Fundamentos de estatística

A estatística é a ciência que procura estudar dados reais e, com a ajuda da teoria da probabilidade, descrevê-los.

Seção própria para a estatística

Este é um artigo antigo e desatualizado, a estatística já tem a sua própria seção, com o artigo introdutório Conceitos básicos de estatística.

Conceitos básicos

Na estatística, trabalhamos com alguns conceitos básicos, que vamos descrever aqui.

Em primeiro lugar, temos a população (o conjunto de dados), que é um conjunto finito de dados que queremos estudar. Os dados podem ser gerais, pode ser, em princípio, qualquer coisa. Se você quer estudar o salário médio no Brasil, a população será o conjunto de todas as pessoas no Brasil. O número de elementos da população é chamado de tamanho da população. O tamanho da população que definimos seria, assim, igual ao número de habitantes do Brasil.

Depois, existe o conceito de unidade estatística, que é um elemento concreto da população. No nosso caso, a unidade estatística seria uma pessoa concreta.

Por fim, temos a variável estatística, que é aquilo que queremos medir. No nosso exemplo, a variável estatística seria justamente o salário. A variável estatística pode ser qualitativa ou quantitativa. Uma variável quantitativa (quantidade = montante, número) é aquela que pode ser expressa por números (por exemplo, justamente o salário, a altura, o número de filhos, …), e uma variável qualitativa pode ser expressa em palavras (cor, sim/não, profissão, …).

Frequências

A frequência pode ser relativa ou absoluta e indica quantos valores de determinada variável ocorrem na população — ou de forma absoluta, ou de forma relativa ao número total de elementos da população.

O importante é que, ao calcular a frequência, precisamos aplicar a variável estatística, porque, se quiséssemos calcular a frequência absoluta de uma unidade estatística, necessariamente chegaríamos ou ao número zero ou ao um, já que a população é um conjunto e um conjunto, como tal, não admite que haja nele vários elementos iguais.

Assim, a frequência absoluta do valor z da variável estatística indica o número de ocorrências de z na população S. Exemplo: considere uma turma de dez alunos. Cada aluno recebeu no boletim uma nota de matemática, de 0 a 10. As notas são registradas na tabela a seguir:

$$\begin{array}{cccccccccc}1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10\\ 8,5& 4& 7& 8,5& 10& 10& 8,5& 5,5& 10& 7\end{array}$$

Observação: a população para este exemplo seriam esses dez colegas, algo como

$$S=\{\text{Pedro},\text{Beatriz},\text{Lucas},\dots \}$$

Na tabela, para simplificar, temos na primeira linha um identificador numérico do aluno; na primeira linha estão, portanto, as unidades estatísticas, isto é, os elementos da população. Na segunda linha temos os valores da variável estatística, isto é, os valores “nota final de matemática” do respectivo aluno.

A frequência absoluta do valor (nota no boletim) z = 7 seria, então, igual a dois, apenas dois alunos receberam no boletim a nota sete (são os “alunos” 3 e 10). A frequência absoluta do valor z = 10 seria três (os “alunos” 5, 6 e 9).

A frequência relativa indica qual porcentagem dos valores da variável na população é igual ao valor z. Calculamos a frequência relativa do valor z assim:

$$r=\frac{z_a}{|S|},$$

em que z_a é a frequência absoluta do valor z e |S| é o tamanho da população, isto é, o número de elementos. A frequência relativa da nota sete seria, então:

$$r_7=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.$$

O tamanho da nossa população é dez, porque temos dez alunos na turma. Obtemos a notação em porcentagem multiplicando por cem, ou seja, obteríamos 20%. A frequência relativa da nota dez seria

$$r_{10}=\frac{3}{10}.$$

Média aritmética

A média aritmética, ou muitas vezes apenas média, é a média de todos os valores da população. Por valor entendemos o resultado depois de aplicada a variável estatística. Calculamos a média somando todos os valores e dividindo pelo número de valores da população. Então, mais ou menos assim:

$$p_a=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots +x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$

Acrescentei também a expressão com o somatório, caso ela lhe pareça mais legível. Mas basta a expressão anterior, com a fração. Os valores x representam todos os valores da nossa população.

