos todo subconjunto A ⊆ ω de evento (aleatório). Por exemplo, o evento “no dado sai um número par” seria escrito como A = {2, 4, 6}. O evento “no dado sai um número maior que cinco” seria escrito como A = {6}, e assim por diante. Se lançamos o dado (= realizamos o experimento) e sai o número x, então, se x ∈ A, dizemos que o evento ocorreu; caso contrário, dizemos que o evento não ocorreu. Se ficarmos com o evento “no dado sai um número par” e sair x = 2, então x ∈ A, isto é, 2 ∈ {2, 4, 6} e o evento ocorreu.

Existem dois tipos especiais de eventos: o evento certo e o evento impossível. O evento é certo se ocorre em todo experimento, o que significa que A = ω. Em um dado seria o evento “sai um número menor que 7”. Isso com certeza sai. O oposto é o evento impossível, que seria A = ∅ e, em palavras, por exemplo, “no dado sai um vaso de planta”. Bem, um vaso de planta pode cair da mesa durante o lançamento do dado, mas com certeza não vai sair um vaso de planta no dado, porque lá só há os números de 1 a 6.

Probabilidade de um evento

A probabilidade de um evento nos diz o quanto podemos esperar que esse evento ocorra. Provavelmente todos intuímos que no dado sai um número par com mais frequência do que exatamente o número cinco. A probabilidade converte essa intuição em números exatos. Primeiro vamos estabelecer algumas hipóteses de que vamos precisar.

Suponha que, para um experimento aleatório, valha o seguinte:

• O número de resultados possíveis é finito (isto é, ω é um conjunto finito).
• Dois resultados não podem sair ao mesmo tempo (isto é, não podemos tirar no dado o número 3 e, ao mesmo tempo, o 6).
• Todos os resultados são igualmente possíveis (isto é, temos a mesma chance de tirar no dado o número 4 que de tirar o 6 ou o 1).

As duas primeiras condições são bastante naturais, a última é um pouco limitante, mas por enquanto vamos nos virar com ela. Então podemos dizer que a probabilidade de um evento A, que denotamos por P(A), é igual a

$$P(A)=\frac{|A|}{|\omega |}.$$

Em outras palavras: o número de resultados favoráveis dividido pelo número de todos os resultados. (As barras verticais na fórmula anterior significam o número de elementos do conjunto.) A probabilidade de sair um número par no dado seria, então, igual a:

$$P(Par)=\frac{|\{2,4,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.$$

Muitas vezes expressamos a probabilidade na forma de porcentagem — basta pegar a probabilidade que calculamos, multiplicar por cem e acrescentar o símbolo de porcentagem: 0,5 · 100% = 50%. Uma probabilidade de cinquenta por cento nos diz, na verdade, que temos a mesma chance de sair um número par e de não sair. O que faz sentido, já que no dado temos três números pares e três ímpares.

O evento certo tem probabilidade 1, o evento impossível, 0. Por quê? Dissemos que, para o evento certo J, vale J = ω e, para o evento impossível N, vale N = ∅. Se substituirmos esses eventos na fórmula, obtemos:

$$P(J)=\frac{|\omega |}{|\omega |}=1;P(N)=\frac{|\mathrm{\varnothing }|}{|\omega |}=\frac{0}{|\omega |}=0.$$

Exercícios resolvidos

1. Qual é a probabilidade de sair o número cinco no dado? É simples: o conjunto de todos os resultados favoráveis é apenas A = {5}, e o conjunto de todos os resultados continua sendo ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Substituímos na fórmula:

   $$P(A)=\frac{|\{5\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

2. Qual é a probabilidade de sair no dado um número divisível por três? Precisamos descobrir quais números do dado são divisíveis por três. São apenas os números 3 e 6, ou seja, o conjunto de resultados favoráveis é B = {3, 6}. Então, como de costume:

   $$P(B)=\frac{|\{3,6\}|}{|\{1,2,3,4,5,6\}|}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}=\mathrm{33,333}\dots \mathrm{\%}$$

3. Agora vamos tentar lançar dois dados ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de sair seis nos dois dados? Primeiro precisamos calcular ω, isto é, o conjunto de todos os resultados. Precisamos contar todas as possibilidades que podem ocorrer. Então, quando no primeiro dado sai o número 1, no segundo pode sair do 1 ao 6. Assim encontramos seis possibilidades. Quando no primeiro dado sai o número 2, no segundo dado podem sair novamente os números de 1 a 6; assim encontramos mais seis possibilidades. E assim por diante, para todos os números que podem sair no primeiro dado. Todas as possibilidades ficam assim:

   $$\begin{array}{rcl}& \omega =& (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\\ & & (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),\\ & & \dots \\ & & (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{array}$$

   Temos seis linhas e em cada linha temos seis possibilidades. Obtemos ao todo 6 · 6 = 36 possibilidades que podem sair nos dados. Quantas delas estarão ao mesmo tempo no conjunto de resultados favoráveis? Apenas uma possibilidade, a saber (6, 6), porque queremos que saiam dois seis. Obtemos, assim, a probabilidade:

   $$P(C)=\frac{|\{(6,6)\}|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

4. Qual é a probabilidade de, ao lançar dois dados, sair o mesmo número nos dois? O número de todos os resultados possíveis continua sendo 36, veja o exercício anterior. Mas quantos são os resultados favoráveis? Apenas em seis casos sai o mesmo número nos dois dados: D = {(1, 1), (2, 2), …, (6, 6)}. Substituímos na fórmula:

   $$P(D)=\frac{|D|}{|\omega |}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}=\mathrm{16,666}\dots \mathrm{\%}$$