Exemplo: vamos pegar os dados da tabela anterior e calcular a nota média por aluno.

$$p_a=\frac{8,5+4+7+8,5+10+10+8,5+5,5+10+7}{10}=\frac{79}{10}=7,9$$

Na nossa turma a nota média é 7,9. Como você vê, a média aritmética pode nos devolver um valor que nenhum aluno realmente tirou — ninguém na turma tirou 7,9.

A média aritmética também é pouco útil quando parte dos dados tem um valor muito diferente do resto. Assim, se temos um conjunto com os valores 1, 3, 2, 5, 4, 2, 75, a média aritmética resulta em

$$p_a=\frac{1+3+2+5+4+2+75}{7}\approx 13,14.$$

Vemos que o valor resultante está longe de todos os valores do conjunto. Ele é várias vezes maior que os seis primeiros números e várias vezes menor que o último valor. Esse é um problema que a mediana, por exemplo, pode resolver; veja adiante. Pelo menos você já sabe por que dois terços das pessoas não alcançam o salário médio — existe um pequeno grupo de pessoas com salários muito acima do padrão, que elevam a média aritmética.

Média geométrica

A média geométrica é calculada de forma parecida com a média aritmética, só que, em vez da adição, se usa a multiplicação e, em vez da divisão, a raiz. Assim, calculamos a média geométrica desta forma:

$$p_g=\sqrt[n]{x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \dots \cdot x_n}=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{x}_i}$$

A média geométrica pode ser usada como indicador de crescimento. Por exemplo, suponha que o preço de um produto subiu 10% em um ano, 15% no ano seguinte e 5% no outro. O preço original c estava, então, depois desses três anos, no valor

$$1,1\cdot 1,15\cdot 1,05c=\mathrm{1,328}25c.$$

A média geométrica desses fatores seria:

$$p_g=\sqrt[3]{1,1\cdot 1,15\cdot 1,05}\approx \mathrm{1,099}2419$$

O que isso significa? Que, se o preço fosse multiplicado a cada ano exatamente pelo número 1,0992419 (isto é, aumentasse cerca de 9,92%), o preço final estaria no mesmo valor:

$$\mathrm{1,099}{2419}^3\approx \mathrm{1,328}25$$

Moda e mediana

A moda de uma variável é o valor que tem a maior frequência e se denota por Mo. Se voltarmos ao exemplo das notas, então as modas são os valores 8,5 e 10, porque ocorrem com mais frequência — ambos têm frequência absoluta 3.

A mediana é o valor do meio e se denota por Md. Se conseguimos ordenar os valores em uma sequência não decrescente

$$x_1\le x_2\le x_3\le \dots \le x_n,$$

então a mediana representa o valor que está no meio dessa sequência. O valor do meio difere conforme a sequência tenha um número ímpar ou par de elementos. Se ímpar, a mediana é o elemento na posição

$$\text{Md}=x_{\frac{n+1}{2}}$$

Se a sequência tem um número par de elementos, então não há um elemento exatamente no meio (exemplo: a sequência 1, 2, 3, 4 simplesmente não tem elemento do meio). Por isso tomamos a média dos dois valores do meio (a média dos valores 2 e 3). Assim, a fórmula para n par:

$$\text{Md}=\frac{x_{n/2}+x_{(n+2)/2}}{2}$$

Voltemos ao exemplo que ilustrou a média aritmética mal usada. Tínhamos o conjunto de valores s=1, 3, 2, 5, 4, 2, 75. A moda seria igual a dois, é o único número que se repete. Para calcular a mediana, ordenamos os números em uma sequência:

$$a_i=1,2,2,3,4,5,75.$$

A sequência tem sete elementos, então o elemento do meio é a₄, e ele é igual a três.