5. Qual é a probabilidade de, ao lançar dois dados, um branco e um preto, sair 3 no dado branco e 5 no dado preto? O tamanho de ω continua sendo 36. Como é o conjunto de resultados favoráveis E? Ele contém apenas a possibilidade (3, 5), portanto a probabilidade é igual a

   $$P(E)=\frac{|E|}{|\omega |}=\frac{1}{36}=\mathrm{2,777}\dots \mathrm{\%}$$

6. Qual é a probabilidade de, ao lançar dois dados, um branco e um preto, saírem os números 3 e 5? Este exercício é parecido com o anterior, só que não exigimos que o número 3 saia no dado branco e o 5 no preto. Basta que em um dos dados saia 3 e no outro saia o número 5. Assim obtemos mais possibilidades: além de (3, 5), temos também a possibilidade (5, 3). A probabilidade desse evento F é, então, igual a:

   $$P(F)=\frac{|F|}{|\omega |}=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}=\mathrm{5,555}\dots \mathrm{\%}$$

7. Qual é a probabilidade de, ao lançar dois dados, sair pelo menos um seis? Vamos por partes: se sai seis no primeiro dado, então no segundo dado podem sair os números de 1 a 5. São cinco possibilidades. Se sai seis no segundo dado, no primeiro podem sair os números de 1 a 5. São mais cinco possibilidades. E, por fim, o seis pode sair nos dois dados — é mais uma possibilidade. Temos, assim, 5 + 5 + 1 = 11 possibilidades. O conjunto de resultados favoráveis G fica assim: G = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}. Obtemos a probabilidade:

   $$P(G)=\frac{|G|}{|\omega |}=\frac{11}{36}=\mathrm{30,555}\dots \mathrm{\%}$$

8. Em uma turma há 30 alunos. Qual é a probabilidade de o aluno Pedro ser chamado à lousa na aula de história, se a professora chama sempre dois alunos por aula e até agora ninguém foi chamado? Para calcular a probabilidade, precisamos calcular quantas duplas diferentes de alunos existem e quantas duplas diferentes de alunos existem em que um dos dois é o Pedro. Como não importa a ordem em que a professora chama os alunos, usamos combinações.

   Agora vai ser simples. Temos 30 alunos ao todo e perguntamos quantas duplas diferentes conseguimos formar com eles. Isso nos leva ao número binomial

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{30}{2})=435$$

   E em quantas duplas está o Pedro? Se um dos dois é o Pedro, sobram 29 alunos com quem o Pedro pode formar a dupla (ele não pode formar dupla consigo mesmo, por isso 30-1=29). Agora já conhecemos o número de todas as possibilidades e o número de possibilidades favoráveis, então substituímos na fórmula:

   $$P(H)=\frac{29}{435}=\mathrm{0,066}6\dots =\mathrm{6,666}\dots \mathrm{\%}$$

   Observação: o número de todas as duplas também pode ser calculado sem combinações. De que modo poderíamos formar todas as duplas, se temos uma turma de 30 alunos? Pegando sempre um aluno e juntando a ele, um a um, todos os outros. Isso significa que pegamos, por exemplo, o Lucas e juntamos a ele, em dupla, todos os outros alunos, isto é, formamos 29 pares. Fazemos isso com cada aluno, isto é, com todos os 30 alunos. Obtemos ao todo 30 · 29 = 870 pares. No entanto, cada par aparece duas vezes: uma vez a dupla (Lucas, Ana) e outra vez (Ana, Lucas) (conforme o Lucas era aquele a quem se juntava o resto da turma ou aquele que estava sendo juntado à Ana). Esse resultado ainda precisa ser dividido por dois, e temos o resultado final: 870 / 2 = 435.

9. Qual é a probabilidade de, ao tirarmos três sapatos de uma sapateira em que há doze pares de sapatos, os três serem do pé esquerdo? Esse é um exemplo bem prático da vida, que você com certeza já precisou saber alguma vez. Começamos calculando quantos trios diferentes é possível tirar da sapateira. Vamos precisar de combinações, porque não importa a ordem em que tiramos os sapatos. Temos 24 sapatos ao todo e queremos tirar 3. Obtemos o número binomial:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{3})=2024$$

   Assim calculamos que existem 2024 combinações diferentes de três sapatos que podemos tirar da sapateira. Agora precisamos calcular quais combinações são favoráveis, isto é, quais combinações de três sapatos contêm apenas sapatos do pé esquerdo. Sabemos que na sapateira há 12 sapatos do pé esquerdo. Então só calculamos quantas combinações podemos formar com esses 12 sapatos. Isso leva novamente ao número binomial:

   $$(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3})=220$$

   Existem, portanto, 220 combinações que contêm apenas sapatos do pé esquerdo. É tudo o que precisamos saber, agora basta substituir na fórmula:

   $$P(I)=\frac{220}{2024}=\mathrm{0,108}695\dots =\mathrm{10,869}5\dots \mathrm{\%}$$

   Temos, assim, uma chance de aproximadamente dez por cento de tirar três sapatos e todos serem do pé esquerdo.